← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil — Escola Naval 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 39 com gabarito Gabarito disponível A = (0;1) e B = (2;12), sem interseção. Em A, é necessário log_{1/3}(x²−x+1) > 0, o que dá x²−x+1 < 1, isto é, 0 < x 0 vale sempre). Em B, o discriminante exige 4 − 4log(k−2) > 0, ou seja, log(k−2) 0 resulta 2 < k < 12. Como (0;1) ∩ (2;12) = ∅, a resposta é o conjunto vazio.
B) é apenas o conjunto B. C), D) e E) são intervalos que não resultam da interseção; (0;1) é o conjunto A, mas ele não intercepta B. Referência: Funções logarítmicas: domínio e equação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Convergência exige |q| > 1 em termos de 3x+1, ou seja, x < −2/3 ou x > 0. A razão é q = 1/(3x+1), e a soma é (2x/(3x+1))/(1 − q) = (2x/(3x+1))/(3x/(3x+1)) = 2/3, para x ≠ 0. Para a soma existir é preciso |q| 1. Isso dá x > 0 ou x < −2/3, isto é, (−∞; −2/3) ∪ (0; +∞).
A) e B) ignoram a condição de convergência. C) é intervalo restrito demais. E) usa −1/3 em vez de −2/3, e para −2/3 < x < −1/3 temos |3x+1| < 1, sem convergência.
Referência: Progressão geométrica: soma de termos infinitos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O limite vale 2L. Escreva f(x²−1)/(x−1) = [f(x²−1)/(x²−1)]·(x+1). Quando x→1, u = x²−1 → 0, então o primeiro fator tende a L. O segundo tende a 2, e o limite é 2L. A) −2L e B) −L têm sinal errado. C) 0 só vale se L = 0. D) L ignora o fator (x+1) → 2. Referência: Limites: mudança de variável e limites notáveis. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A circunferência é ex-inscrita e R = p (semiperímetro), então c = R√2/[2cos(α/2)cos(45°−α/2)]. Uma circunferência tangente à hipotenusa e aos prolongamentos dos catetos é ex-inscrita, com R igual ao semiperímetro. Logo R = (c·senα + c·cosα + c)/2, e c = 2R/(1 + senα + cosα). Como 1 + senα + cosα = 2cos(α/2)(sen(α/2) + cos(α/2)) = 2√2·cos(α/2)·cos(45° − α/2), obtém-se c = R√2/[2cos(α/2)cos(45° − α/2)]. B) e D) trazem √3, que não aparece na dedução. C) e E) trocam cossenos por senos de forma que não se obtém na fatoração. Referência: Trigonometria: triângulo retângulo e circunferência ex-inscrita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A distância varia a ≈ 55,4 km/h às 16h. A separação leste-oeste é fixa, 100 km, e a norte-sul cresce a 35 + 25 = 60 km/h. Às 16h (t = 4h), y = 240 km e D = √(100² + 240²) = 260 km. Como D·dD/dt = y·dy/dt, dD/dt = 240·60/260 ≈ 55,4 km/h. As demais opções vêm de erros comuns: usar velocidade relativa incorreta, a distância em outro instante ou não dividir por D. Só 55,4 satisfaz a derivação. Referência: Cálculo: taxas relacionadas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Distância entre retas reversas = |(AB·(d1×d2))|/|d1×d2| = 12/√46. Fazendo z = t em S, temos x = 1 + 2t/3 e y = 2 + t. S passa por (1,2,0) com direção (2,3,3), e r tem direção (1,3,1). O produto vetorial é (6,−1,−3), com módulo √46. O vetor entre os pontos (−1,2,0) e (1,2,0) é (2,0,0), e seu produto escalar com (6,−1,−3) vale 12. A distância é 12/√46. A, B, C e E não coincidem com o cálculo do produto misto dividido pela norma do produto vetorial; resultam de erros na direção de S ou nos módulos. Referência: Geometria analítica: distância entre retas reversas. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Gabarito disponível (x−4)² = 15, logo o produto das raízes é 1. |7 + (4−x)i| = 8 leva a 49 + (4−x)² = 64, ou seja, (x−4)² = 15. Então x = 4 ± √15. O produto é 4² − 15 = 1. A) −1 e B) 0 não conferem com 16 − 15. D) 15 é o valor de (x−4)², não o produto das raízes. E) 16 é só o quadrado de 4, esquecendo de subtrair 15. Referência: Números complexos: módulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade = 36/90 = 2/5. Considerando as posições de chegada, Lewis e Max ocupam um par ordenado de posições distintas, com 10·9 = 90 possibilidades igualmente prováveis. Para Lewis ser campeão, sua posição deve ser menor que a de Max com diferença de pelo menos 2. Há C(10,2) = 45 pares com Lewis à frente, dos quais 9 têm posições consecutivas. Restam 36 casos favoráveis, e 36/90 = 2/5. A) 1/90 considera apenas um resultado. B) 7/10 e C) 4/5 superestimam ao ignorar a exigência de 2 posições de diferença ou a ordem. E) 3/8 não resulta da contagem. Referência: Probabilidade: contagem de casos favoráveis e possíveis. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível f(x) = 4(x−2)³ − 8, logo g(x) = 2 + ∛(x/4 + 2). Desenvolvendo, 4(x−2)³ = 4x³ − 24x² + 48x − 32, então f(x) = 4(x−2)³ − 8. De f(g(x)) = x vem 4(g−2)³ = x + 8, ou seja, (g−2)³ = x/4 + 2. Portanto g(x) = 2 + ∛(x/4 + 2). A) e D) não incluem o fator 1/4 e têm constantes incorretas. B) e C) usam o sinal negativo na raiz e constantes erradas. Em todas, f(g(x)) não resulta em x. Referência: Funções: composição e função inversa. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Regra da cadeia: (f∘g)'(1) = f'(g(1))·g'(1) = 1. Como g(1) = 0, (f∘g)'(1) = f'(0)·g'(1). Temos f'(x) = 20x³ − 6x² + 2, então f'(0) = 2. Além disso, g'(1) = 2/4 = 1/2. Logo o produto vale 2·(1/2) = 1. A) e B) envolvem logaritmos que não aparecem aqui, pois g' é dada diretamente. C) resultaria de f'(0) = 0, o que é falso. E) seria o resultado de esquecer f'(0) = 2. Referência: Cálculo diferencial: regra da cadeia. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível S = (1 − z⁵¹)/(1 − z), com z⁵¹ = i; Re(S) ≈ 2,4. z = cos30° + i sen30°, então z⁵¹ tem argumento 51·30° = 1530° ≡ 90°, e z⁵¹ = i. S é uma PG de 51 termos: S = (1−i)/(1−z). Com 1−z = a − i/2 e a = 1 − √3/2 ≈ 0,15, a parte real é (a + 1/2)/(a² + 1/4) ≈ 0,65/0,2725 ≈ 2,4, que está em (2; 3). As demais faixas, (−1;0), (−3;−2), (−2;−1) e (0;1), não contêm 2,4. Valores negativos surgem se z⁵¹ for calculado incorretamente como −i. Referência: Números complexos: forma trigonométrica e soma de PG. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — CPAEN/2022 — 1º Dia — Prova de Matemática e Inglês — Prova Azul
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere o esboço do gráfico de g representado pela figura abaixo.
Assinale a opção que apresenta o esboço da parte positiva do gráfico de g(t − a) f(t − a) − g(t − a) f(t − b).Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
A formiga e a aranha se deslocam em direção a P no mesmo instante e com velocidades constantes iguais. A formiga somente se desloca através dos segmentos determinados pelos lados dos hexágonos. Quando a aranha chega em P, qual é a menor distância possível, em cm, dela até a formiga?
r: X = (−1, 2, 0) + β(1, 3, 1) e S: { 3x − 2z − 3 = 0 ; y − z − 2 = 0 },
respectivamente. É correto afirmar que a distância entre essas retas é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
é válido para cada i = 1,2,⋯,n.”
Suponha que A e B sejam matrizes n × n estritamente diagonais dominantes. Com base nessa definição assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
A linha do convés encontra-se a 0,5 m do ponto alto P (distância vertical). Considerando apenas a figura plana, a distância, em metros, do convés ao ponto mais baixo do casco é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere que a estrela foi formada a partir de uma circunferência unitária dividida em cinco partes iguais, determinando os pontos A,C, E, G e I (figura 2). As cordas AE, AG, CG, CI e EI determinam um pentagrama, isto é, formam a estrela. Assinale a alternativa que representa a área da estrela, em unidades de área, ou seja, do polígono ABCDEFGHIJ.
O volume da pirâmide GIJK, em cm³, é igual a:
, em que g(x) = xe⁻ᵃˣ com a um número real. Assinale a opção que apresenta todos os valores de t para os quais F(t) exista.Resolução comentada
Análise das alternativas
Esse modelo de telescópio apresenta um problema: o observador precisa estar no foco da parábola para ver a imagem. Em 1672, o astrônomo Cassegrain propôs a utilização de um espelho hiperbólico (espelho E) para resolver o problema. Essa hipérbole do espelho terá F como um dos seus focos. Os raios que iriam formar a imagem em F são refletidos no espelho E e formam a imagem no ponto F1 fora do tubo do telescópio (figura 2).
Considerando o modelo plano, como sugerem as figuras, tomamos a parábola com equação y² = 16x e foco F, a hipérbole (do espelho E e um dos focos F) com excentricidade 3/2, focos na horizontal e uma de suas assíntotas de equação y = (√5/2)x + √5; podemos afirmar que a distância, em unidades de comprimento, entre F e F1 é igual a:
Considere a soma S = 1 + Z + Z² + Z³ + ... + Z⁴⁹ + Z⁵⁰. Desse modo, assinale a opção que apresenta o intervalo R ao qual a parte real de S pertence. Dados: √2 = 1,4; √3 = 1,7 e √5 = 2,2.Resolução comentada
Análise das alternativas
Seja A o conjunto de valores reais para o qual f(x) = log₁₀[log₁/₃(x² − x + 1)] esteja definida. Seja B o conjunto dos valores reais de k de forma que a equação x² − 2x + log₁₀(k − 2) = 0 admita raízes reais distintas. Desse modo, assinale a opção que apresenta o conjunto A ∩ B.
Seja f a função definida por f(t − a) = { 0, 0 ≤ t < a ; 1, t ≥ a }.
Para que valores reais de x, a sequência geométrica (2x/(3x+1); 2x/(3x+1)²; 2x/(3x+1)³; ⋯) possui o limite da soma de seus termos iguais a 2/3?
Seja f uma função definida no conjunto dos números reais. Supondo que lim(x→0) f(x)/x = L, é correto afirmar que o valor do lim(x→1) f(x² − 1)/(x − 1) é igual a:
Um ângulo agudo de um triângulo retângulo ABC, reto em C, é igual a α. Sabe-se que a hipotenusa desse triângulo e os prolongamentos de CA e CB são tangentes a uma circunferência de raio R. Desse modo, o comprimento da hipotenusa é igual a:
Considere dois navios e um submarino da Marinha do Brasil em um exercício de Operações Navais. Os navios serão chamados de P31 e P32 e o submarino de S40. Supondo que, às 12h, S40 verifica que, em seu sonar, P31 está 100km a oeste de P32 e que P31 está navegando para o sul a 35km/h e P32 está indo para norte a 25km/h. O comandante do S40 determina ao operador de sonar que verifique e lhe dê a resposta de quão rápido estará variando a distância entre P31 e P32, às 16h. Assinale a opção que apresenta a resposta correta do operador de sonar ao comandante do S40, aproximadamente.
Em um piso formado por ladrilhos nos formatos de hexágonos regulares congruentes de lados iguais a 2cm, uma formiga se encontra no ponto F, uma aranha no ponto A e uma migalha de pão em P, conforme figura abaixo.
Suponha que duas aeronaves da Marinha do Brasil, F1 e F2, estejam percorrendo as trajetórias dadas pelas retas
Seja ABC um triângulo de lados A̅B̅ = 4, B̅C̅ = 3 e C̅A̅ = 6. Sejam D, E e F os pontos onde o círculo inscrito a ABC tangencia os lados BC, CA e AB, respectivamente, e suponha, ainda, que o círculo ex-inscrito a BC tangencia tal lado em M e os prolongamentos de AC e AB respectivamente em N e P. Desse modo, assinale opção que apresenta o comprimento de F̅D̅.
Considere a seguinte definição: “Diz-se que uma matriz A, de ordem n×n é estritamente diagonal dominante quando
Sejam o número real x e i a unidade imaginária. O produto dos valores de x que torna a igualdade |7 − xi + 4i| = 8 verdadeira é igual a:
Na última corrida de automóveis em um campeonato, Lewis precisa completar a prova, no mínimo, duas posições à frente de Max para ser declarado campeão. Nessa última corrida, com apenas dez participantes, Lewis larga em primeiro e Max na última posição. Considerando os resultados possíveis da corrida e que todos os pilotos completem a prova, qual a probabilidade de Lewis ser o campeão?
Um barco catamarã foi construído de forma que a parte central do casco possui seção transversal modelada pela função f, definida por f(x) = (1/3)x⁴ − 1,2x², com x em metros, conforme apresentado na figura abaixo.
Sejam f e g funções definidas nos reais, tais que f(x) = 4x³ − 24x² + 48x − 40 e f ▫ g(x) = x. Dessa forma g(x) é igual a:
O escudo do atual campeão de futebol na série de acesso, o Botafogo, possui como principal símbolo uma estrela (figura 1).
Seja o cubo ABCDEFGH de aresta 2 cm e I, J e K pontos médios das arestas EH, DH e AB, respectivamente.
Seja F uma função real definida por
Sejam as funções f e g tais que f(x) = 5x⁴ − 2x³ + 2x, g'(x) = 2/(x + 3) e g(1) = 0. O valor de (f ∘ g)'(1) é igual a:
Na observação astronômica, o telescópio refletor, com espelho parabólico no fundo de um tubo (figura 1), é bastante utilizado. Os raios provenientes de corpos celestes formam um feixe praticamente paralelo, refletem no espelho parabólico e formam a imagem no foco F da parábola.
Seja z = √3/2 + (1/2)i um número complexo, sendo i a unidade imaginária.