← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil — Escola Naval · Admissão à Escola Naval (CPAEN) 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 38 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Área do triângulo FML exterior ao semicírculo: (5√3−2π)r²/12. O triângulo FLM é retângulo em L e FL=FM/2 implica ângulo de 30° em M, com FL=2r/√3. Sua área é 2√3r²/3. A parte interna é o triângulo OMP (área √3r²/4, com ângulo central de 120°) mais o setor de 60° (πr²/6). A área exterior é 2√3/3 − √3/4 − π/6 = (5√3−2π)/12 · r². A, B, C e D têm coeficientes errados de π ou de raiz (por exemplo, falta o 2π ou aparece √2), e não coincidem com a área exterior calculada. Referência: Geometria plana: áreas de setor circular e triângulo 30-60-90. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Razão entre a área da elipse exterior ao círculo e a área da elipse: (3−√2)/3. δ é o círculo (x−4)²+y²=16, de área 16π. μ é a elipse (x−2)²/36 + y²/32 = 1, de área π·6·4√2 = 24√2π. O círculo está contido na elipse e tangente a ela em (8,0), pois 8x²−32x+9(8x−x²)−256 = −(x−8)(x−32) ≤ 0 para x entre 0 e 8. A razão pedida é (24√2π−16π)/(24√2π) = 1−√2/3 = (3−√2)/3. B, C, D e E resultam de erros no cálculo da área da elipse ou do círculo, e nenhuma simplifica para 1−√2/3. Referência: Geometria analítica: circunferência e elipse, áreas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Soma das razões volume/área total dos três sólidos de uma esfera de raio 54 cm: C≈27,5. O diâmetro de 108 cm fica dividido em 24, 36 e 48 cm. S₂ e S₄ são calotas de alturas 24 e 48, e S₃ é a zona esférica central. Para S₂: V=26496π e A=2592π+2016π=4608π, então C₂=5,75. Para S₄: V=87552π e A=5184π+2880π=8064π, então C₄≈10,86. Para S₃: V=209952π−26496π−87552π=95904π e A=3888π+2016π+2880π=8784π, então C₃≈10,92. A soma é C≈27,5. As faixas 10–15, 15–20, 20–25 e 30–35 não contêm 27,5. Apenas 25<C<30 está correta.
Referência: Geometria espacial: calota e zona esférica, volume e área. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Total de funções menos as injetoras: 10⁵ − A(10,5). O total de funções de M em N é 10⁵=100.000. As injetoras são arranjos de 10 elementos tomados 5 a 5: 10·9·8·7·6=30.240. As não injetoras são 100.000−30.240=69.760. 30.240 é o número de funções injetoras, não das não injetoras. 100.000 é o total de funções. 72.608 e 75.808 não resultam de nenhum cálculo coerente com o problema. Referência: Análise combinatória: princípio multiplicativo e arranjos. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Área do triângulo formado pela tangente, pela normal e pelo eixo y na curva y²=9−x em (5,2). Derivando, 2yy'=−1, então y'=−1/4 em (5,2). A tangente é y=2−(x−5)/4, que corta o eixo y em 3,25. A normal tem inclinação 4: y=2+4(x−5), que corta o eixo y em −18. A base sobre o eixo y mede 21,25 e a altura é 5 (distância de x=5 ao eixo), então a área é 21,25·5/2 ≈ 53,12. As áreas 10,31, 20,62, 31,25 e 82,50 vêm de erros nos interceptos ou na base e na altura. Só 53,12 corresponde ao cálculo correto. Referência: Cálculo: derivada implícita, retas tangente e normal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Inclinação máxima do copo antes de a água atingir a borda: arctg(13/12). A água ocupa 3/4 de 13 cm, ou seja, 9,75 cm, e a superfície inclinada passa pelo centro dessa altura. Na borda inferior a altura sobe 3·tgθ (raio 3 cm). Para não derramar, 9,75+3tgθ ≤ 13, então tgθ ≤ 3,25/3 = 13/12. Na borda oposta, a altura 9,75−3,25=6,5 cm é positiva, então o fundo não fica exposto. As alternativas 4/13, 1/3, 6/13 e 1/2 correspondem a ângulos menores, em que o copo ainda poderia ser inclinado. Só 13/12 leva a água exatamente à borda. Referência: Geometria espacial: cilindro e volume de líquido inclinado. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Resolver (1/2)arctg x = arctg((1−x)/(1+x)). Seja θ=arctg x. Então (1−x)/(1+x)=tg(π/4−θ), e para θ>−π/4 vale arctg((1−x)/(1+x))=π/4−θ. A equação fica θ/2=π/4−θ, logo θ=π/6 e x=√3/3. A outra raiz possível (θ=−π/2) está fora da imagem do arctg. −√3/3 daria θ=−π/6, e então θ/2=−π/12 não é igual a π/4+π/6. As alternativas com √2 não satisfazem a equação. Apenas √3/3 é solução. Referência: Funções trigonométricas inversas; tangente da diferença. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Triângulo retângulo em B com BC=7 e BE=3 (E na interseção da bissetriz de A com a altura BH): r=(7−√7)/2. Seja D o pé da bissetriz de A sobre BC. O triângulo BED é isósceles, então BD=BE=3 e DC=4. Pelo teorema da bissetriz, AB/AC = BD/DC = 3/4, isto é, AB=3k e AC=4k. Daí BC=√7·k=7, k=√7, AB=3√7 e AC=4√7. O raio inscrito é r=(AB+BC−AC)/2=(7−√7)/2. As demais alternativas têm a forma (m−√m)/2, mas com m=3, 5, 11 ou 13, que não correspondem a BC=7. Só m=7 satisfaz as relações obtidas. Referência: Geometria plana: teorema da bissetriz interna e raio do círculo inscrito em triângulo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Com A⁴=I e ABA⁻¹=B², obtém-se B¹⁵=I. Conjugando sucessivamente: A²BA⁻² = (B²)² = B⁴ e A⁴BA⁻⁴ = B¹⁶. Como A⁴=I, o lado esquerdo é B, então B=B¹⁶ e, sendo B invertível, B¹⁵=I. Assim, a ordem de B divide 15, e entre as opções o único divisor de 15 é 15. 4, 8, 16 e 30 não dividem 15, então não podem ser a ordem de B. A opção 15 é a única compatível, e B≠I exclui n=1. Referência: Álgebra linear: conjugação de matrizes e ordem de um elemento. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Problema das caixas de fósforos de Banach: probabilidade de a outra caixa conter k barrinhas. Quando uma caixa é achada vazia, ela foi escolhida pela (n+1)-ésima vez, e a outra tem k. Isso exige n escolhas da caixa vazia e n−k da outra nas primeiras 2n−k retiradas, com a escolha seguinte caindo na vazia. Há 2 caixas possíveis, e cada sequência tem probabilidade (1/2)^(2n−k+1). Logo P = 2·C(2n−k, n)·(1/2)^(2n−k+1) = (2n−k)!/(n!(n−k)!·2^(2n−k)). A) Falta o n! no denominador. B) O expoente de 2 está errado (2n em vez de 2n−k). D) O expoente de 2 está errado (k em vez de 2n−k). E) O numerador está errado ((n−k)! em vez de (2n−k)!). Só C reproduz a fórmula de Banach. Referência: Problema de Banach (caixas de fósforos), distribuição binomial negativa. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Escrevendo P(x)+3 = a(x−1)...(x−6), obtém-se P(−2) = 21. Como P(x)+3 se anula em 1 a 6 e tem grau 6, P(x)+3 = a(x−1)(x−2)...(x−6). Com P(−1) = 3: 6 = a·(−2)(−3)(−4)(−5)(−6)(−7) = 5040a, logo a = 1/840. Então P(−2)+3 = (1/840)·(3·4·5·6·7·8) = 20160/840 = 24, e P(−2) = 21. 12, 15, 18 e 24 não resultam do cálculo. 24 é o valor de P(−2)+3, e não de P(−2). Referência: Polinômios: raízes e forma fatorada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O numerador vale sen²x, então a expressão é igual a tg x. Com A = θ e B = x+θ, vale a identidade cos²A + cos²B − 2cosA·cosB·cos(B−A) = sen²(B−A). Assim o numerador é sen²x. Dividindo por sen x cos x, resulta sen x / cos x = tg x. B (cotg x), C (cos x), D (sec x) e E (cossec x) não resultam de sen²x/(sen x cos x), que é tg x. Referência: Trigonometria: identidades e transformação de produtos. Resolução comentada do VaiConcursos.CPAEN 2024 — Concurso Público de Admissão à Escola Naval — 1º Dia — Prova de Matemática e Inglês — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a opção que apresenta a condição que deve ser satisfeita para que a expressão ax + by + cz tenha o mesmo valor para todo (x, y, z) ∈ D.
δ = {(x, y) ∈ ℝ; x² − 8x + y² = 0}; e
μ = {(x, y) ∈ ℝ; 8x² + 9y² − 32x = 256}.
Determine a razão entre a área interior a μ e exterior a δ e a área de μ e assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Determine o conjunto (B − A) ∩ C e assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
[cos² θ + cos²(x + θ) − 2 cos x cos θ cos (x + θ)] / (sen x cos x)Resolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a opção que apresenta o valor correto de
Considere um semicírculo de diâmetro M̅L̅ e sua reta tangente em L. Suponha que F é um ponto desta reta tal que F̅L̅ = F̅M̅/2. Calcule a área da porção do triângulo FML situado no exterior do semicírculo e assinale a opção correta.
Seja D o conjunto formado por todas as soluções do sistema
Considere dois lugares geométricos definidos por:
Denota-se a derivada de ordem n da função y = y(x) por dⁿy/dxⁿ (x). Considere as funções f(x) = sen 3x e g(x) = cos 3x. Assinale a expressão que apresenta corretamente
Uma esfera de raio 54 cm é seccionada por planos perpendiculares a um diâmetro, dividindo-o em partes proporcionais a 2, 3 e 4 e determinando os sólidos S₂, S₃ e S₄, respectivamente. Suponha que S₃ contenha o centro da esfera e que Cₖ é a razão entre o volume e a área total de Sₖ, para k = 2, 3 e 4. Calcule o valor de C = C₂ + C₃ + C₄ e assinale a opção correta.
Calcule o determinante da matriz abaixo e assinale a opção correta.
Um conjunto M contendo 5 elementos e um conjunto N contendo 10 elementos formam funções do tipo f: M → N. É correto afirmar que a quantidade de funções não injetoras f: M → N é:
Considere o número complexo w = x + yi e seu conjugado w̄. Assinale a opção que apresenta o complexo w que satisfaz a equação w̄ = w⁵.
Considere a curva y² = 9 − x e suas retas tangente e normal no ponto (5,2). Assinale a opção que apresenta corretamente a área aproximada do triângulo formado por essas retas e o eixo das ordenadas.
Um copo na forma de um cilindro circular reto, com altura medindo 13 cm e diâmetro da base medindo 6 cm, está com água até 3/4 de sua altura. Assim, qual o maior ângulo em que é possível inclinar o copo sem derramar água?
Assinale a opção que apresenta o conjunto solução da equação (1/2) arctg (x) = arctg ((1 − x)/(1 + x)), considerando suas condições de existência.
Considere os conjuntos numéricos A, B e C definidos abaixo.
Um triângulo ABC, reto em B̂, é tal que a bissetriz de  encontra a altura relativa à hipotenusa B̅H̅, no ponto E. Sabe-se que B̅C̅ e B̅E̅ medem 7 cm e 3 cm, respectivamente. Determine a medida do raio do círculo inscrito no triângulo ABC e assinale a opção correta.
Assinale a opção que apresenta o gráfico da função f: ℝ* → ℝ definida por f(x) = (x⁵ − x + 1)/x².
Sejam A e B matrizes quadradas de tamanho 2024 x 2024, com entradas reais, invertíveis e diferentes da matriz identidade I. Suponha que A⁴ = I e ABA⁻¹ = B². Assinale a opção que apresenta o menor número natural n tal que Bⁿ = I.
Um físico convida seus alunos para realizar um experimento no laboratório de mecânica e leva consigo duas caixinhas idênticas, uma em cada bolso, contendo barrinhas de alumínio idênticas. Para fazer o experimento, o professor toma uma barrinha de uma das caixinhas, a qual é escolhida aleatoriamente. Inicialmente, cada caixinha contém exatamente "n" barrinhas, as quais vão sendo, sucessivamente, usadas e descartadas. Como o físico tem um grau acentuado de distração, há um momento em que tira uma das caixinhas de um dos bolsos e percebe-a vazia. Neste momento, qual é a probabilidade de que a outra caixa contenha exatamente k barrinhas?
P(x) é um polinômio de grau 6 que satisfaz a P(1) = P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) = −3 e P(−1) = 3. Assinale a opção correta a respeito de P(−2).
Considere o plano π: 2x + y + z − 6 = 0 e os pontos P(4, 1, −2) e O(13/3, 5/3, (−7 − √6)/3). Seja P′(a, b, c) simétrico a P em relação a π. Assinale a opção que apresenta corretamente o valor do ângulo, em radianos, formado pelos vetores
Simplifique a expressão abaixo, considerando sen x cos x ≠ 0, e assinale a opção correta.