Provas – VaiConcursos

Cálculo Diferencial e Integral Taxas Relacionadas

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

Marinha do Brasil · Professor do Magistério Superior · Caderno Amarela

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Em um certo relógio, o ponteiro dos minutos tem 4cm de comprimento e o das horas tem 3cm. Com que rapidez estará variando a distância entre as extremidades dos ponteiros às 9 horas?

Selecione uma alternativa A) π/30 cm/min B) π/180 cm/min C) π/150 cm/min D) π/120 cm/min E) π/60 cm/min

Cálculo Diferencial e Integral Séries de Taylor

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

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A série de Taylor gerada pela função real f(x) = x³sen2x em torno do ponto a=0 é

Cálculo Numérico Aritmética de Ponto Flutuante

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

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No sistema denominado aritmética de ponto flutuante, um número real r pode ser representado na forma: ±(.d₁d₂d₃...dₜ) × βᵉ, onde β é a base em que a máquina opera; t é o número de dígitos na mantissa, 0 ≤ dⱼ ≤ (β − 1), j = 1,2,...,t, d₁ ≠ 0, e é o expoente no intervalo [l, u]. Considere uma máquina cujo sistema de representação de números é definido por: β = 10, t = 4, l = 5 e u = 5. Sendo assim, pode-se afirmar que nesta máquina os resultados das somas S₁ = 42450 + somatório de k=1 a 10 de 3 e S₂ = somatório de k=1 a 10 de 3 + 42450 são, respectivamente:

Selecione uma alternativa A) S₁ = 0.4245×10⁵ e S₂ = 0.4245×10⁵ B) S₁ = 0.4248×10⁵ e S₂ = 0.4248×10⁵ C) S₁ = 0.4244×10⁵ e S₂ = 0.4248×10⁵ D) S₁ = 0.4249×10⁵ e S₂ = 0.4245×10⁵ E) S₁ = 0.4245×10⁵ e S₂ = 0.4248×10⁵

Cálculo Diferencial e Integral Teorema de Stokes

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

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Considere S uma superfície no ℜ³, obtida girando-se o segmento de reta que une os pontos (1,0,1) e (0,0,3) em torno do eixo z. Se n é o campo vetorial de vetores normais a S, onde n possui componente em z positiva e F um campo vetorial no ℜ³ definido por F(x,y,z) = (−y³/3 + sen z)i + (x³/3 + yz)j + xy k, então o fluxo do campo vetorial rot F através da superfície S é

Álgebra Linear Espaços Vetoriais e Transformações Lineares

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

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Analise as sentenças abaixo.

I - O conjunto de vetores W = {i⃗ + 3j⃗ , 2i⃗ + 5j⃗ } gera o ℜ².
II - O conjunto V formado por quatro vetores de ℜ³ é linearmente dependente.
III- A transformação T: ℜ² → ℜ² definida por T(x,y) = (xy, 1) não é linear.
IV - Se T: V → W é uma transformação linear então o núcleo de T é um subespaço vetorial de V.

Assinale a opção correta.

Selecione uma alternativa A) Apenas as sentenças I, III e IV são verdadeiras. B) As sentenças I, II, III e IV são verdadeiras. C) Apenas as sentenças II e IV são verdadeiras. D) Apenas as sentenças I, II e III são verdadeiras. E) Apenas a sentença IV é verdadeira.

Resolução comentada

As quatro sentenças são verdadeiras.

I: os vetores (1,3) e (2,5) têm determinante 5 − 6 = −1 ≠ 0, logo são LI e geram o ℜ². II: quatro vetores em ℜ³ excedem a dimensão 3, logo são LD. III: T(0,0) = (0,1) ≠ (0,0), então T não é linear. IV: o núcleo de uma transformação linear é um subespaço de V.

Análise das alternativas

A, C, D e E negam alguma das sentenças I, II, III ou IV, todas verdadeiras. Só B está correta.

Referência: Álgebra Linear: geradores, dependência linear, transformações lineares e núcleo.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Cálculo Diferencial e Integral Regra da Cadeia

Diretoria de Ensino da Marinha 2013 Superior

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Sabendo que f e g são funções reais de uma variável real, tais que f′(x) = 1/x, (f ∘ g)(x) = kx , g(1) = 2g(0) e g(x) ≠ 0, onde k é uma constante real, então o valor de g(2) é

Resolução comentada

De f′ = 1/x segue que ln|g(x)| é linear em x, o que dá g(2) = 4g(0).

Como f(x) = ln|x| + C, a igualdade f(g(x)) = kx dá ln|g(x)| = kx + c′. De g(1) = 2g(0) obtém-se ln|g(1)| − ln|g(0)| = k = ln 2. Assim, ln|g(2)| − ln|g(0)| = 2k = ln 4, e portanto g(2) = 4g(0).

Análise das alternativas

A, B, C e D ignoram que o logaritmo é linear em x. Isso faz g(x) crescer exponencialmente, com razão 2 por unidade de x, e não de forma linear.

Referência: Cálculo: regra da cadeia e integral de 1/x.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Cálculo Diferencial e Integral Volumes de Sólidos de Revolução

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Sejam f(x) uma função contínua e positiva e R a região do plano xy limitada pelo gráfico de f e o eixo x, de x = 0 até x = t. Sabendo que o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R em torno do eixo y é igual a sen²(πt²/3) + πe^(t²−1) − πe^(−1), para t ≥ 0, o valor de f(1) é

Selecione uma alternativa A) (√2 + 3)/3 B) (√6 + 3)/3 C) (√2 + 3)/2 D) (√3 + 6)/6 E) (√3 + 2)/2

Cálculo Diferencial e Integral Integrais Duplas — Inversão da Ordem de Integração

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Se f é uma função real de variáveis reais x e y definida por f(x,y) = √(y − √x) + √(1 − y) e R é o domínio de f, então, o valor da integral dupla sobre R de √(1 − y³) dA é igual a

Cálculo Diferencial e Integral Derivada Direcional e Vetor Normal a Superfícies

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Considere S uma superfície no ℜ³ representada parametricamente pela função vetorial r⃗(u,v) = u²v i⃗ + (u + v) j⃗ + u k⃗ , u, v ∈ ℜ e f uma função real definida por f(x,y,z) = x³ + y² + z, x, y, z ∈ ℜ. O valor absoluto da derivada direcional da função f no ponto (1,2,1) e na direção da perpendicular à S em (1,2,1) é

Resolução comentada

Derivada direcional de f na direção do vetor normal a S em (1,2,1) vale 2√3/3.

No ponto (1,2,1), z = u dá u = 1 e y = u + v dá v = 1. As derivadas parciais são r_u = (2uv,1,1) = (2,1,1) e r_v = (u²,1,0) = (1,1,0). O produto vetorial r_u × r_v é (−1,1,1), de módulo √3. Como ∇f = (3x²,2y,1) = (3,4,1) no ponto, a derivada direcional é (3,4,1)·(−1,1,1)/√3 = 2/√3 = 2√3/3.

Análise das alternativas

As demais opções resultam de erros no produto vetorial, na normalização do vetor normal ou no gradiente. Apenas 2√3/3 corresponde ao cálculo correto.

Referência: Cálculo vetorial: vetor normal a superfície parametrizada e derivada direcional.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Cálculo Diferencial e Integral Integrais de Linha

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Considere o campo vetorial F(x,y,z) = i + yj + k, e C a interseção das superfícies no ℜ³, S₁ = {(x,y,z) ∈ ℜ³ / y = x} e S₂ = {(x,y,z) ∈ ℜ³ / z = x² + y²}, orientada no sentido do ponto (−1,−1,2) para o ponto (1,1,2). Qual é o valor da integral sobre C de F·dr?