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Colégio Militar de Juiz de Fora — Concurso de Admissão 2015/2016 — Prova de Matemática — 1º ano do Ensino Médio — Prova 1

Colégio Militar de Juiz de Fora (CMJF) · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio — Matemática

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas)2015Fundamental

20 questões nesta prova · 20 com gabarito

Matemática Geometria Plana — Ângulos no Triângulo

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

Colégio Militar de Juiz de Fora · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio — Matemática · Caderno Prova 1

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01. Observe a figura abaixo.

Figura com triângulo de base horizontal: ângulo a no vértice esquerdo, ângulo b no vértice superior direito; dois segmentos internos se cruzam formando o ângulo 2b; ângulo 2a junto à base, à direita; ângulo x marcado na base, entre os dois segmentos.

Figura com triângulo de base horizontal: ângulo a no vértice esquerdo, ângulo b no vértice superior direito; dois segmentos internos se cruzam formando o ângulo 2b; ângulo 2a junto à base, à direita; ângulo x marcado na base, entre os dois segmentos.

Na figura estão indicadas as medidas de alguns de seus ângulos. O valor da expressão x/(a + b) é:

Selecione uma alternativa A) 2 B) 1/2 C) 3 D) 4

Matemática Geometria Plana — Área do Círculo

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

Colégio Militar de Juiz de Fora · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio — Matemática · Caderno Prova 1

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02. Uma apresentação musical lotou uma área semicircular de 100 m de raio. A polícia militar leva em consideração que, em média, cabem 4 pessoas por m². Determine a melhor estimativa do número de pessoas presentes nessa apresentação musical. (Use π = 3)

Selecione uma alternativa A) 15000 B) 30000 C) 45000 D) 60000

Resolução comentada

Área do semicírculo com π=3 e 4 pessoas por m².

A área semicircular é πr²/2 = 3·100²/2 = 15 000 m². Com 4 pessoas por m², o público estimado é 15 000 × 4 = 60 000 pessoas.

Análise das alternativas

A) 15 000 é só a área, sem multiplicar pela densidade. B) 30 000 corresponde a 2 pessoas por m². C) 45 000 corresponde a 3 pessoas por m². D) Correta: 60 000.

Referência: Geometria plana: área do círculo A = πr², semicírculo = πr²/2.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Equações Irracionais

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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03. O número y, que é solução da equação Fração: numerador raiz quadrada de y mais 4 somada à raiz quadrada de y menos 4; denominador raiz quadrada de y mais 4 menos raiz quadrada de y menos 4.

Fração: numerador raiz quadrada de y mais 4 somada à raiz quadrada de y menos 4; denominador raiz quadrada de y mais 4 menos raiz quadrada de y menos 4.

= 2, é:

Selecione uma alternativa A) múltiplo de 10. B) par. C) divisor de 15. D) negativo.

Matemática Produtos Notáveis e Fatoração

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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04. Dado que x e y são números reais não nulos, com y ≠ 4x, e que Sistema de duas equações: 1 mais 2 sobre xy igual a 5; 5 menos 2y ao quadrado, sobre 4x menos y, igual a 4x mais y.

Sistema de duas equações: 1 mais 2 sobre xy igual a 5; 5 menos 2y ao quadrado, sobre 4x menos y, igual a 4x mais y.

calcule o valor de 16x⁴y² − 8x³y³ + x²y⁴.

Selecione uma alternativa A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/4

Matemática Triângulo Retângulo — Circunferência Inscrita

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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05. Em um triângulo retângulo a medida do raio da circunferência inscrita é igual à diferença entre o semiperímetro do triângulo e a medida da hipotenusa. Se os catetos de um triângulo retângulo medem 5 cm e 12 cm, então a medida do diâmetro da circunferência inscrita nesse triângulo, em centímetros, mede :

Selecione uma alternativa A) 4 B) 13 C) 15 D) 2

Resolução comentada

Raio 2 cm, diâmetro 4 cm.

A hipotenusa é √(25+144) = 13. O semiperímetro é (5+12+13)/2 = 15, então r = 15 − 13 = 2 e o diâmetro é 4 cm.

Análise das alternativas

B) 13 é a hipotenusa. C) 15 é o semiperímetro. D) 2 é o raio, não o diâmetro.

Referência: Triângulo retângulo e circunferência inscrita.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Função Quadrática — Discriminante

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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06. Sabendo-se que o gráfico da função quadrática f: ℝ → ℝ, y = x² + (m/2)x + n tem um único ponto de intersecção com o eixo dos x, pode-se afirmar que os valores de m e n obedecem à relação:

Selecione uma alternativa A) n = −m²/8 B) n = m²/8 C) n = 16m D) n = m²/16

Resolução comentada

Um único ponto no eixo x significa Δ = 0, logo n = m²/16.

Com Δ = (m/2)² − 4·1·n = 0, temos m²/4 = 4n, portanto n = m²/16.

Análise das alternativas

A e B (m²/8) vêm de erro na divisão ao isolar n. C não é consequência de Δ = 0, pois n deve depender de m².

Referência: Função quadrática: discriminante.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Área de Figuras Planas

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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07. Numa cozinha de 4 m de comprimento, 2 m de largura e 3 m de altura, as portas e janelas ocupam uma área total de 6m². Para azulejar as quatro paredes, o pedreiro aconselha comprar 10% a mais da metragem de material (azulejos) necessário. A metragem de azulejos a comprar será de:

Selecione uma alternativa A) 33m² B) 36m² C) 39,6m² D) 30m²

Resolução comentada

Área das paredes menos 6 m², mais 10% = 33 m².

O perímetro é 2(4+2) = 12 m, e as paredes têm 12·3 = 36 m². Descontando 6 m² de portas e janelas, ficam 30 m². Com 10% a mais, 30·1,1 = 33 m².

Análise das alternativas

B) 36 m² não desconta portas e janelas. C) 39,6 m² aplica os 10% sobre 36. D) 30 m² esquece o acréscimo de 10%.

Referência: Áreas de figuras planas e porcentagem.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Média Aritmética

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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08. Sabe-se que os números a e b fazem parte de um conjunto de 100 números, cuja média aritmética é 9,35. Retirando-se a e b desse conjunto, a média aritmética dos números restantes será de 7,5. Se 3a – 2b = 125, então:

Selecione uma alternativa A) b = 105. B) b = 95. C) a = 95. D) a = 85.

Resolução comentada

a + b = 200 e 3a − 2b = 125 dão a = 105 e b = 95.

A soma dos 100 números é 935. Os 98 restantes somam 98·7,5 = 735, então a + b = 200. Substituindo em 3a − 2b = 125: 5a = 525, logo a = 105 e b = 95.

Análise das alternativas

A) b = 105 e C) a = 95 trocam os valores. D) a = 85 daria b = 115, que não satisfaz 3a − 2b = 125.

Referência: Média aritmética e sistemas lineares.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Análise Combinatória — Princípio Fundamental da Contagem

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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09. Chamam-se “Palíndromos”, números inteiros que não se alteram quando é invertida a ordem de seus algarismos (por exemplo: 121, 2332, 13831). O número total de Palíndromos de seis algarismos é igual a:

Selecione uma alternativa A) 90 B) 900 C) 1000 D) 1900

Resolução comentada

Palíndromos de 6 algarismos: 9·10·10 = 900.

Basta escolher os 3 primeiros algarismos, pois os outros 3 se repetem em ordem inversa. O primeiro tem 9 opções (1 a 9) e os dois seguintes têm 10 cada, então 9·10·10 = 900.

Análise das alternativas

90 ignoraria um algarismo livre. 1000 e 1900 superam o total possível, pois permitiriam o zero na primeira posição ou contariam em excesso.

Referência: Princípio fundamental da contagem.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Radicais e Potências de Expoente Racional

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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10. Um professor do CMJF fez um desafio para 3 de seus alunos do 9º ano do Ensino Fundamental. Os desafios estão no quadro a seguir:

Quadro ALUNOS × EXPRESSÕES. Marcelo: (raiz de 24 mais raiz de 9) sobre (raiz de 6 mais raiz de 2). Sérgio: raiz de (11 mais raiz de 21) vezes raiz de (11 menos raiz de 21), sobre raiz de 1000. Renata: [(raiz de 10) elevado a 4] elevado a menos 1/12, mais [raiz sexta de (1/1000)] elevado a 4.

Quadro ALUNOS × EXPRESSÕES. Marcelo: (raiz de 24 mais raiz de 9) sobre (raiz de 6 mais raiz de 2). Sérgio: raiz de (11 mais raiz de 21) vezes raiz de (11 menos raiz de 21), sobre raiz de 1000. Renata: [(raiz de 10) elevado a 4] elevado a menos 1/12, mais [raiz sexta de (1/1000)] elevado a 4.

Passados alguns minutos, os alunos encontraram os seguintes resultados:

Quadro ALUNOS × RESULTADOS. Marcelo: 4. Sérgio: raiz de 10 sobre 100. Renata: (raiz sexta de 10) elevado a 11.

Quadro ALUNOS × RESULTADOS. Marcelo: 4. Sérgio: raiz de 10 sobre 100. Renata: (raiz sexta de 10) elevado a 11.

Então, podemos afirmar que:

Selecione uma alternativa A) Os três alunos acertaram os desafios que lhes foram propostos. B) Os dois rapazes acertaram, mas a moça errou. C) Os dois rapazes erraram e a moça acertou o seu desafio. D) Os três alunos erraram os desafios.

Matemática Regra de Três Composta

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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11. Uma montadora recebeu uma encomenda de 30 motos. A montadora trabalhou durante 8 dias, utilizando 5 robôs, de mesmo rendimento, que trabalharam 6 horas por dia para atender essa encomenda. Outra encomenda foi feita, para montar 50 motos. Mas um dos robôs apresentou um defeito e não pôde ser usado no trabalho. Para atender ao cliente, a montadora precisou trabalhar 10 horas por dia. O número de dias necessários para entregar o segundo pedido foi igual a:

Selecione uma alternativa A) 8 B) 10 C) 12 D) 18

Resolução comentada

Regra de três composta: 10 dias.

A 1ª encomenda usou 8·5·6 = 240 robô-horas para 30 motos. Para 50 motos são necessárias 400 robô-horas. Com 4 robôs e 10 h por dia, são 40 robô-horas por dia, então 400/40 = 10 dias.

Análise das alternativas

8 é o prazo da 1ª encomenda. 12 e 18 não resultam da proporção entre motos, robôs e horas.

Referência: Regra de três composta.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Área de Figuras Planas

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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12. Na figura abaixo, estão representados um quadrado de lado medindo 2 unidades de comprimento, uma das diagonais e uma semicircunferência de raio medindo 1 unidade de comprimento. A área da região hachurada, em unidades de área, é igual a:

Quadrado com uma diagonal do vértice inferior esquerdo ao superior direito e uma semicircunferência apoiada no lado inferior; a região hachurada fica dentro da semicircunferência, à direita da diagonal.

Quadrado com uma diagonal do vértice inferior esquerdo ao superior direito e uma semicircunferência apoiada no lado inferior; a região hachurada fica dentro da semicircunferência, à direita da diagonal.

Selecione uma alternativa A) (π + 2)/4 B) π + 4 C) π + 2 D) (π + 2)/2

Matemática Equações do 1º Grau — Problemas

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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13. Sérgio doou uma certa quantidade de brinquedos para um orfanato. Quando soube o total de crianças, pensou:

“Se cada criança receber 3 brinquedos, sobrarão 70 brinquedos; se cada criança receber 5 brinquedos, serão necessários mais 40 brinquedos.”

Para fazer uma divisão justa dos brinquedos, Sérgio resolveu doar mais 95 brinquedos e, assim, todas as crianças receberiam a mesma quantidade de brinquedos sem ocorrer sobras. Dessa forma, cada criança recebeu:

Selecione uma alternativa A) 5 brinquedos. B) 6 brinquedos. C) 7 brinquedos. D) 8 brinquedos.

Resolução comentada

55 crianças e 235 brinquedos; com +95, cada uma recebe 6.

Sendo n crianças, 3n + 70 = 5n − 40, então n = 55 e há 235 brinquedos. Com mais 95 há 330 brinquedos, e 330 ÷ 55 = 6.

Análise das alternativas

5 e 7 não dividem 330 por 55 exatamente: 5×55 = 275 e 7×55 = 385. 8×55 = 440 também não corresponde ao total de 330.

Referência: Equações do 1º grau: problemas.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Semelhança de Triângulos

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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14. Na figura abaixo, seja AB = 4 unidades de comprimento , BC = 6 unidades de comprimento e BFDE um losango inscrito no triângulo ABC. A medida do lado do losango, em unidades de comprimento, é igual a:

Triângulo ABC com B e C na base e A no topo; E sobre AB, D sobre AC e F sobre BC formam o losango BFDE, com ED paralelo a BC e DF paralelo a AB.

Triângulo ABC com B e C na base e A no topo; E sobre AB, D sobre AC e F sobre BC formam o losango BFDE, com ED paralelo a BC e DF paralelo a AB.

Selecione uma alternativa A) 1,5 B) 2 C) 2,4 D) 3

Matemática Retas Paralelas e Transversais — Ângulos

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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15. Na figura abaixo, as retas r e s são paralelas. Então, o valor de (2α - y)/y, é igual a:

Retas paralelas r (superior) e s (inferior) cortadas por transversais; ângulos indicados: 50° junto a r, y no cruzamento de duas transversais, 40° junto a s, α − y junto a r à direita e α junto a s à direita.

Retas paralelas r (superior) e s (inferior) cortadas por transversais; ângulos indicados: 50° junto a r, y no cruzamento de duas transversais, 40° junto a s, α − y junto a r à direita e α junto a s à direita.

Selecione uma alternativa A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3

Matemática Inequações do 1º Grau

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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16. A soma dos números inteiros que satisfazem simultaneamente as desigualdades x/2 − (1 − x)/3 < 2 − x e 2(2 − x) − 3(x + 1) ≤ 3 − x é igual a:

Selecione uma alternativa A) 0. B) 1. C) 2. D) 3.

Matemática Função Afim

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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17. Um reservatório com capacidade para 5000 litros encontra-se cheio de água e possui uma saída por onde a água escoa a uma razão constante de 25 litros por hora. Considere V o volume do reservatório, em litros, e t o tempo de escoamento, em horas. Calcule o volume do reservatório após 20 horas de escoamento e o tempo necessário para esvaziá-lo. Os valores encontrados são, respectivamente, iguais a:

Selecione uma alternativa A) 4000 ℓ e 200 h. B) 4500 ℓ e 200 h. C) 4500 ℓ e 250 h. D) 4000 ℓ e 250 h.

Resolução comentada

V(t) = 5000 − 25t.

Com t = 20, V = 5000 − 500 = 4500 L. Para esvaziar, 5000 − 25t = 0, então t = 200 h.

Análise das alternativas

A e D trazem 4000 L, que corresponderia a 40 h. C e D trazem 250 h, que seria o tempo se a vazão fosse de 20 L/h.

Referência: Função afim.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Porcentagem — Variações Sucessivas

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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18. Marcelo investiu x reais em Ações da Empresa Lucro Certo S.A. e, no primeiro mês, o valor de suas Ações subiu 50%. Porém, devido à crise no mercado mundial, no mês seguinte, o valor dessas Ações baixou 20%. Podemos afirmar que, nesses dois primeiros meses, Marcelo ficou com um:

Selecione uma alternativa A) prejuízo de 10%. B) prejuízo de 5%. C) lucro de 20%. D) lucro de 25%.

Resolução comentada

Fator 1,5 × 0,8 = 1,2, ou seja, lucro de 20%.

Com aumento de 50% e depois queda de 20%, o valor final é x · 1,5 · 0,8 = 1,2x. Isso equivale a lucro de 20%.

Análise das alternativas

A e B: não houve prejuízo, pois o fator é maior que 1. D: somar 50% − 20% não dá 30%, e 25% também não resulta dos fatores; as variações são multiplicativas.

Referência: Porcentagem: variações sucessivas.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Interpretação de Gráficos

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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19. Uma pesquisa eleitoral apurou a intenção de votos para os três principais candidatos à eleição para prefeito de uma cidade do interior de Minas Gerais: Diva Inocente, Almir Justo e José Lalau. Para vencer no 1º turno da eleição, o candidato deve obter 50% do total de votos mais 1 voto. Caso contrário, haverá 2º turno com os dois candidatos mais votados. Os resultados da pesquisa estão apresentados no gráfico a seguir:

Gráfico de barras 'Intenções de voto' por candidato: A (Diva Inocente) 1400, B (Almir Justo) 1620, C (José Lalau) 880, D (Indecisos) 1500.

Gráfico de barras 'Intenções de voto' por candidato: A (Diva Inocente) 1400, B (Almir Justo) 1620, C (José Lalau) 880, D (Indecisos) 1500.

Sabendo-se que a pesquisa abrangeu todos os eleitores da cidade e considerando que apenas os indecisos poderão mudar sua intenção de voto no 1º turno, a única opção correta é:

Selecione uma alternativa A) O candidato A não tem chance de vencer as eleições. B) O candidato C possui chances de vencer a eleição em 1º turno. C) O candidato B possui 25% das intenções de voto. D) O candidato C possui chances de vencer a eleição num possível 2º turno.

Matemática Divisão Proporcional

CMJF — CEOCP (Comissão de Elaboração, Organização e Correção de Provas) 2015 Fundamental

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20. A tabela a seguir mostra a participação em uma empresa, de seus três sócios, de acordo com o tempo e o capital inicial investido.

Tabela com colunas Sócio, Tempo de participação e Capital inicial investido: João, 6 meses, R$ 5.000,00; José, 12 meses, R$ 2.500,00; Maria, 9 meses, R$ 3.000,00.

Tabela com colunas Sócio, Tempo de participação e Capital inicial investido: João, 6 meses, R$ 5.000,00; José, 12 meses, R$ 2.500,00; Maria, 9 meses, R$ 3.000,00.

Ao completar um ano de funcionamento, o lucro de R$ 58.000,00 foi dividido proporcionalmente entre eles. A parte que coube a:

Selecione uma alternativa A) João foi igual a R$ 10.000,00. B) José foi igual à parte que coube a Maria. C) Maria foi igual a R$ 18.000,00. D) José foi igual a R$ 28.000,00.