← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Probabilidade sem reposição: 1ª bola múltipla de 4 e 2ª múltipla de 5, com casos separados. Há 12 múltiplos de 4 e 10 múltiplos de 5 entre 1 e 50. Os números 20 e 40 são múltiplos de ambos. Se a 1ª bola é múltipla de 4 e de 5 (2 casos), restam 9 múltiplos de 5 entre 49 bolas. Se é múltipla só de 4 (10 casos), restam 10 múltiplos de 5 entre 49. Logo P = (2·9 + 10·10)/(50·49) = 118/2450 = 59/1225. A, B, C e E não correspondem ao cálculo. A alternativa C (59/2450) esquece de simplificar corretamente e seria metade do valor. As demais ignoram a interseção (múltiplos de 20) ou a redução do espaço amostral. Referência: Probabilidade condicional / eventos sucessivos sem reposição. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação tem 4 soluções: -3, 1, 2 e 6. Multiplicando por 2, |x||x-3| = 4|x-3/2| = |4x-6|, ou seja, |x²-3x| = |4x-6|. Daí x²-3x = 4x-6, que dá x²-7x+6=0 e x=1 ou 6. Ou x²-3x = -(4x-6), que dá x²+x-6=0 e x=2 ou -3. São quatro soluções distintas, todas válidas. 1, 2, 3 e 5 não coincidem com a contagem de soluções reais distintas encontradas (-3, 1, 2, 6). Apenas 4 está correta. Referência: Equações modulares Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O período chuvoso (crescimento) dura 6 meses, ou seja, dois trimestres. P(t)=1000[cos((t-2)π/6)+5] tem período 12 meses, máximo (6000) em t=2 e mínimo (4000) em t=8. A população cresce de t=8 até t=14 (equivalente a t=2), ou seja, 6 meses, o que corresponde a dois trimestres. Assim, o período chuvoso é de 6 meses. B) o máximo ocorre em t=2, não em t=6. C) a estiagem (decrescimento) também dura 6 meses. D) a média anual é 5.000. E) o mínimo ocorre em t=8 e vale 4.000. Referência: Funções trigonométricas – aplicações Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O lucro máximo ocorre com x=450, vendendo 150 unidades. O lucro é L(x)=(x-300)(600-x), parábola com concavidade para baixo e raízes 300 e 600. O máximo está na média das raízes, x=450. As unidades vendidas são 600-450=150. 250, 350, 450 e 550 não correspondem a 600-x com x=450. Note que 450 é o preço ótimo, não a quantidade vendida. Referência: Função quadrática – máximos e mínimos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O termo independente é C(10,6)=210. O termo geral é C(10,k)·(x³)^(10-k)·(-1/x²)^k = C(10,k)(-1)^k x^(30-5k). Para o termo independente, 30-5k=0, ou seja, k=6. O sinal é positivo e C(10,6)=210. A, C, D e E não correspondem a nenhum coeficiente binomial de ordem 10 para esse expoente. Apenas 210 é obtido com k=6. Referência: Binômio de Newton – termo geral Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O volume do cone circunscrito à esfera vale 8π/3 cm³. Na seção meridiana, a esfera é o círculo inscrito no triângulo isósceles, com raio 1 e altura 4. A relação r = R·h/(R+g) fornece 4R = R+g, logo g=3R. Como g²=16+R², temos 9R²=16+R² e R²=2. O volume é (1/3)·π·2·4 = 8π/3. A, B, C e E resultam de valores incorretos de R² ou de erro na fórmula do volume do cone. Apenas R²=2 dá 8π/3. Referência: Geometria espacial – cone e esfera inscrita Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A soma de todas as permutações vale 6.666.600. Há 5! = 120 números. Cada algarismo aparece 4! = 24 vezes em cada posição. A soma é 24·(1+3+5+7+9)·11111 = 24·25·11111 = 600·11111 = 6.666.600. As demais alternativas resultam de erros na contagem de repetições ou no fator 11111. Apenas 6.666.600 vem do cálculo correto. Referência: Análise combinatória – permutações Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O lado direito vale √3, então cos x ≤ 1/2 e x ∈ [π/3, 5π/3]. β = (1/2)·log3/log(3/7). Logo (3/7)^β = 10^(β·log(3/7)) = 10^((1/2)·log3) = √3 = 3^(1/2). A desigualdade 3^cosx ≤ 3^(1/2) equivale a cosx ≤ 1/2, o que ocorre em [π/3, 5π/3] dentro de [0,2π). A) é a região em que cosx > 1/2, o conjunto oposto. C), D) e E) incluem valores como 2π ou 0, onde cosx=1 > 1/2, ou não correspondem ao intervalo correto. Referência: Inequações exponenciais e trigonométricas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O resto da divisão é r(x)=-x²+6x-3 e r(-1)=-10. Fatorando q(x)=(x-1)²(x+2). Com r(x)=ax²+bx+c: f(1)=2 dá a+b+c=2; f'(1)=4 dá 2a+b=4; f(-2)=-19 dá 4a-2b+c=-19. Resolvendo, a=-1, b=6, c=-3. Logo r(-1)=-1-6-3=-10. B, C, D e E não correspondem ao valor encontrado e surgem de erros no cálculo de f(1), f'(1) ou f(-2). Referência: Polinômios – divisão e resto Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Domínio: (-∞,-2) ∪ (-2,1] ∪ [5,+∞). A raiz quadrada exige x²-6x+5≥0, ou seja, x≤1 ou x≥5. A raiz cúbica existe para qualquer real, mas está no denominador e deve ser diferente de zero: x²-4≠0, logo x≠±2. Como 2 já está fora do conjunto, só se exclui -2, obtendo (-∞,-2) ∪ (-2,1] ∪ [5,+∞). A) ignora a condição da raiz quadrada. B) e D) usam intervalos abertos em 1 e 5 e/ou omitem parte do domínio. E) usa a condição errada x²-4≥0. Referência: Funções – domínio Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O maior d para a função ser injetora é 2. A parábola x²-4x+3 tem vértice em x=2 e é decrescente para x<2. Para ser injetora na região x<d, é preciso d≤2. Com d=2, escolhendo c adequado, a reta decrescente -x+c continua abaixo dos valores da parábola e não repete imagens. Logo o maior d é 2.
Para d>2, a parábola passaria a crescer após o vértice dentro da região x<d, repetindo valores e perdendo a injetividade. Assim 3 e 4 estão errados. Os valores 0 e 1 são possíveis, mas não são o maior valor.
Referência: Funções – injetividade e função definida por partes Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As raízes são -1, 1, 2 e 3; f>0 em (-∞,-1) ∪ (1,2) ∪ (3,+∞). Sabendo que -1 e 1 são raízes, a soma das raízes é 5 e o produto é -6, o que dá as outras duas raízes: 2 e 3. Como o coeficiente de x⁴ é positivo, f é positiva à direita da maior raiz e o sinal alterna a cada raiz. Logo f>0 em (-∞,-1) ∪ (1,2) ∪ (3,+∞). As demais alternativas apresentam intervalos que não correspondem às raízes -1, 1, 2 e 3 ou não respeitam a alternância de sinais. Referência: Polinômios – raízes e estudo do sinal Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A interseção de f com a inversa ocorre sobre y=x, no ponto (2,2); a+b=4. O gráfico de f e o de sua inversa são simétricos em relação a y=x. Como f é decrescente em [1,+∞), a interseção ocorre sobre y=x. Resolvendo -x²+2x+2=x, temos x²-x-2=0, e x=2 (x=-1 não está no domínio). O ponto é (2,2) e a+b=4. A, C, D e E não correspondem ao ponto (2,2). O valor x=-1 seria o outro candidato da equação, mas está fora de [1,+∞). Referência: Funções – função inversa e simetria em relação a y=x Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação reduz-se a x²-x=0, de raízes 0 e 1, ambas inteiras. Com aij=i-j, A=[[0,-1],[1,0]] e det A=1. A matriz A-xI é [[-x,-1],[1,-x]], com determinante x²+1. A equação x²+1=x+1 vira x²-x=0, de raízes 0 e 1: todas inteiras. A) 1/2 não é raiz. B) A equação não é uma identidade. D) As raízes são 0 e 1, e 1 não é negativo. E) Não há raízes negativas. Referência: Matrizes e determinantes Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O simétrico de (1,5) em relação a 2x+3y-4=0 é (-3,-1). Substituindo, 2·1+3·5-4=13. O simétrico é P' = P - 2·(13/(2²+3²))·(2,3) = (1,5) - 2·(2,3) = (-3,-1). Conferindo, o ponto médio (-1,2) satisfaz a reta: -2+6-4=0. Além disso, o vetor (−4,−6) é paralelo ao vetor normal (2,3). B, C, D e E não têm ponto médio com (1,5) sobre a reta, ou o segmento não é perpendicular a ela. Por exemplo, para (3,2) o ponto médio (2,3,5) não satisfaz a equação da reta. Referência: Geometria analítica – simetria em relação a uma reta Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O lugar geométrico é a mediatriz entre (-2,3) e (1,-4): 3x-7y-2=0. A condição |z-(-2+3i)| = |z-(1-4i)| indica os pontos equidistantes de (-2,3) e (1,-4). Desenvolvendo, (x+2)²+(y-3)² = (x-1)²+(y+4)² dá 4x-6y+13 = -2x+8y+17. Logo 6x-14y-4=0, ou seja, 3x-7y-2=0. As demais equações não resultam do desenvolvimento correto da igualdade das distâncias. Por exemplo, a reta 3x-7y-2=0 é a única que passa pelo ponto médio (-1/2,-1/2) com direção perpendicular ao segmento. Referência: Números complexos – módulo e lugar geométrico no plano de Argand-Gauss Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Reduzindo ao 1º quadrante, a soma se anula e vale 0. cos165° = -cos15°; sen155° = sen25°; cos145° = -cos35°. A expressão fica -cos15° + sen25° - cos35° - sen25° + cos35° + cos15°. Os termos se cancelam dois a dois e o resultado é 0. A, B, D e E apresentam valores não nulos, que só apareceriam se algum dos sinais da redução ao 1º quadrante fosse errado. Referência: Trigonometria – redução ao primeiro quadrante Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma das soluções em [0,2π] vale 5π. Fatorando por agrupamento: cos²x(2cosx-1) - (2cosx-1) = (2cosx-1)(cos²x-1)=0. Então cosx=1/2, cosx=1 ou cosx=-1. As soluções em [0,2π] são π/3, 5π/3, 0, 2π e π. A soma é 2π+2π+π=5π. A, B, C e E resultam de esquecer soluções (como 0, 2π ou π) ou de contar valores a mais. Só a soma 5π (alternativa D) considera as cinco soluções. Referência: Trigonometria – equações trigonométricas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Tangente à parábola x=3y² passando por (-3,0): t: x+6y+3=0, P(3,-1). Em P(3,-1): x=3·(-1)²=3, então P está na parábola. Como dx/dy=6y=-6, a inclinação é dy/dx=-1/6. A reta é y+1=-(1/6)(x-3), ou seja, x+6y+3=0. Ela passa por A(-3,0), pois -3+0+3=0. A) P(27,3): 3·9=27 está na parábola, mas a reta x-10y+3=0 tem inclinação 1/10, e a tangente em y=3 teria inclinação 1/18. B) P(12,2): a reta 2x-15y+6=0 tem inclinação 2/15, e a tangente teria 1/12. C) Mesmo problema, com sinal trocado. D) y=0 passa por A, mas no vértice a tangente é x=0, não y=0. Referência: Geometria analítica – cônicas, reta tangente à parábola Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponívelEsPCEx 2014 — Concurso de Admissão — Provas de Matemática, Geografia-História e Inglês — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a alternativa que representa o número de unidades vendidas mensalmente que corresponde ao lucro máximo.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
f(x) = -x + c, para x ≥ d
f(x) = x² - 4x + 3, para x < d
seja injetora éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sobre a equação em x definida por det(A - xI) = x + det A é correto afirmar queResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
De uma caixa contendo 50 bolas numeradas de 1 a 50 retiram-se duas bolas, sem reposição. A probabilidade do número da primeira bola ser divisível por 4 e o número da segunda bola ser divisível por 5 é
O número de soluções da equação (1/2)·|x|·|x - 3| = 2·|x - 3/2|, no conjunto ℝ, é
A população de peixes em uma lagoa varia conforme o regime de chuvas da região. Ela cresce no período chuvoso e decresce no período de estiagem. Esta população é descrita pela expressão P(t) = 10³ (cos(((t - 2)/6)π) + 5) em que o tempo t é medido em meses. É correto afirmar que
Um fabricante de poltronas pode produzir cada peça ao custo de R$ 300,00. Se cada uma for vendida por x reais, este fabricante venderá por mês (600 – x) unidades, em que 0 ≤ x ≤ 600.
O termo independente de x no desenvolvimento de (x³ - 1/x²)¹⁰ é igual a
Um cone de revolução tem altura 4 cm e está circunscrito a uma esfera de raio 1 cm. O volume desse cone (em cm³) é igual a
Permutam-se de todas as formas possíveis os algarismos 1, 3, 5, 7, 9 e, escrevem-se os números assim formados em ordem crescente. A soma de todos os números assim formados é igual a
Seja β = (1/2) · (log₁₀ 3)/(log₁₀ 3 - log₁₀ 7). O conjunto solução da desigualdade 3^(cos(x)) ≤ (3/7)^β no intervalo [0, 2π), é igual a
O polinômio f(x) = x⁵ - x³ + x² + 1, quando dividido por q(x) = x³ - 3x + 2 deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r(-1) é
Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais está definida a função f(x) = √(x² - 6x + 5) / ∛(x² - 4).
Sabendo que “c” e “d” são números reais, o maior valor de “d” tal que a função f: ℝ → ℝ definida por
A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = x⁴ - 5x³ + 5x² + 5x - 6 tem como algumas de suas raízes os números -1 e 1. Assinale a alternativa que representa o conjunto de todos os números reais para os quais a função f(x) é positiva.
Considere a função bijetora f: [1, +∞) → (-∞, 3], definida por f(x) = -x² + 2x + 2 e seja (a, b) o ponto de intersecção de f com sua inversa. O valor numérico da expressão a + b é
Seja x um número real, I a matriz identidade de ordem 2 e A a matriz quadrada de ordem 2, cujos elementos são definidos por aᵢⱼ = i - j.
O ponto simétrico do ponto (1,5) em relação à reta de equação 2x + 3y - 4 = 0 é o ponto
A representação geométrica, no Plano de Argand-Gauss, do conjunto de pontos que satisfazem a condição |z + 2 - 3i| = |z - 1 + 4i|, com z = x + yi, sendo x e y números reais, é reta de equação
O valor de (cos 165° + sen 155° + cos 145° - sen 25° + cos 35° + cos 15°) é
A soma de todas as soluções da equação 2 cos³(x) - cos²(x) - 2 cos(x) + 1 = 0, que estão contidas no intervalo [0, 2π], é igual a
Uma reta t passa pelo ponto A(-3,0) e é tangente à parábola de equação x=3y² no ponto P. Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações.
Na figura abaixo temos uma espiral formada pela união de infinitos semicírculos cujos centros pertencem ao eixo das abscissas. Se o raio do primeiro semicírculo (o maior) é igual a 1 e o raio de cada semicírculo é igual à metade do semicírculo anterior, o comprimento da espiral é igual a