← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil — Corpo de Engenheiros da Marinha · Oficial do Corpo de Engenheiros da Marinha (CP-CEM) — prova comum a todas as engenharias 21 questões nesta prova · página 1 de 2 · 19 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Áreas separadas no ponto de interseção x = π/4. cos x = sen x em x = π/4. A área é ∫₀^{π/4}(cos − sen)dx + ∫_{π/4}^{π/2}(sen − cos)dx. Cada parcela vale √2 − 1, então o total é 2√2 − 2. A) Seria a integral de cos sem considerar o cruzamento. B) É apenas uma das duas áreas. C) 2√2 esquece de subtrair 2. E) Não corresponde ao cálculo. Referência: Cálculo da área entre curvas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível cos é decrescente em [0,1]; o mínimo de cos(sen x) ocorre onde |sen x| = 1. Como sen x ∈ [−1,1] e cos t é máximo em t = 0 e decresce em |t| ≤ 1, f é mínima quando |sen x| é máxima, ou seja, em x = π/2 + nπ. Nesses pontos f = cos 1. A) e B) Em nπ, sen x = 0 e f é máxima. C) Mistura máximos e mínimos. E) Contém apenas os pontos onde sen x = 1, omitindo os de sen x = −1. Referência: Máximos e mínimos locais de funções compostas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Aproximação por polinômios de Legendre em [−1,1]. Os coeficientes são c₀ = ½∫|x|dx = 1/2 e c₂ = (5/2)∫|x|P₂dx = 5/8, com P₂ = (3x² − 1)/2. Como |x| é par, c₁ = 0. O polinômio é 1/2 + (5/8)(3x² − 1)/2 = 15x²/16 + 3/16. A), B) e E) Têm coeficiente de x² igual a 1, que não resulta da projeção. C) Inverte os coeficientes (3/16 e 15/16). Referência: Mínimos quadrados contínuos com polinômios de Legendre. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Divergente do gradiente é o laplaciano; rotacional de gradiente é nulo. ∇V = cos(u)·(1, 2, −1), com u = x + 2y − z. O divergente é −sen(u)(1 + 4 + 1) = −6 sen(u). O rotacional de um gradiente (de classe C²) é sempre o vetor nulo. B) e D) Têm rotacional não nulo, o que é impossível para um gradiente. C) Usa 4 em vez de 6 (esquece o termo 1² + 2² + (−1)² = 6). E) Erra o sinal e o valor do divergente e também o rotacional. Referência: Cálculo vetorial: ∇·(∇V) = ΔV e ∇×(∇V) = 0. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Como f é constante sobre a curva xy = 1, a derivada de f ao longo da curva é zero. Parametrizando a curva por (x, 1/x), temos d/dx f(x,1/x) = fₓ − fᵧ/x² = 0. Em x = 2: 4 − fᵧ/4 = 0, logo fᵧ = 16. A), B), C) e D) Resultam de erro no sinal ou na potência de x (por exemplo, usar 1/x em vez de 1/x² na derivada de y = 1/x). Só 16 satisfaz a condição de derivada nula. Referência: Regra da cadeia para funções de duas variáveis. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os autovalores da matriz associada são 0, −2 e 3. A matriz é [[0,2,1],[2,0,1],[1,1,1]]. Seu traço é 1 e seu determinante é 0. O vetor (1,1,1) é autovetor de autovalor 3, e (1,−1,0) é autovetor de autovalor −2. O terceiro autovalor é 1 − 3 + 2 = 0, que é coerente com o determinante nulo. A), B), D) e E) Têm soma dos autovalores diferente do traço (1) ou incluem valores que não são autovalores, como 2 e −3. Referência: Autovalores e autovetores de transformações lineares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível P = P(1ª vermelha) + P(1ª não vermelha e 2ª de mesma cor). P(1ª vermelha) = 1/4. Se a 1ª não for vermelha (3/4), restam 39 bolas, das quais 9 são da mesma cor da sorteada, então a probabilidade é 9/39 = 3/13. Total: 1/4 + (3/4)(3/13) = 13/52 + 9/52 = 22/52 = 11/26. B) Considera apenas parte dos casos. C), D) e E) Não correspondem ao cálculo; o valor correto é 11/26 ≈ 0,42. Referência: Probabilidade condicional e regra da soma. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Todas as soluções de y″ + by = 0 têm período 2π apenas se b = n², n inteiro positivo. Para b > 0, as soluções são combinações de cos(√b x) e sen(√b x), com período 2π/√b. Todas satisfazem y(x) = y(x+2π) quando √b = n inteiro positivo, ou seja, b = n². Para b ≤ 0 as soluções são polinômios de grau 1 ou exponenciais, que não são periódicas (b = 0 dá y = c₁ + c₂x). A) e C) b negativo dá exponenciais, que não são periódicas. D) √n inteiro só vale para n quadrado perfeito, e o período não seria 2π em geral. E) n³ não torna √b inteiro. Referência: EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pelo Teorema de Green, a integral (1/2)∮(x dy − y dx) é a área da região. Com orientação anti-horária, (1/2)∮(x dy − y dx) = área da região. O triângulo de vértices (1,0), (1,1) e (0,1) tem catetos de medida 1, então sua área é 1/2. A) 1/4 seria a área se houvesse um fator 1/2 a mais. C), D) e E) São maiores que a área do triângulo, que é 1/2. Referência: Teorema de Green: A = ½∮(x dy − y dx). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Conservação do momento linear em colisão perfeitamente inelástica. B₁ e B₂ vêm do semieixo negativo em direção à origem, com velocidades +2v e +v. B₃ vem do semieixo positivo com −3v. O momento total é m(2v) + m(v) + 2m(−3v) = −3mv. A massa total é 4m, então v_F = −3v/4, que satisfaz −v < v_F < 0.
A) e B) Exigem v_F positiva. D) Exigiria |v_F| > v. E) Exigiria momento total nulo, mas ele vale −3mv. Referência: Conservação da quantidade de movimento. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Isotérmica dobra o volume; isobárica com T dobrada dobra o volume de novo. Na isotérmica, pV é constante, então o volume passa de V a 2V. Na isobárica, V/T é constante; ao dobrar T, o volume dobra novamente e vai de 2V a 4V. A) e B) Ignoram a expansão. C) Considera só a primeira transformação. D) 3V não decorre de nenhuma lei dos gases aplicada aqui. Referência: Lei de Boyle e lei de Charles (gás perfeito). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Mesma energia mecânica nos dois casos (v₁ = v₂), mas a inclinação da canaleta altera o alcance horizontal. Em (1,1) a bola tem a mesma altura e a mesma rapidez v. Pela conservação da energia, chega ao solo com a mesma velocidade, então v₁ = v₂. As inclinações em x = 1 são f′ = −2 e g′ = −3. Na saída, vₓ = v/√5 e v_y = 2v/√5 (descendo) para f, e vₓ = v/√10 e v_y = 3v/√10 para g. Em g a componente vertical é maior, então o tempo de queda é menor. A componente horizontal também é menor, então d₂ < d₁.
A) Ignora a diferença de direção do lançamento. C) Inverte a relação entre os alcances. D) e E) Afirmam v₁ ≠ v₂, o que contraria a conservação da energia, já que não há atrito. Referência: Conservação da energia mecânica e lançamento oblíquo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Oscilação amortecida (subamortecida) no RLC série: discriminante da equação característica negativo. A equação característica é r² + (R/L)r + 1/(LC) = 0. Há oscilação com amplitude decrescente (raízes complexas com parte real negativa) quando (R/L)² − 4/(LC) < 0. Multiplicando por L² e dividindo por L, obtém-se R²/L − 4/C < 0.
B) Discriminante nulo é amortecimento crítico, sem oscilação. C) Discriminante positivo é superamortecido, sem oscilação. D) e E) O termo 1/(4C²) não resulta do discriminante; a forma correta envolve 4/C. Referência: Circuito RLC série, regimes de amortecimento (subamortecido). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A condição de equilíbrio dá y₀² = 25/11, ou seja, y₀ ≈ 1,51. As cargas A e C têm o mesmo sinal e B tem sinal oposto, então as componentes verticais se opõem: 2y/(1+y²)^{3/2} = γ/y², ou γ = 2[y²/(1+y²)]^{3/2}. Com γ = 2(5/6)³, tem-se y²/(1+y²) = 25/36, logo y² = 25/11 e y₀ ≈ 1,51, que está em [1,2]. B, C, D e E) Exigiriam y₀ ≥ 2, o que não satisfaz y²/(1+y²) = 25/36. Referência: Lei de Coulomb e superposição de forças. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O volume submerso é ρ·a³, e o maior valor ocorre no cubo de aresta 1,4 cm. Cubos que flutuam têm volume submerso igual a ρ·a³, com ρ em g/cm³ e a densidade da água igual a 1. Os valores são: 0,90; 1,21; 1,37; 1,23 e 0,58 cm³. O maior é o do terceiro cubo, a₃ = 1,4 cm. A) 0,9 cm³. B) 1,21 cm³. D) 1,23 cm³. E) 0,58 cm³. Todos menores que 1,37 cm³ do cubo de 1,4 cm. Referência: Princípio de Arquimedes (empuxo e flutuação). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Cada mola se alonga (√2−1)L, e como K₂<K₁, Rₓ<0 e R_y<0. A distância de P=(0,L) a cada âncora é √2 L, e as molas têm comprimento natural L, então cada alongamento é (√2−1)L. Assim V = (K₁+K₂)/2·(√2−1)²L². Cada mola puxa P em direção à sua âncora, e ambas têm componente y negativa. Em x, a mola 1 puxa para −x e a 2 para +x, mas K₁>K₂, então Rₓ<0.
B) Rₓ não é nulo, pois K₁≠K₂. C) Os sinais das componentes estariam invertidos. D e E) Usam √2L como deformação, esquecendo de subtrair o comprimento natural L. Referência: Lei de Hooke e energia potencial elástica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Com o fio rompido, o movimento é retilíneo uniforme na reta tangente, y = 2√2 − x. Sem forças, vale a inércia: o ponto segue em linha reta com a velocidade tangencial do instante t₀. Em (√2,√2), o raio tem direção (1,1), e a tangente é perpendicular a ele, com direção (−1,1). A reta passa por (√2,√2): x + y = 2√2, ou seja, y = 2√2 − x. A e B) Sem forças, não há trajetória em espiral. C) y = x é a direção radial, e não a tangente. D) y = −x passa pela origem e não pelo ponto (√2,√2). Referência: Primeira lei de Newton e movimento circular uniforme. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Igualando as pressões no fundo dos dois reservatórios, m_A = 250 g. As áreas são A_A = 4 cm² e A_B = 1600 cm². Pressão em B: ρh_B + m_B/A_B = 1,5·50 + 4000/1600 = 75 + 2,5 = 77,5 g/cm² (em unidades de g). Em A: 1,5·10 + m_A/4 = 15 + m_A/4. Igualando, m_A/4 = 62,5, logo m_A = 250 g. B, C, D e E) Não satisfazem a igualdade das pressões na base. Esses valores resultam de ignorar a diferença de altura das colunas ou de erros nas áreas. Referência: Princípio de Pascal e Teorema de Stevin (hidrostática). Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anuladaMarinha do Brasil — CP-CEM/2024 — Prova Escrita Objetiva (para todas as profissões de engenharia) e Redação — Prova Amarela
converge sempre que x ∈ (−2,2) é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
A corrente I oscila com amplitude tendendo a zero no caso em que:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O conjunto de todos os α reais tais que a série
A área da região que fica entre os gráficos de f(x) = cos(x) e g(x) = sin(x) para x ∈ [0, π/2] é igual a:
Assinale a opção que apresenta os pontos de mínimo local de f(x) = cos(sin(x)), x ∈ ℝ.
O polinômio de grau menor ou igual a 2 que melhor aproxima f(x) = |x| no intervalo [−1,1] pelo método dos mínimos quadrados é:
O divergente e o rotacional do campo F(x,y,z) = ∇V(x,y,z) em que V(x,y,z) = sin(x + 2y − z), são respectivamente:
A função f: ℝ² → ℝ é derivável e vale 2 nos pontos da curva xy = 1, x > 0. Se ∂f/∂x(2, 1/2) = 4 então ∂f/∂y(2, 1/2) é igual a:
Os autovalores da transformação linear T(x,y,z) = (2y + z, 2x + z, x + y + z) são os números inteiros:
Em um cassino há uma urna fechada contendo 40 bolas indistinguíveis: 10 de cor vermelha, 10 de cor preta, 10 de cor amarela e 10 de cor verde. Um cliente pode jogar contra a banca sorteando uma bola ao acaso; se a bola for vermelha, o jogo acaba e ele ganha; se isso não acontecer, ele sorteia outra bola das que sobraram na caixa; caso o jogador tenha sorteado duas bolas de mesma cor, ele ganha o jogo; caso contrário, a banca ganha. Com base nessas informações, qual é a probabilidade de o jogador ganhar da banca?
Todas as soluções da equação diferencial y″ + by = 0 satisfazem y(x) = y(x + 2π), para todo x ∈ ℝ. Nessas condições vale que:
Considere o triângulo de vértices A = (1,0), B = (1,1) e C = (0,1) e denote por γ uma parametrização de seu contorno, percorrido uma vez no sentido anti-horário. Assim, a integral de linha ∫γ (xdy − ydx)/2 é igual a:
Duas bolas B₁ e B₂ de massas iguais m > 0 deslocam-se no semieixo negativo Ox em direção à origem com velocidades não nulas v₁ = 2v e v₂ = v respectivamente, enquanto uma bola B₃ de massa 2m desloca-se no semieixo positivo com velocidade v₃ = −3v. As três bolas chocam-se na origem e permanecem juntas com velocidade v_F. Nessas condições, é correto afirmar que:
Um gás perfeito que ocupa um volume inicial V > 0 sofre uma transformação isotérmica e seu volume dobra. A seguir, sofre uma transformação isobárica e sua temperatura dobra. Assim, o volume do gás após essas transformações é:
Uma canaleta que liga os pontos (0,4) e (1,1) de um plano vertical tem perfil dado por y = f(x) = (x − 2)², 0 ≤ x ≤ 1. Uma bola de massa m > 0 e dimensões desprezíveis desliza pela canaleta, passa pelo ponto (1,1) com velocidade de módulo v > 0 e continua seu movimento, sob a ação apenas da gravidade, até o solo (em y = 0), chegando com velocidade de módulo v₁ e a uma distância d₁ do ponto (1,1). Repetindo-se o experimento com uma canaleta de perfil dado por y = g(x) = 4 − 3x, 0 ≤ x ≤ 1, de forma que a bola passe pelo ponto (1,1) também com velocidade de módulo v > 0, sem outras alterações, ela atinge o solo com uma velocidade de módulo v₂ e a uma distância d₂ do ponto (1,1). Nessas condições, assinale a opção correta.
Num circuito RLC em série, com R, L e C não nulos, a equação para a corrente elétrica é d²I/dt² + (R/L) dI/dt + (1/LC) I = 0.
Nos pontos A = (−1,0), B = (0,0) e C = (1,0), estão fixadas cargas Q_A, Q_B e Q_C respectivamente, satisfazendo Q_A = Q_C < 0 e Q_B = −γQ_A com γ = 2(5/6)³. Num ponto (0, y₀) com y₀ > 1, a resultante das forças elétricas das três cargas é nula. Nessas condições, assinale a opção correta.
Cinco cubos de arestas respectivamente a₁ = 1.0 cm; a₂ = 1.2 cm; a₃ = 1.4 cm; a₄ = 1.6 cm; e a₅ = 1.8 cm, e densidades, respectivamente, ρ₁ = 0.9 g/cm³; ρ₂ = 0.7 g/cm³; ρ₃ = 0.5 g/cm³; ρ₄ = 0.3 g/cm³; e ρ₅ = 0.1 g/cm³, são colocadas num recipiente com água, de forma que não se toquem e flutuem. Desses cubos, o que ficará com maior volume submerso será o de aresta:
Num plano horizontal Oxy há duas molas de comprimento L > 0; a primeira, de constante elástica K₁, tem uma extremidade fixada no ponto (−L,0); e a segunda, de constante elástica K₂ < K₁, tem uma extremidade fixada no ponto (L,0). As extremidades livres das duas molas estão presas a um ponto material P de massa m > 0, que se move no plano sujeito apenas às forças elásticas das molas. Se o ponto P é colocado na posição (0,L), sua energia potencial V e a resultante das forças elásticas R = (Rₓ, R_y) em P satisfazem:
Um ponto material de massa m > 0 desloca-se num plano Oxy, livre da ação de forças externas, em movimento circular uniforme, com velocidade angular 1 rad/seg, a 2 m da origem, à qual está preso por um fio de massa desprezível e comprimento 2 m. Num instante t₀, o ponto material encontra-se no ponto (√2, √2) e o fio arrebenta. Após o instante t₀ o ponto percorre um movimento:
Uma prensa hidráulica é formada por dois reservatórios verticais A e B, de mesma altura, cujas bases são quadrados de lados, respectivamente, L_A = 2 cm e L_B = 40 cm, ligados inferiormente por um cano, que permanece aberto. Os reservatórios A e B estão com colunas de um líquido de densidade ρ = 1.5 g/cm³. No reservatório A, a coluna de líquido tem altura h_A = 10 cm e sobre ela há um êmbolo sustentando um corpo de massa m_A. No reservatório B, a coluna de líquido tem altura h_B = 50 cm e sobre ela há um êmbolo sustentando um corpo de massa m_B = 4 Kg. O sistema encontra-se em equilíbrio se m_A é igual a:
Um máquina térmica ideal de Carnot M₁ opera entre duas fontes de calor com temperaturas T₁ = 200 °C e T₁ = 100 °C, com rendimento η₁. Outra máquina térmica ideal de Carnot M₂ opera entre duas fontes de calor com temperaturas T₃ = 300 °C e T₄ = 200 °C, com rendimento η₂. Nessas condições, assinale a opção correta.