← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Oficial do Corpo de Engenheiros da Marinha (CP-CEM) — prova comum a todas as profissões de engenharia 20 questões nesta prova · 20 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Os pontos críticos são (±1, −2), e só (1, −2) é mínimo local. fx = 3x² − 3 = 0 dá x = ±1. fy = 8y³ + 64 = 0 dá y = −2. No Hessiano, fxx = 6x, fyy = 24y² = 96 e fxy = 0. Em (1,−2): fxx = 6 > 0 e det = 6·96 > 0, então é mínimo local. Em (−1,−2): det = −6·96 < 0, então é ponto de sela.
Qualquer opção com y = 2 não é ponto crítico. As opções com (−1,−2) incluem um ponto de sela, que não é mínimo local. Referência: Cálculo II: pontos críticos e teste da segunda derivada (Hessiano). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O campo é conservativo se for gradiente de uma função potencial; em A, φ = sen(xy). Para F = (P,Q) em ℝ², o campo é conservativo se ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Em A, ∂/∂y[y cos(xy)] = cos(xy) − xy sen(xy), e ∂/∂x[x cos(xy)] = cos(xy) − xy sen(xy). As derivadas são iguais. De fato, F = ∇sen(xy). B: Py = sen(xy) + xy cos(xy), mas Qx = cos(xy) − xy sen(xy). C: Py = −x² sen(xy), mas Qx = −y² sen(xy). D: Py = x cos(xy), mas Qx = y cos(xy). E: Py = x² cos(xy), mas Qx = −y² sen(xy). Em B, C, D e E as derivadas cruzadas diferem, então não são conservativos. Referência: Cálculo Vetorial: campos conservativos e critério das derivadas cruzadas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pela regra da cadeia, (f∘g)'(0) = f'(0)·g'(0) = (α+3)(1−α) > 0, o que dá −3 < α < 1. Como g(0) = 0, temos (f∘g)'(0) = f'(g(0))·g'(0) = f'(0)·g'(0) = (α+3)(1−α). O produto é positivo quando os dois fatores têm o mesmo sinal. Os dois positivos exigem α > −3 e α < 1. Os dois negativos exigem α 1, o que é impossível. Logo −3 < α < 1.
As demais opções trazem intervalos que não correspondem às raízes −3 e 1 com o sinal correto da parábola −(α+3)(α−1). Isso vale para os extremos −1 e 3 e para os intervalos externos, onde o produto é negativo. Referência: Cálculo I: regra da cadeia. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A matriz de T tem posto 2 se λ ≠ 2 (imagem é um plano) e posto 1 se λ = 2. As linhas da matriz são (2,−1,1), (−4,2,−2) e (4,−2,λ). A 2ª linha é −2 vezes a 1ª, e a 3ª é 2 vezes a 1ª apenas quando λ = 2. Para λ ≠ 2 há exatamente duas linhas independentes, então o posto é 2 e a imagem é um plano. Para λ = 2 o posto é 1 e a imagem é uma reta. A, B, C e D trocam o valor crítico por −2, −1, 0 e 1. Nesses valores a 3ª linha não é múltipla da 1ª, então o posto não cai e a condição não é a correta. Além disso, 'λ ≠ k' só faz sentido como condição se k = 2. Referência: Álgebra Linear: teorema do posto-nulidade; imagem de transformação linear e posto da matriz. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível P(pelo menos dois iguais) = 1 − (20·19·18·17)/20⁴ = 1093/4000. Pelo complementar, a probabilidade de todos os números serem distintos é 1 · 19/20 · 18/20 · 17/20 = 5814/8000 = 2907/4000. Então a probabilidade de haver dois ou mais iguais é 1 − 2907/4000 = 1093/4000 (alternativa D). A e B) 2907/4000 e 2907/5000 são a probabilidade de números todos distintos (ou valor derivado dela), o complemento do pedido. C e E) Têm denominador 5000, que não aparece no cálculo (o denominador correto é 4000 após simplificar 8000). Referência: Probabilidade do evento complementar. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As raízes são 1 e −α; e^(−αx) é ilimitada em (−∞,0) quando α > 0. A equação característica r² + (α−1)r − α = 0 fatora-se em (r−1)(r+α) = 0, com raízes 1 e −α. A solução e^x é limitada em (−∞,0). Já e^(−αx) tende a infinito quando x → −∞ se α > 0, logo existe solução ilimitada para α ∈ (0, +∞), alternativa A. B, D e E) Envolvem α negativo ou menor que 1, onde e^(−αx) tende a 0 ou é constante quando x → −∞ (para α ≤ 0 todas as soluções são limitadas). C) (1, +∞) é só parte do intervalo correto, pois α entre 0 e 1 também gera solução ilimitada. Referência: EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Na etapa 1 a altura é igual nos dois vasos (8 cm), dando 32 cm³ em B; na etapa 2 a igualdade de pressão dá 4 cm de líquido em B, ou seja 16 cm³. Etapa 1: A recebe 200 cm³ numa base de 25 cm², logo h = 8 cm; B tem a mesma altura e base de 4 cm², então recebe 32 cm³ de água. Etapa 2: A recebe mais 200 cm³ (8 cm de líquido de 0,4). Igualando pressões: 8 + 0,4·8 = 8 + 0,8·x, logo x = 4 cm, e o volume em B é 4 × 4 = 16 cm³. A resposta é 32 cm³ e 16 cm³, alternativa A. B) Mantém 32 cm³ na segunda etapa, ignorando a diferença de densidades. C, D e E) Usam volumes proporcionais a 200 cm³ ou razões de área incorretas, sem considerar que B tem base de 4 cm² e altura de líquido definida pela pressão. Referência: Teorema de Stevin e vasos comunicantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pela conservação da energia, v² = 2GM(1/L − 1/L0), e a razão v2²/v1² vale 3. Partindo do repouso em L0, v² = 2GM(1/L − 1/L0). Em L1 = L0/2: v1² = 2GM/L0. Em L2 = L0/4: v2² = 2GM·3/L0. Logo v2²/v1² = 3 e |v2|/|v1| = √3 (alternativa D). A, B e C) Valores inteiros viriam de proporcionalidade direta com a distância, e não com 1/L. E) √2 resultaria de tratar a energia como se v² fosse proporcional a (L0 − L) de forma incorreta ou comparar apenas o último trecho. Referência: Conservação da energia mecânica na gravitação newtoniana. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os dois sólidos flutuam, deslocando água de massa igual à sua; a altura sobe (0,8 + 3,2π)/(16π). No equilíbrio de flutuação, o volume de água deslocado é a massa do corpo dividida pela densidade da água. O cubo tem 0,8 g, então desloca 0,8 cm³. A esfera tem massa 0,3 × (4/3)π·8 = 3,2π g, então desloca 3,2π cm³. A elevação é (0,8 + 3,2π)/(16π) = 0,05/π + 0,2 cm, logo h1 = 10,2 + 0,05/π cm (alternativa B). A e D) Esquecem os 10 cm iniciais da água. C e E) Erram o cálculo do volume deslocado pelo cubo, usando 1 cm³ ou outro valor e não 0,8 cm³ (0,8/16π = 0,05/π), e E ainda omite os 10 cm. Referência: Princípio de Arquimedes: empuxo = peso do corpo na flutuação. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Isométrica triplica a temperatura (3T) e a isobárica seguinte dobra (6T). Na transformação isométrica, P/T é constante, então ao passar de 2 para 6 atm a temperatura vai de T para 3T. Na isobárica, V/T é constante, e dobrar V dobra a temperatura, resultando em 6T (alternativa A). B) 3T considera só a isométrica. C) T ignora ambas. D e E) T/3 e T/6 inverteriam a relação entre pressão, volume e temperatura. Referência: Lei geral dos gases perfeitos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Com F = qvB·senθ constante, v é inversamente proporcional a senθ; o maior v é onde senθ é mínimo. Como F = |q|vB·senθ é igual para todas as cargas, v = F/(|q|B senθ), inversamente proporcional a senθ (cargas idênticas). Os senos são: π/5 ≈ 0,59; π/4 ≈ 0,71; π/3 ≈ 0,87; π/2 = 1; 3π/4 ≈ 0,71. O maior v é o de q1 (menor seno) e o menor v é o de q4 (seno máximo), alternativa C. Todas as outras alternativas trocam a ordem dos senos: o menor seno é o de π/5 (maior velocidade) e o maior seno é o de π/2 (menor velocidade). Por exemplo, q5 tem o mesmo seno de q2 e não é extremo, e q3 não é nem o maior nem o menor. Referência: Força magnética sobre carga em movimento: F = |q|vB senθ. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Com η = 1 − T2/T1 = 0,5, T2 = T1/2 = 230 K = −43 °C. T1 = 187 + 273 = 460 K. O rendimento de Carnot é η = 1 − T2/T1 = 0,5, então T2 = 230 K. Em Celsius, 230 − 273 = −43 °C, alternativa E. A) 93,5 °C é a metade de 187 °C, o que erra por usar a escala Celsius. B e C) São valores positivos que não correspondem a 230 K. D) −33 °C corresponde a 240 K, e não satisfaz η = 0,5. Referência: Ciclo de Carnot: η = 1 − T2/T1 (temperaturas em kelvin). Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — CP-CEM/2023 — Prova Escrita Objetiva de Conhecimentos Básicos (comum a todas as profissões de engenharia) — Prova Amarela
.
Então 
vale:
, x ∈ ℝ, então sua derivada é F′(x) é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
pelo método dos trapézios e pelo método de Simpson, obtém-se, respectivamente:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
T(x,y,z) = (2x − y + z, −4x + 2y − 2z, 4x − 2y + λz),
(x,y,z) ∈ ℝ³
Assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
A equação da reta que melhor aproxima a tabela acima pelo método dos mínimos quadrados é:
Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo equilátero. Em cada um dos pontos A e B, está fixada uma carga de intensidade Q > 0 e, no ponto C, fixa-se uma carga de intensidade γQ, na qual γ > 0. Uma quarta carga, de intensidade q ≠ 0, é colocada em um dos pontos interiores dessa região triangular ABC, sobre o segmento MC, no qual M é o ponto médio do segmento AB. Sendo assim, assinale a opção correta.
Duas bolas B₁ e B₂, ambas com massa m, deslocam-se em um plano Oxy livres da ação de forças externas. No instante t₁ = 0, a bola B₁ está no ponto (−3, −4) com velocidade v₁ = (3, a), e a bola B₂ está no ponto (4, −3) com velocidade v₂. Num instante t₂ > 0, as bolas chocam-se na origem e seguem juntas com velocidade v₃. Nessas condições, é correto afirmar que:
Sendo assim, as quantidades de água e de líquido de densidade m_B colocadas no recipiente B na primeira e segunda etapa são, respectivamente:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Dois pontos materiais P₁ e P₂ movem-se num plano Oxy em circunferências de centro (0,0) e raios, respectivamente, de 1m e 3m. Cada ponto descreve um movimento circular uniforme com velocidades angulares, respectivamente, de 1 rad/seg e π/4 rad/seg. No instante t₀ = 0, os dois pontos estavam na semirreta x > 0. Nessas condições, qual o primeiro instante T > 0 em que os dois pontos voltam a estar numa mesma semirreta de origem (0,0)?
. Qual é a amplitude da solução q(t) que satisfaz q(0) = 1 e 
?Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere que, para −3 < x < 3,
Se
Os pontos de mínimo local de f(x,y) = x³ + 2y⁴ − 3x + 64y + 17 são:
Ao aproximar
Assinale a opção que apresenta um campo de força F: ℝ² → ℝ² conservativo.
As funções f(x) e g(x), definidas de ℝ em ℝ, são deriváveis, f(0) = g(0) = 0, f′(0) = α + 3, g′(0) = 1 − α e (f ∘ g)′(0) > 0. Isso acontece se, e somente se:
Considere a transformação linear abaixo.
André tem quatro caixas idênticas, em cada caixa há 20 bolas iguais, e cada uma dessas bolas está numerada com um número natural entre 1 e 20 sem que haja duas com o mesmo número. Se André sorteia uma bola de cada caixa, qual a probabilidade de retirar duas ou mais bolas com o mesmo número?
Assinale a opção que apresenta o intervalo dos α ∈ ℝ para os quais y″ + (α − 1)y′ − αy = 0 tem uma solução que não é limitada em (−∞, 0).
Considere a tabela a seguir.
Analise a figura abaixo.
Analise a figura abaixo.
Dois reservatórios verticais A e B, de mesma altura, cujas bases são quadrados de lados respectivamente L_A = 5cm e L_B = 2cm, estão ligados por um cano de volume desprezível em sua parte inferior, que permanece aberto. Inicialmente, A e B estão vazios. Em uma primeira etapa, água é lentamente colocada em A e B de forma que, em cada instante, o sistema de vasos comunicantes fique em equilíbrio e não haja fluxo de líquido entre os reservatórios. Em uma segunda etapa, passa-se a colocar em A e B líquidos de densidades m_A = 0,4 g/cm³ e m_B = 0,8 g/cm³, respectivamente, novamente tomando-se o cuidado de manter o sistema de vasos comunicantes em equilíbrio e sem fluxo de líquido no cano de comunicação. Na primeira etapa, 200cm³ de água são colocados em A , e, na segunda etapa, A recebe mais 200cm³ do líquido de densidade m_A.
Um objeto A de massa m > 0 é atraído por uma estrela de massa M > 0 devido à força gravitacional newtoniana. No instante t₀ = 0, A está a uma distância L₀ > 0 da estrela, com velocidade nula. Em um instante t₁ > 0, o objeto A encontra-se a uma distância L₁ = L₀/2 da estrela, com velocidade v₁, e, num instante t₂ > t₁, A está a uma distância L₂ = L₁/2 da estrela, com velocidade v₂. Considere que o sistema é isolado e também que a massa m é desprezível em relação a M, de forma que se possa supor que a estrela está fixa. Nessas condições, o valor de |v₂|/|v₁| é:
Um vaso na forma de um cilindro circular reto com base de raio de 4 cm e altura de 30 cm está inicialmente com água até uma altura h₀ = 10cm a partir da base. Nesse vaso, são colocados dois sólidos, um cubo e uma esfera, de forma que fiquem em equilíbrio, sem se tocarem e sem encostarem na lateral do vaso, mudando a altura da água para uma altura h₁ a partir da base do vaso. Sabendo que o cubo tem aresta de 1 cm e densidade d_c = 0,8g/cm³, e que a esfera tem raio de 2 cm e densidade d_e = 0,3 g/cm³, calcule o valor de h₁ e assinale a opção correta.
Um gás perfeito, inicialmente a uma temperatura T>0, sofre uma transformação isométrica e sua pressão passa de 2 atm para 6 atm. A seguir, sofre uma transformação isobárica e seu volume passa de V para 2V. Sendo assim, qual é a temperatura do gás após essas transformações?
Cinco cargas puntiformes idênticas q₁, q₂, q₃, q₄ e q₅ entram em um campo magnético uniforme B com velocidades, respectivamente, v₁, v₂, v₃, v₄ e v₅, de modo que essas velocidades formem, respectivamente, ângulos π/5, π/4, π/3, π/2 e 3π/4 com B (medidos em radianos). Além disso, a intensidade da força magnética sobre as cinco cargas é a mesma. Nessas condições, dentre os módulos das velocidades |vⱼ|, j = 1,2,3,4,5, o maior valor e o menor valor são, respectivamente, os das cargas:
Analise a figura abaixo.
Um circuito LC é descrito pela equação diferencial
Uma máquina térmica ideal de Carnot opera entre duas fontes de calor, com temperaturas T₁ = 187⁰C > T₂, e seu rendimento é 0,5. Nessas condições, qual é o valor de T₂?