← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 38 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Elipse com focos e minimização de soma de distâncias. Os focos são A(0,−4) e B(0,4) e C(4,4) está na elipse, o que fixa 2a = CA + CB = 4√5 + 4. O problema pede min(PD + PF) para P na elipse. Não consegui reproduzir o valor do gabarito (A) com segurança a partir do enunciado. Não foi possível justificar cada alternativa com segurança. Referência: Elipse: propriedade focal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Raiz dupla anula p e p'. p'(x) = 3x² − 6x − 9 = 0 dá x = 3 ou x = −1. Para x = 3: 27 − 27 − 27 + k = 0, logo k = 27. Para x = −1: −1 − 3 + 9 + k = 0, logo k = −5. A soma é 27 + (−5) = 22. −27, 27, −5 e 32 não representam a soma dos dois valores de k (27 e −5). Só 22 está correta. Referência: Raízes múltiplas e derivada de polinômios. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Determinar f a partir de f∘g e g. Seja t = g(x) = 2x − 3, então x = (t+3)/2, e x ≥ 1 equivale a t ≥ −1. Para x ≥ 1, 4x² − 6x − 1 = (t+3)² − 3(t+3) − 1 = t² + 3t − 1. Para x < 1, 4x + 3 = 2(t+3) + 3 = 2t + 9.
As demais opções têm leis ou domínios que não reproduzem f∘g. A condição t ≥ −1 elimina as que usam x ≥ 1 como limite, e as leis dos ramos só coincidem na opção C. Referência: Função composta. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Termos obtidos de Sₙ não formam PA. a₁ = S₁ = 3, a₂ = S₂ − S₁ = 4 e, para n ≥ 2, aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁ = 2n. Assim a₂ − a₁ = 1 e a₃ − a₂ = 2, então a sequência não é PA. B) a₅ − a₄ = 10 − 8 = 2, não 3. C) não há razão constante. D) S₁ = 3 não é múltiplo de 7. E) a₇ = 14, não 32. Só A está correta. Referência: Soma dos termos: aₙ = Sₙ − Sₙ₋₁. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contagem de coprimos com 2020 via função de Euler. 2020 = 2²·5·101, então φ(2020) = 2020·(1/2)·(4/5)·(100/101) = 800. Como 2020 é o próprio tamanho do conjunto, a probabilidade é 800/2020 = 40/101. As demais frações (153/1010, 293/1010, 401/1010, 76/505) não correspondem a 800/2020. Só 40/101 está correta. Referência: Função φ de Euler; probabilidade clássica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Limite no infinito de razão de polinômios de mesmo grau. cos(x) é limitado e fica desprezível diante de x². Dividindo numerador e denominador por x², o limite é 1/1 = 1. 0 ocorreria se o grau do numerador fosse menor. 5/9 e 3 não vêm dos coeficientes dominantes (ambos 1). −∞ não ocorre, pois os graus são iguais. Só 1 está correta. Referência: Limites no infinito. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Função limitada multiplicada por algo que tende a 0. Como f⁸ + g⁸ = 4 e g⁸ ≥ 0, temos f⁸ ≤ 4, logo |f(x)| ≤ 4^(1/8), ou seja, f é limitada. Como √x → 0 quando x → 0⁺, o produto tende a 0 (teorema do confronto). Não há divergência, pois f é limitada, o que descarta A, B, C. O limite não é 1 porque o fator √x anula o produto. Referência: Limites: teorema do confronto (limitada × infinitésimo). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Expoente do 7 em 2020! (fator limitante de 21 = 3·7). 21ⁿ = 3ⁿ·7ⁿ, e o expoente do 7 em 2020! é menor que o do 3, então é ele que limita. Pela fórmula de Legendre: ⌊2020/7⌋ + ⌊2020/49⌋ + ⌊2020/343⌋ = 288 + 41 + 5 = 334. 288 conta só os múltiplos de 7, sem as potências 49 e 343. 96, 440 e 673 não resultam do cálculo. Só 334 está correta. Referência: Fórmula de Legendre (expoente de um primo no fatorial). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Ponto de inflexão: f'' muda de sinal. f(x) = 1 − 1/x + 1/(2x²). Então f'(x) = 1/x² − 1/x³ e f''(x) = −2/x³ + 3/x⁴ = (3 − 2x)/x⁴. f'' se anula em x = 3/2 e muda de sinal ali. f(3/2) = 1 − 2/3 + 2/9 = 5/9. As demais opções têm abscissas que não anulam f'' (x=1, 1/2, 2/3, −1) ou ordenadas incompatíveis com f. Só (3/2; 5/9) é ponto de inflexão. Referência: Cálculo diferencial: concavidade e pontos de inflexão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Máximo da distância de um ponto de uma circunferência a um ponto externo. |z − (5+4i)| = 2 é a circunferência de centro (5,4) e raio 2. |z + 7 + i| é a distância de z ao ponto (−7,−1). A distância do centro a esse ponto é √(12²+5²) = 13. O máximo é 13 + 2 = 15. A) 12 e B) 14 são menores que 15, que é o valor máximo alcançável. C) e D) não correspondem a nenhuma distância possível. E) 15 está correta. Referência: Geometria analítica no plano complexo: módulo como distância. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Distribuição com mínimos: C(12,3) = 220. Os mínimos somam 2+2+3+4 = 11 mil, restando 9 mil a distribuir em múltiplos de mil entre 4 pessoas. Isso equivale a soluções inteiras não negativas de a+b+c+d = 9, que são C(9+3,3) = C(12,3) = 220. A) 110, B) 120, D) 330 e E) 560 resultam de cálculos incorretos, como usar C(11,3) = 165 ou C(12,4) = 495 ou ignorar os valores mínimos. Referência: Análise combinatória: soluções inteiras não negativas (estrelas e barras). Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Gabarito disponível A equação implica cos(2(x+y)) = −1, logo x+y = π/2. Usando sen2x·sen2y = [cos(2x−2y) − cos(2x+2y)]/2 e cos(2(x−y)) = 2cos²(x−y) − 1, a equação vira cos(2(x+y)) = −1. Como x+y ∈ (0, π), temos 2(x+y) = π e x+y = π/2. B, C, D, E) π/4, π/3, π/6 e π/8 resultam em cos(2(x+y)) diferente de −1, portanto não satisfazem a igualdade. Referência: Trigonometria: transformação de produto em soma e arco duplo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Há 8 números complexos; probabilidade 8/15. Com |z|=1, z̄ = 1/z, então z/z̄ = z² e z̄/z = z̄². A soma é 2cos(2θ) e a condição |2cos(2θ)| = 1 dá cos(2θ) = ±1/2. Em θ∈[0,2π) existem 4 soluções para cada sinal, totalizando 8 números complexos. Com 7 outras respostas, o total é 15 papéis e a probabilidade é 8/15. As demais frações (6/13, 10/17, 5/12, 1/2) correspondem a contagens erradas de soluções complexas, como 6, 10 ou 5 raízes, que não satisfazem as duas condições simultaneamente. Referência: Números complexos: forma polar, módulo e conjugado. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — CPAEN/2020 (Concurso Público de Admissão à Escola Naval) — 1º Dia: Matemática e Inglês — Prova Amarela
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Análise das alternativas
plano α definido pelas retas r₁ e r₂, α intersecta o eixo z no valor de z igual a:Resolução comentada
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Um determinado país com 220 milhões de habitantes foi acometido por um vírus X. Verificou-se que, no primeiro ano do aparecimento do vírus na população, havia 620 casos acumulados do vírus X no dia 19 de março e constatou-se que a progressão de contaminação do vírus era constante a cada 20 dias até o dia 18 de maio, conforme gráfico ilustrativo abaixo. Considerando que essa progressão continuou constante até o dia 27 de junho, a porcentagem da população nessa data, por casos acumulados, que foi contaminada é de aproximadamente:
Seja uma elipse centrada na origem de focos A(0; -4) e B. Considere C(4; 4) e P pontos sobre a elipse. Dado o ponto D(3; 2), considere m a distância de D a P e n a distância de P a um dos focos. O menor valor possível de m + n é:
Considere a equação x³ − 3x² − 9x + k = 0, onde k representa os valores para os quais a equação admita um raiz dupla. Assinale a opção que apresenta a soma dos valores de k.
Sejam f ∘ g e g funções reais definidas por f ∘ g(x) = { 4x² − 6x − 1, x ≥ 1 ; 4x + 3, x < 1 } e g(x) = 2x − 3. Assinale a opção que apresenta a lei de formação da função f.
Sejam π₁ e π₂ dois planos cujas equações vetoriais são, respectivamente, X = (1,0,0) + β(1,1,1) + γ(−1,0,2) e Y = (2,0,−1) + α(1,2,1) + λ(0,1,1) com β, γ, α e λ números reais. Assinale a opção que apresenta uma equação vetorial da reta r, dada pela interseção desses planos.
Seja Sₙ = n² + n + 1 a soma dos termos de uma sequência numérica (n ∈ IN*). Sobre essa sequência assinale a opção correta.
Escolhendo aleatoriamente um número do conjunto {1; 2; 3; …; 2020}, qual é a probabilidade de que o número escolhido e 2020 sejam primos entre si?
O valor de lim(x→+∞) (x² + 6x + 9 + cos(x))/(x² + x + 9) é:
Sejam f e g duas funções reais de modo que, para todo x, (f(x))⁸ + (g(x))⁸ = 4. Assinale a opção que apresenta o valor do limite lim(x→0) f(x)√x
O fatorial de 2020 é divisível por 21ⁿ. O maior valor inteiro de n é:
Seja a função f definida por f(x) = (2x² − 2x + 1)/(2x²), assinale o ponto de inflexão do gráfico da função.
Seja o número complexo z tal que |z − 5 − 4i| = 2, onde i é a unidade imaginária. O valor máximo de |z + 7 + i| é igual a:
Sandro é o dono de uma empresa de segurança que tem como empregados Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo. Sandro deve realizar pagamento aos seus empregados totalizando um valor de vinte mil reais. Alberto, Thiago, Robson e Rodrigo recebem pagamentos com valor mínimo de dois mil, dois mil, três mil e quatro mil reais, respectivamente. Considerando que cada pagamento realizado aos empregados é múltiplo de um mil reais, assinale a opção que apresenta a quantidade de maneiras distintas que a distribuição do pagamento de vinte mil reais aos funcionários pode ser realizada.
Um determinado curso de idiomas, que oferece cursos de Alemão, Espanhol, Francês e Italiano, possui 400 alunos frequentando os cursos. O curso possui 840 matrículas em pelo menos um idioma, 710 em pelo menos dois idiomas e 340 em pelo menos 3 idiomas. Quantos alunos estão matriculados em somente um idioma?
Em uma pista plana quadrangular com 10 m de lado, um corredor se encontra no vértice A e se locomove com velocidade constante 4v em direção ao vértice B, outro corredor se encontra no vértice D e se locomove com velocidade constante 3v em direção ao vértice A. Sabendo que os corredores começaram a se locomover no mesmo instante de tempo, a menor distância, em metros, registrada entre eles é igual a:
Seja cos²(x − y) = sen(2x)sen(2y), para todo x e y reais, dentro do intervalo (0, π/2). Com base nessa equação, assinale a opção que apresenta a solução de x + y.
Assinale a opção que apresenta uma solução, em x e y, do sistema
Seja o triângulo ABC, retângulo em B, com AB = 8√2 e BC = 6√2. Sabendo que C̅D̅ é bissetriz de AĈB, D é centro da circunferência de raio BD e x é a razão EF/CE, podemos afirmar que x é tal que
Em uma brincadeira entre amigos, Douglas anotou, em cada papelzinho, todos os números complexos z, tais que |z| = 1 e |z/z̄ + z̄/z| = 1, em que z̄ representa o conjugado de z, além de 7 respostas de outros exercícios que não envolvem números complexos. Feito isso, ele colocou todas as respostas em uma urna. Calcule a probabilidade de um amigo de Douglas retirar uma solução qualquer que apresente uma solução complexa. Suponha que a chance de retirar qualquer papelzinho da urna seja a mesma.