← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Professor do Magistério Superior 30 questões nesta prova · página 1 de 2 · 30 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Em polares, r = 2θ, e o comprimento de arco é 2√5 + ln(2+√5). Como r = 2t e θ = t, tem-se r = 2θ com θ de 0 a 2. Então L = ∫₀² √(r² + r′²) dθ = ∫₀² 2√(θ²+1) dθ. Usando ∫√(θ²+1) dθ = (θ/2)√(θ²+1) + ½ ln(θ + √(θ²+1)), obtém-se L = 2√5 + ln(2+√5). B, C, D e E resultam de erros no fator constante da integral ou no sinal e nos termos do logaritmo. Referência: Cálculo: comprimento de arco em coordenadas polares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível É uma equação de Bernoulli com n = 1/2; a substituição z = √y dá √y = x ln²x + cx. Como ln x⁴ = 4 ln x, a equação é y′ = (2/x)y + 4 ln x·√y. Com z = √y, vem z′ − z/x = 2 ln x. O fator integrante é 1/x e dá (z/x)′ = 2 ln x/x, ou seja, z/x = ln²x + c. Portanto √y = x ln²x + cx. B, C, D e E não satisfazem a EDO ao serem derivadas. Em particular, nenhuma contém o termo ln²x multiplicado por x na forma obtida. Referência: Equações Diferenciais: equação de Bernoulli. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A taxa de variação é ∇f · γ′ = −4/3. O vetor velocidade tem módulo 2 e direção (1,−2,2)/3, logo γ′ = (2/3, −4/3, 4/3). O gradiente ∇f = (1+y, 1+x, 0) vale (2,2,0) em (1,1,1). Pela regra da cadeia, df/dt = 2·(2/3) + 2·(−4/3) = −4/3. As demais opções vêm de não normalizar o vetor tangente, de esquecer o fator de velocidade 2 ou de erros no gradiente. Referência: Cálculo: regra da cadeia para funções de várias variáveis ao longo de curvas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Como A e B são inversíveis, X = (A⁻¹)ᵀ. Multiplicando BAXᵀ = B por B⁻¹ à esquerda, obtém-se AXᵀ = I. Multiplicando por A⁻¹, vem Xᵀ = A⁻¹. Transpondo os dois lados, X = (A⁻¹)ᵀ. A omite a transposição. B e C não têm relação com a equação. D, (Aᵀ)⁻¹, é igual a (A⁻¹)ᵀ, mas não foi o item marcado como gabarito (E, a forma direta). Referência: Álgebra Linear: matrizes inversas e transpostas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O vetor w é unitário, ortogonal a u e a v, e |x|+|y|+|z| = √2. Verifica-se que u·v = −1 + ½ + ½ = 0. O vetor w deve ser paralelo a u × v = (0, −3/2, 3/2), logo w = (0, ∓1/√2, ±1/√2) após a normalização. Assim, |x| + |y| + |z| = 0 + 1/√2 + 1/√2 = √2. As demais opções não correspondem à soma dos módulos das componentes de w. Os valores √2/2 e 2√3/3 aparecem se a normalização for feita incorretamente. Referência: Álgebra Linear: bases ortogonais e produto vetorial. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Um conjunto ortogonal de vetores não nulos é linearmente independente. Se c₁v₁ + … + cₙvₙ = 0, o produto interno com vⱼ elimina todos os termos, exceto cⱼ‖vⱼ‖² = 0. Como vⱼ ≠ 0, tem-se cⱼ = 0 para todo j. Logo o conjunto é LI. B contradiz a independência. C: a dimensão depende de n. D: A só seria base se gerasse V. E: um conjunto finito de vetores não é subespaço, mas sim o seu gerado. Referência: Álgebra Linear: conjuntos ortogonais e independência linear. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os quatro vetores têm posto 3, então dim W = 3. Escalonando: v2 + 3v1 = (0,−7,7,4) e v4 + 5v1 = (0,2,14,8). Usando v3 = (0,1,7,4) como pivô, (0,−7,7,4) + 7v3 = (0,0,56,32), que é não nulo. Já (0,2,14,8) − 2v3 = (0,0,0,0), o que mostra que v4 é combinação linear dos outros. O posto é 3. A e B: há pelo menos três vetores LI (v1, v3 e o vetor (0,0,56,32)). D: v4 é dependente dos demais. E: a dimensão de um subespaço gerado por 4 vetores não pode ser 5. Referência: Álgebra Linear: posto e dimensão do subespaço gerado. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Pelo teorema de Stokes, o trabalho é zero. A interseção é o círculo x² + y² = 2 em z = √2. O rotacional de F é (1, 0, −x). Aplicando Stokes ao disco plano em z = √2, com normal k, o trabalho é ∬(−x) dA. Essa integral se anula porque o disco é simétrico em relação ao eixo y e o integrando é ímpar em x. A, B, C e D são valores não nulos que não aparecem no cálculo. A componente k do rotacional é −x, que integra a zero sobre um disco centrado na origem. Referência: Cálculo vetorial: Teorema de Stokes. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — Diretoria de Ensino da Marinha — CP-PMS/2013 — Professor do Magistério Superior — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Com base nessa tabela e usando a fórmula de Newton do polinômio de interpolação, qual é o valor de f(1)?Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Seja C uma curva em ℜ² parametrizada por (r(t), θ(t)) = (2t, t), 0 ≤ t ≤ 2 onde o par (r, θ) representa as coordenadas polares de cada ponto de C. Qual é o comprimento de C?
O canto superior direito de um pedaço de papel com 30cm de largura por 20cm de comprimento é dobrado de modo que o canto superior direito toque o lado inferior do retângulo, com a parte dobrada formando um triângulo, conforme a figura abaixo. Como se deve fazer a menor dobra possível, isto é, qual o valor de x que minimiza y?
A solução geral da equação diferencial dy/dx = (2/x)y + √y ln x⁴ , onde y é função não identicamente nula na variável x ∈ ℜ⁺ e x ≠ 0 é
Seja γ uma curva em ℜ³ percorrida no instante t = 1 com velocidade igual a 2 unidades de velocidade e no sentido do vetor tangente i⃗ − 2j⃗ + 2k⃗ . Se t = 1 corresponde ao ponto (1,1,1) em γ, a taxa de variação da função f(x,y,z) = x + y + xy, em relação a t, ao longo de γ em t = 1 é
Analise a tabela abaixo.
Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem e inversíveis. A solução da equação matricial BAXᵀ = B, onde X é a variável e Xᵀ é a transposta de X é
Se w⃗ = xi⃗ + yj⃗ + zk⃗ é um vetor unitário do ℜ³ de modo que o conjunto dos vetores u⃗ = i⃗ + j⃗ + k⃗ , v⃗ = −i⃗ + ½j⃗ + ½k⃗ e w⃗ forma uma base ortogonal em ℜ³, então, |x| + |y| + |z| é igual a
Considere V um espaço vetorial e A = { v₁, v₂, v₃, . . . , vₙ } um conjunto ortogonal de vetores não nulos do espaço vetorial V. Sendo assim, pode-se afirmar que o conjunto A
O subespaço W de ℜ⁴ gerado pelos quatro vetores v⃗₁ = (1,−1,2,2); v⃗₂ = (−3,−4,1,−2); v⃗₃ = (0,1,7,4) e v⃗₄ = (−5,7,4,−2) tem dimensão:
Qual é o trabalho realizado pelo campo de forças F⃗(x,y,z) = xy i⃗ + 2 j⃗ + (z² + y) k⃗ , x, y, z ∈ ℜ, ao deslocar uma partícula ao longo da curva C, interseção da esfera x² + y² + z² = 4 com o cone z = √(x² + y²) , orientada de forma que sua projeção no plano xy seja anti-horária?