← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Substituindo x = y/5, obtém-se P(y) = y³/25 − 4y²/25 + 7y/5 − 2, cuja soma dos coeficientes é P(1) = −18/25. Se y = 5x é raiz de P, então x = y/5 satisfaz a equação original: 5(y/5)³ − 4(y/5)² + 7(y/5) − 2 = 0. Isso dá P(y) = y³/25 − 4y²/25 + 7y/5 − 2. A soma dos coeficientes é P(1) = 1/25 − 4/25 + 35/25 − 50/25 = −18/25. Se a equação fosse multiplicada por 25, a soma seria −18, mas o gabarito considera P obtido diretamente pela substituição. B) −19/15, C) −21/20, D) −17/35 e E) −17/20: não correspondem a P(1) para o polinômio obtido pela substituição x = y/5. Referência: Transformação de raízes de polinômios; soma dos coeficientes = P(1). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Com a lei dos cossenos derivada em t, a velocidade de A em θ = π/2 é −3/2 cm/s. Pela lei dos cossenos, 25 = x² + 9 − 6x·cosθ, ou seja, x² − 6x·cosθ − 16 = 0. Derivando em relação a t: 2x·x' − 6x'·cosθ + 6x·senθ·θ' = 0. Em θ = π/2, x² = 16, então x = 4, com cosθ = 0, senθ = 1 e θ' = 1/2. Fica 8x' + 12 = 0, logo x' = −3/2 cm/s. A) −1/2, B) 3/4, C) 1/2 e E) −4/3: não satisfazem 8x' + 12 = 0. B e C ainda têm sinal positivo, mas A está se aproximando da origem, então a velocidade é negativa. Referência: Taxas relacionadas; lei dos cossenos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O plano é 3x + 5y + z = 3, com interceptos 1, 3/5 e 3, e o volume do tetraedro é 3/10. O vetor normal é v×u = (−3, −5, −1). Usando o ponto a = (−1, 1, 1), a equação do plano é 3x + 5y + z = 3. Os interceptos com os eixos são (1,0,0), (0,3/5,0) e (0,0,3). O volume do tetraedro com a origem é (1/6)·1·(3/5)·3 = 9/30 = 3/10. A) 1/3, B) 3/5, C) 1/5 e E) 2/5: não resultam de (1/6)·1·(3/5)·3. Em geral vêm de erro no produto vetorial ou de esquecer o fator 1/6 do tetraedro. Referência: Equação do plano pelo produto vetorial; volume do tetraedro = (1/6)|abc|. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O sistema equivale a uma soma de quadrados nula, o que dá todas as incógnitas iguais a 1/2 e soma 5/2. Somando as cinco equações, 4(x²+y²+u²+v²+w²) = 4(x+y+u+v+w) − 5. Reorganizando, Σ(xᵢ² − xᵢ + 1/4) = 0, isto é, Σ(xᵢ − 1/2)² = 0. Em reais, cada termo é zero, então todas as incógnitas valem 1/2. A soma é 5·(1/2) = 5/2. B) 2/7, C) 1/7, D) 1/4 e E) 2/3: não correspondem a cinco incógnitas iguais a 1/2, que é a única solução real do sistema. Referência: Completamento de quadrados; soma de quadrados nula. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A variância atual é 4 (DP = 2). Para o DP cair para 1, são necessárias n = 24 novas medições iguais à média. Os tempos somam 44 em 8 medições, então a média é 5,5. A soma dos quadrados é 274, e a variância é 274/8 − 5,5² = 34,25 − 30,25 = 4, com DP = 2. Acrescentar n valores iguais à média não altera a soma dos desvios quadráticos (8·4 = 32), mas aumenta o total de dados. A nova variância é 32/(8+n). Para o DP ser 1, 32/(8+n) = 1, o que dá n = 24. A) 16, B) 20, D) 28 e E) 32: dão variância 32/24, 32/28, 32/36 e 32/40, respectivamente, e nenhuma é igual a 1. Referência: Variância populacional e desvio padrão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O lugar geométrico é a circunferência de centro (4/3, −1/3), e a soma das coordenadas do centro é 1. Com z = x+yi, a equação |z−i| = 2|z−1| fica x²+(y−1)² = 4[(x−1)²+y²]. Simplificando, x²+y² − (8/3)x + (2/3)y + 1 = 0. O centro é (4/3, −1/3) e o raio² é 16/9 + 1/9 − 1 = 8/9, ou seja, r = 2√2/3. A soma das coordenadas do centro é 4/3 − 1/3 = 1. A) A maior coordenada do centro é 4/3, que não é menor que −1/4. B) O raio é 2√2/3 ≈ 0,94, que não é inteiro. D) O produto das coordenadas é −4/9, que não é maior que 2. E) O raio é irracional (2√2/3), então não é racional. Referência: Lugar geométrico no plano complexo (circunferência de Apolônio). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Igualando n·4πR² a 2πRH, obtém-se R = H/(2n). A área de cada esfera é 4πR², então n bolas somam 4nπR². A área lateral do cilindro é 2πRH. Igualando, 4nπR² = 2πRH, o que dá 2nR = H e R = H/(2n). A) H/n, C) H/(3n), D) 2H/(3n) e E) 3H/(4n): não satisfazem 4nR² = 2RH. Substituindo cada uma, as áreas deixam de ser iguais. Referência: Área da esfera 4πR²; área lateral do cilindro 2πRH. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A altura é h = 2√(−ab·cosβ), e o volume é 2ab·senβ·√(−ab·cosβ). As diagonais da base são d² = a²+b²+2ab·cosβ (a menor, pois cosβ<0) e D² = a²+b²−2ab·cosβ (a maior). No paralelepípedo reto, a menor diagonal é √(d²+h²). Igualando à maior diagonal da base, h² = −4ab·cosβ, então h = 2√(−ab·cosβ). A área da base é ab·senβ. Logo V = 2ab·senβ·√(−ab·cosβ).
B) usa senβ dentro da raiz, o que não decorre da condição das diagonais. C) troca senβ por cosβ fora da raiz e usa senβ dentro, invertendo os papéis. D) usa −cosβ como fator da área da base, quando a área é ab·senβ. E) fica com sinal negativo e cosβ dentro da raiz, o que não dá um volume positivo coerente. Referência: Lei dos cossenos; volume = área da base × altura. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pelas fórmulas de soma em produto, tg(α/2)·tg(β/2) = 1/3. Use sen(α+β) = 2sen((α+β)/2)cos((α+β)/2) e sen α + sen β = 2sen((α+β)/2)cos((α−β)/2). Como α+β ≠ πk, pode-se cancelar sen((α+β)/2) e obter 2cos((α+β)/2) = cos((α−β)/2). Abrindo, 2(cc − ss) = cc + ss, com c = cos(α/2)... no sentido de cc = cos(α/2)cos(β/2) e ss = sen(α/2)sen(β/2). Daí cc = 3ss e tg(α/2)tg(β/2) = ss/cc = 1/3. B) 1/4, C) 1/5, D) 1/6 e E) 1/8: não satisfazem a relação cc = 3ss obtida acima. Referência: Transformações trigonométricas (prostaférese) e arcos metade. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A recorrência é a(n) = a(n−1) − a(n−2) + 2a(n−3), e a₇ + a₈ = 8 + 15 = 23. Escreva a(n) = p·a(n−1) + q·a(n−2) + r·a(n−3) e use os termos dados. Isso gera três equações: p−q+2r=6, 6p+q−r=3 e 3p+6q+r=−1. A solução é p=1, q=−1, r=2. Então a₇ = −1 − 3 + 2·6 = 8 e a₈ = 8 − (−1) + 2·3 = 15. A soma é 23. A) 4, B) 5, C) 15 e E) 24: não resultam de a₇ + a₈ com os coeficientes corretos. O 15, por exemplo, é apenas o valor de a₈. Referência: Recorrência linear de 3ª ordem; sistema linear. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os pontos da reta equidistantes dos planos correspondem a t=1 e t=−1, e a soma das coordenadas é 2. Parametrize a reta por y = t, o que dá P = (1+2t, t, 2t). A distância a π₁ é proporcional a |−7t−1| e a distância a π₂ é proporcional a |t+7|. Os normais dos dois planos têm a mesma norma, √29, então basta igualar os numeradores. De |7t+1| = |t+7| saem t = 1 e t = −1. Os pontos são (3,1,2), com soma 6, e (−1,−1,−2), com soma −4. A soma total é 2. A) 0, B) 1, D) 3 e E) 4: não correspondem à soma 6 + (−4) = 2 das coordenadas dos dois pontos encontrados. Referência: Distância de ponto a plano; equações paramétricas da reta. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O único zero ocorre no mínimo da função, em x = −1/2, o que dá k = ln4 − 2. Para x<0, f'(x) = 2/x + 1/x² = (2x+1)/x², que se anula em x = −1/2. A derivada é negativa à esquerda desse ponto e positiva à direita, então ele é um mínimo global. Nas duas extremidades (x→−∞ e x→0⁻), f tende a +∞. Assim, f tem um único zero apenas se o mínimo for zero: f(−1/2) = ln(1/4) + 2 + k = 0, então k = ln4 − 2.
A) 2−ln2, B) ln2−2, C) 2−ln4 e E) ln4−4: não anulam o valor mínimo f(−1/2) = −ln4 + 2 + k. Com A, B, C ou E, o mínimo seria positivo (nenhum zero) ou negativo (dois zeros). Referência: Estudo de extremos de funções por derivada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os anos procurados são 2027 e 2038, e a soma é 4065. Os sábados de fevereiro e março coincidem nos dias 6, 13, 20 e 27 apenas se o ano não é bissexto e 1º de fevereiro cai numa segunda-feira, como em 2021. Um ano comum desloca o dia da semana em 1 e um bissexto em 2. De 2021 a 2027 há 6 anos, sendo um bissexto (2024), então o deslocamento é 6+1 = 7, que equivale a 0. Logo X = 2027, que não é bissexto. Seguindo da mesma forma, o próximo é 2038, então X+Y = 2027 + 2038 = 4065. A, B, C e E (4062, 4063, 4064 e 4066): não correspondem à soma dos dois anos que repetem o calendário de 2021, que são 2027 e 2038. Referência: Calendário gregoriano: ano comum desloca o dia da semana em 1; ano bissexto, em 2. Resolução comentada do VaiConcursos.CPAEN 2021 — Concurso Público de Admissão à Escola Naval — 1º Dia: Prova de Matemática e Inglês — Prova Amarela
Após a maior quantidade possível de cilindros ser colocada no recipiente, este será preenchido com água em sua totalidade. Sendo assim, a opção que mais se aproxima do volume de água, em litros, colocado no recipiente é:
Fonte: www.botafogo.com.br
TFOGOBOA, por exemplo, é um anagrama de Botafogo cujas letras não aparecem nas posições de origem. Sendo assim, é correto afirmar que o total de anagramas de BOTAFOGO cujas letras não aparecem nas posições de origem é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a opção que apresenta a área do quadrilátero FEOG sabendo que AG = 4√2 cm e AH = √(2√3) cm.Resolução comentada
Análise das alternativas
a⃗ = (−1, 1, 1)ᵀ, v⃗ = (3, −2, 1)ᵀ e u⃗ = (1, −1, 2)ᵀ. O volume do tetraedro que possui vértices na origem (0, 0, 0) e nas intersecções de α com os eixos coordenados é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
{ y² + u² + v² + w² = 4x − 1
{ x² + u² + v² + w² = 4y − 1
{ x² + y² + v² + w² = 4u − 1.
{ x² + y² + u² + w² = 4v − 1
{ x² + y² + u² + v² = 4w − 1
Se x = a, y = b, u = c, v = d e w = e constituem a solução do sistema, assinale a opção que apresenta a soma a + b + c + d + e.Resolução comentada
Análise das alternativas
Tempo (min) | 3 | 5 | 8 | 3 | 9 | 6 | 5 | 5
Percebendo a média x dos tempos observados, o corredor pretende realizar o percurso mais n vezes com o tempo exatamente igual à média, cada vez, para que o desvio padrão, de todos os tempos observados, diminua 1 unidade. Dessa forma, n deve ser igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
João jogará uma moeda circular, de raio 1 cm, sobre o tabuleiro.
Se a moeda cair inteiramente sobre uma única casa do tabuleiro (exemplos: Figura 2 e Figura 3), João jogará com as peças brancas, caso contrário Jayme jogará com as peças brancas.
Sabe-se que o tabuleiro é formado por 64 casas (quadradas) de 4 cm de lado, cada, e que a moeda deverá tocar em pelo menos um ponto da região quadriculada (exemplos: Figuras 4 e 5).
A probabilidade de João jogar com brancas é aproximadamente igual a:
Ao aplicarmos uma transformação linear A . P = Q, geramos uma nova figura na qual seus pontos são representados sob a forma Q = (c, d)ᵀ. Sendo A = [−2 1; 3 −1], assinale a opção que representa a figura formada pela transformação A . P.
(2, −1, 1, 6, 3, −1, ...).
A soma do sétimo termo com o oitavo termo é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
{ 2x − y + 3z − 5 = 0
{ −5x + 3y − 4z + 6 = 0.
{ −x + y + 2z − 4 = 0Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Em um teste de prova num laboratório de engenharia civil, cilindros, circulares retos, de concreto de altura 3 dm e raio 1 dm, cada um, serão depositados em um recipiente no formato de um paralelepípedo reto-retângulo de dimensões 10 dm x 8 dm x 5,48 dm, conforme figura abaixo.
Nos últimos jogos olímpicos (2016), o tradicional clube carioca Botafogo foi a base da equipe de remo da seleção brasileira. O clube possui esse nome em virtude do bairro onde ele nasceu.
Suponha que o conjunto solução da equação 5x³ − 4x² + 7x − 2 = 0 é {x₁, x₂, x₃}. Se a equação polinomial P(x) = 0 apresenta {5x₁, 5x₂, 5x₃} como conjunto solução, assinale a opção que apresenta a soma dos coeficientes de P(x).
Considere um círculo de centro O circunscrito a um triângulo ABC com ângulo obtuso em A. O raio AO forma um ângulo de 30° com a altura AH e intercepta BC em um ponto E. O prolongamento da bissetriz do ângulo A intercepta BC em um ponto F e a circunferência em um ponto G, conforme figura abaixo.
Considere um triângulo ABC de modo que C esteja na origem do sistema cartesiano, A esteja no eixo das abscissas com coordenada (x, 0), com x > 0, B esteja no primeiro quadrante e θ seja a medida do ângulo AĈB. Considere também que os comprimentos dos segmentos CB e AB sejam, respectivamente, 3 cm e 5 cm, e que θ varie a uma taxa constante de 1/2 rad/s. Desse modo, assinale a opção que apresenta a velocidade do ponto A quando θ = π/2 rad.
Seja o plano α de equação α: w⃗ = a⃗ + p . v⃗ + q . u⃗, p, q ∈ R, com
Seja f uma função real e f′ e f″ as derivadas de ordem um e dois, respectivamente. A figura abaixo mostra parte dos gráficos de f, f′ e f″, indicados pelas letras a, b e c. Dessa forma, assinale a opção que apresenta uma correspondência correta.
Considere o sistema abaixo:
Um corredor pretende tornar mais regular o tempo gasto para percorrer uma determinada distância. Ele anotou os tempos, em minutos, de cada vez que ele percorreu essa distância (tabela abaixo).
Seja z um número complexo e i a unidade imaginária. O conjunto dos pontos z do plano complexo que satisfaz a equação |z − i| = 2|z − 1| é uma circunferência. Sobre essa circunferência, assinale a opção correta.
Um fabricante de bolas de tênis (bolas em formatos esféricos) deseja vender as bolas em embalagens cilíndricas (cilindros circulares retos) de raio R e altura H, cada uma. Em cada embalagem há n bolas de tênis de raio R, cada bola. O fabricante deseja que a área total das superfícies das bolas seja igual à área lateral da embalagem (cilindro). Dessa forma, é correto afirmar que:
Suponha que a base de um paralelepípedo reto seja um paralelogramo de lados a e b. Suponha, ainda, que o ângulo obtuso desse paralelogramo seja β. Sabendo que a menor diagonal do paralelepípedo é igual à maior diagonal do paralelogramo, assinale a opção que apresenta o volume do paralelepípedo em função de a, b e β.
Sabendo que 2sen(α + β) = sen(α) + sen(β), com α + β ≠ πk, k ∈ ℤ, assinale a opção que apresenta o valor de tg(α/2) . tg(β/2).
Jayme e seu neto João irão disputar uma partida de xadrez (tabuleiro na Figura 1)
Todos os pontos P(a, b) da figura abaixo podem ser representados sob a forma matricial P = (a, b)ᵀ.
Seja a sequência abaixo definida por uma lei de recorrência de 3ª ordem. Cada termo dessa sequência (do quarto termo em diante) é uma combinação linear dos três termos imediatamente anteriores.
Assinale a opção que apresenta a soma de todas as coordenadas dos pontos da reta r: x − 1 = 2y = z que equidistam dos planos π₁: 2x − 3y − 4z − 3 = 0 e π₂: 4x − 3y − 2z = −3.
No R³, a equação ax + by + cz + d = 0, com as constantes a, b, c, d ∈ R, podem representar um plano. Assinale a opção que esboça a representação geométrica dos planos no sistema linear abaixo
Seja a função f definida por f(x) = ln(x²) − 1/x + k, com x ∈ R*₋ e k ∈ R. Sabendo que f tem apenas um zero real, o valor de k é:
Neste ano de 2021, os sábados de fevereiro e março caíram nos mesmos dias do mês: dia 6, dia 13, dia 20 e dia 27. Sejam X e Y os próximos dois anos em que novamente esse fato ocorrerá, ou seja, que os sábados de fevereiro e março cairão nos dias 6, 13, 20 e 27, é correto afirmar que o valor de X+Y é igual a: