Provas

A média de uma gama com forma r e escala 1 é r vezes a escala, ou seja, r. O valor 1/r seria a média de uma gama com forma r e taxa r, ou de outra parametrização, o que não é o caso.

Pela lei da esperança total, E[Y]=E[E[Y|R]]=E[R]. Como E[Y|R=r]=r (média da gama com forma r e escala 1) e a geométrica com p=0,5 tem média 1/p=2, E[Y]=2.

Pela lei da variância total, Var(Y) = E[Var(Y|R)] + Var(E[Y|R]). Para a gama com forma r e escala 1, Var(Y|R)=R e E[Y|R]=R. Para a geométrica com p=0,5, E[R]=2 e Var(R)=(1−p)/p²=2. Assim, Var(Y)=2+2=4.

A posteriori, P(R=r|y) é proporcional a (y^(r−1)e^(−y)/(r−1)!)·(0,5)^r, que é proporcional a (y/2)^(r−1)/(r−1)!. Logo R−1|Y=y ~ Poisson(y/2), cujo suporte é infinito. A binomial tem suporte finito.

R é discreta e Y é contínua. A distribuição conjunta é, portanto, mista e não admite uma densidade absolutamente contínua em (y, r). Ela se descreve como f(y,r) = f(y|r)·P(R=r), uma densidade em relação à medida produto (Lebesgue × contagem).

Os dois métodos podem gerar estimadores distintos. Um exemplo é a Uniforme(0, θ): o método dos momentos dá 2·X̄, e a máxima verossimilhança dá o máximo da amostra. Eles coincidem só em alguns casos, como a média da Normal ou da Poisson.

Uma estatística suficiente resume a amostra sem perder informação sobre o parâmetro. Dada a estatística, a distribuição condicional da amostra não depende mais do parâmetro (critério de Fisher-Neyman). O item descreve exatamente essa propriedade.

A média amostral é calculada como (1/n)ΣXᵢ, ou seja, envolve diretamente n. Além disso, sua precisão (variância σ²/n) depende do tamanho da amostra.

Consistência significa que o estimador converge em probabilidade para o parâmetro à medida que o tamanho da amostra aumenta, com o erro tendendo a zero.

Um parâmetro pode ser estimado de formas distintas. Por exemplo, a média de uma população simétrica pode ser estimada pela média amostral ou pela mediana. Escolhe-se com base em propriedades como viés, variância e consistência.

A média aritmética amostral é o estimador usual da média populacional: é não viesada, consistente e, sob normalidade, também é o EMV.

A amplitude do intervalo e a margem de erro (semiamplitude) indicam a precisão da estimativa em relação ao parâmetro. Logo, a afirmação de que não permite medir o erro é falsa.

Diferentemente da estimativa pontual, a estimação intervalar fornece uma faixa de valores plausíveis para o parâmetro, associada a um nível de confiança.

Na interpretação frequentista, se construirmos muitos intervalos com o mesmo procedimento, a porcentagem que conterá o verdadeiro parâmetro tende ao coeficiente de confiança (por exemplo, 95%).

Variando o nível de confiança, a estatística pivotal ou a forma (bilateral, unilateral, assimétrico), é possível construir diferentes intervalos a partir da mesma amostra.

Um intervalo muito amplo é pouco informativo, embora tenha alta probabilidade de conter o parâmetro. A situação ideal é obter intervalos de pequena amplitude (maior precisão) com alto nível de confiança.

Por ser bayesiano, o intervalo de credibilidade deriva da distribuição a posteriori, que utiliza a informação prévia expressa na distribuição a priori combinada aos dados.

Na abordagem bayesiana, o intervalo de credibilidade é obtido a partir da distribuição a posteriori do parâmetro, que combina a priori e a verossimilhança. Sua construção, portanto, depende da distribuição de probabilidade.

No teste de hipóteses, o procedimento decide se há evidência suficiente para rejeitar H0, a hipótese sob a qual se calcula a distribuição da estatística de teste. A alternativa é aceita apenas indiretamente, pela rejeição de H0.

Valores como 90%, 95% e 99% correspondem ao nível de confiança (1 − α). O nível de significância é a probabilidade de erro tipo I e costuma ser pequeno: 1%, 5% ou 10%.