Provas

O nível de significância α é a probabilidade máxima de cometer o erro do tipo I (rejeitar H0 verdadeira). O erro tipo II (β) relaciona-se à potência.

Aumentar o nível de significância α amplia a região de rejeição, o que reduz a probabilidade do erro tipo II e aumenta a potência (mantidos os demais fatores). Reduzir α diminui a potência. Há, portanto, relação direta entre os dois.

A potência de um teste é a probabilidade de rejeitar H0 quando ela é falsa, ou seja, 1 − P(erro tipo II). O erro do tipo I define o nível de significância, não a potência.

O teste t pode comparar a média de uma amostra com um valor de referência ou as médias de duas amostras (independentes ou pareadas). O item afirma o uso de comparação de médias de duas amostras, que é uma aplicação típica e correta, conforme o gabarito.

O teste qui-quadrado de independência avalia associação entre variáveis qualitativas (categóricas), usando tabelas de contingência e comparando frequências observadas e esperadas. Para variáveis numéricas usam-se, por exemplo, correlação e regressão.

Com ε ~ N(0, σ²I), a log-verossimilhança é, a menos de constantes, proporcional a −(1/2σ²)·Σ(yᵢ − xᵢβ)². Maximizá-la em β equivale a minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Logo o EMV de β coincide com o EMQ, β̂ = (X'X)⁻¹X'y (já o EMV de σ² difere do estimador não viesado usual).

O estimador de mínimos quadrados é definido como o vetor β que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos, Σ(yᵢ − xᵢβ)². Trata-se de um critério puramente geométrico/algébrico, que não pressupõe nenhuma distribuição para os erros. A normalidade só é necessária para inferência exata (testes t e F) e para a equivalência com o EMV.

O EMV exige que se especifique alguma distribuição para os erros (ou para a resposta), mas não necessariamente a normal. Pode-se usar, por exemplo, erros t de Student ou Laplace. Logo, a normalidade não é necessária para a existência do EMV. O item está errado.

Com erros normais e homoscedásticos, o EMV de β coincide com o EMQ, é não viesado e atinge o limite inferior de Cramér-Rao, sendo o estimador de variância mínima entre os não viesados. O item está certo quanto aos estimadores de β.

O EMQ é consistente com apenas condições de momentos, como erros com média zero, não correlacionados com os regressores e matriz X'X adequada. Já o EMV exige especificar a distribuição completa dos erros para ser definido e consistente. Logo, o EMQ requer menos suposições distribucionais. O item está certo.

Sob as suposições clássicas, t = β̂ⱼ/EP(β̂ⱼ) segue t de Student com n−k−1 graus de liberdade, pois são estimados k+1 parâmetros. O item cita n−1, que valeria apenas para a média amostral simples. Está errado.

Se o intervalo de 95% contém zero, o valor βⱼ = 0 é plausível e, no teste bilateral a 5%, não se rejeita H0. O item afirma a rejeição, o que inverte a conclusão. Está errado.

F = (SQM/k)/(SQR/(n−k−1)), com k graus de liberdade no numerador e n−k−1 no denominador. O item informa n−1, que corresponde aos graus de liberdade da SQT. Por isso está errado.

O intervalo é β̂ⱼ ± t·EP(β̂ⱼ), com comprimento 2·t·EP. Mantido o restante constante, maior erro padrão gera intervalo maior, não menor. O item está errado.

O p-valor é a probabilidade de se obter uma estatística de teste tão ou mais extrema que a observada, supondo H0 verdadeira. Não é P(H0 | dados), que exigiria abordagem bayesiana. O item está errado.

Embora R² = SQM/SQT, adicionar um regressor não reduz a SQR (no máximo a mantém), portanto o R² não diminui, mesmo que o regressor seja insignificante. Por isso se usa o R² ajustado. O item está errado.

Sob as suposições clássicas, E[SQR/(n−k−1)] = σ², sendo n−k−1 os graus de liberdade do resíduo. Essa propriedade vale independentemente de os regressores serem significantes, pois depende apenas de o modelo estar corretamente especificado. O item está certo.