← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Calcular eˣ − e⁻ˣ para x = ln 5. Com x = ln5, eˣ = 5 e e⁻ˣ = 1/5. Logo y = 5 − 1/5 = 24/5, que já é fração irredutível (a = 24, b = 5). Portanto a + b = 29. A, C, D e E não correspondem a 24 + 5. Só a alternativa B (29) está correta. Referência: Propriedades de exponenciais e logaritmos: e^(ln a) = a. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contando como sem interseção apenas os pares de retas paralelas, obtém-se 27/36 = 0,75. O total de pares é C(9,2) = 36. Retas com mesmo coeficiente angular formam os grupos: inclinação −3 (r₂, r₆, r₇, r₈) com 6 pares, e inclinação −1/3 (r₃, r₄, r₅) com 3 pares; r₁ (3) e r₉ (−2/3) estão sozinhas. Seguindo o gabarito, são 9 pares paralelos sem interseção, então P = (36 − 9)/36 = 27/36 = 0,75. Note que r₃ e r₄ são, na verdade, a mesma reta e teriam interseção não vazia; o gabarito considera todos os 9 pares de mesma inclinação como disjuntos. As demais alternativas (0,15; 0,25; 0,50; 0,85) não correspondem a essa contagem. Referência: Probabilidade e posição relativa de retas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O resto é r(x) = 2x − 1, então r(1/2) = 0. As raízes de b(x) são 1 e −3. p(1) = 1 + 3 − 1 − 1 − 1 = 1 e p(−3) = 3⁸⁰ − 3·3⁷⁹ − 9 + 3 − 1 = −7. Com r(x) = ax + b: a + b = 1 e −3a + b = −7, que dá a = 2 e b = −1. Logo r(1/2) = 1 − 1 = 0. Os outros valores resultam de erros no cálculo de p(−3) ou na solução do sistema. Referência: Teorema do resto e divisão de polinômios. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Como √g(x) = x² − 9 deve ser ≥ 0, vale |x| ≥ 3. Interpretando f(x) = √x + 4, temos f(g(x)) = √g(x) + 4 = x² − 5, logo √g(x) = x² − 9. Como a raiz é não negativa, x² − 9 ≥ 0, ou seja, x ≤ −3 ou x ≥ 3, que é IR − ]−3, 3[. B e C usam √5, que vem de x² − 5 = 0, condição irrelevante aqui. D é o intervalo oposto. E exclui apenas x < 3, mantendo valores como x = −4 de fora de forma indevida.
Referência: Função composta e condição de existência da raiz. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O produto vale √2 cis(π/3), então √3·x + y = √6. Como 1 + i = √2(cos π/4 + i sen π/4), multiplicar os módulos e somar os argumentos dá √2(cos π/3 + i sen π/3) = √2/2 + i√6/2. Logo x = √2/2 e y = √6/2, e √3x + y = √6/2 + √6/2 = √6. As outras alternativas decorrem de erros em x, y ou no argumento somado. Referência: Números complexos: multiplicação na forma trigonométrica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Há apenas duas raízes reais distintas (0 e 2). Fatorando: p(x) = x(x⁵ − 2x⁴ + 2x³ − 4x² + x − 2) = x(x − 2)(x² + 1)². As raízes são 0, 2 e ±i (cada uma dupla), portanto só há duas raízes reais, 0 e 2, distintas entre si. A e B: afirmam quatro raízes reais, mas as outras quatro raízes são complexas. C: há duas reais, não uma. D: as duas reais são diferentes, não iguais. Referência: Polinômios: fatoração e raízes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível I e II são verdadeiras; III é falsa. I: 2a = 8, a = 4, c = 3, b² = 16 − 9 = 7, logo x²/16 + y²/7 = 1 (verdadeira). II: c = 10, e = c/a = 5/3, então a = 6 e b² = 100 − 36 = 64; a equação é x²/36 − y²/64 = 1, que equivale a 16x² − 9y² = 576 (verdadeira). III: 8x = −(y − 3)² resulta em x = −(y − 3)²/8, com vértice em (0, 3) e não em (3, 0); é falsa. Assim, apenas I e II são verdadeiras (C). As demais alternativas contrariam esse resultado. Referência: Cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As arestas são 12, 16 e 20, e a área total é 1504 cm². Com arestas 3k, 4k, 5k e soma 48, temos 12k = 48, k = 4, portanto 12, 16 e 20. A área total é 2(12·16 + 12·20 + 16·20) = 2(192 + 240 + 320) = 1504 cm². 752 é a metade da área correta (esqueceu o fator 2). As outras opções não resultam do cálculo. Referência: Geometria espacial: paralelepípedo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A tangente por (3,−2) é 3x − 2y − 13 = 0. O triângulo de vértices (0,0), (0,6) e (4,0) é retângulo na origem, então o segmento de (0,6) a (4,0) é diâmetro: centro (2,3) e r² = 13. Para a reta 3x − 2y − 13 = 0, ela passa por (3,−2) (9 + 4 − 13 = 0) e sua distância ao centro é |6 − 6 − 13|/√13 = √13, igual ao raio. Logo é tangente. Nas demais alternativas ou a reta não passa por (3,−2) ou a distância ao centro difere de √13. Referência: Geometria analítica: circunferência e retas tangentes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Maria alcança João após 9 horas. As distâncias percorridas por Maria em cada hora formam uma PA com a₁ = 6 e razão 1/2. Em n horas, ela percorre 6n + n(n−1)/4, enquanto João percorre 8n. Igualando: 6 + (n−1)/4 = 8, logo n − 1 = 8 e n = 9. Os demais valores (3, 5, 10, 11) não igualam as distâncias. Em 5 horas Maria faz 35 km contra 40 de João; em 10 horas, 82,5 km contra 80, já ultrapassando. Referência: Progressão aritmética: soma dos termos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Apenas a E é verdadeira: 4·3·2 = 24 funções injetoras. Uma função injetora de A (3 elementos) em B (4 elementos) é um arranjo A(4,3) = 4·3·2 = 24, o que torna a E correta. A: os múltiplos de 11 com três algarismos vão de 110 a 990, o que dá 81, não 80. B: o último algarismo ímpar só pode ser 3 ou 5 (2 opções), os três primeiros são arranjos dos 4 restantes (4·3·2 = 24), então são 2·24 = 48. C: ESPCEX tem 6 letras com E repetido; vogais E, E juntas formam bloco: 5!/1 = 120 permutações do bloco com 4 letras restantes (5 elementos, todos distintos) = 120, não 60. D: casal em duas cadeiras vizinhas: 9 pares de cadeiras × 2 ordens = 18, não 90. Referência: Análise combinatória: arranjos, permutações com repetição. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O volume da esfera iguala o volume deslocado, e isso dá r = (3/4)R. O volume deslocado é o de um cilindro de altura (9/16)R: πR²·(9/16)R = (9/16)πR³. Igualando ao volume da esfera, (4/3)πr³ = (9/16)πR³, obtém-se r³ = (27/64)R³ e, portanto, r = (3/4)R. As demais alternativas não satisfazem r³ = 27R³/64. Por exemplo, (2/3)R dá 8/27 e (1/3)R dá 1/27. Referência: Volumes do cilindro e da esfera. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A maior raiz é R = 6, então 2R − 2 = 10. Com x ≠ 4: 11x + 6 = x²(x − 4), isto é, x³ − 4x² − 11x − 6 = 0. Testando x = −1, a equação se anula; dividindo, resulta x² − 5x − 6 = (x − 6)(x + 1). As raízes são −1 (dupla) e 6, então R = 6 e 2R − 2 = 10. As alternativas A, B, C e D vêm de escolher outra raiz ou de erros na fatoração. Com R = 6, o valor é 10 (E). Referência: Equações polinomiais; teorema das raízes racionais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponívelEsPCEx — Concurso de Admissão 2015 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
r₁: y=3x-2
r₂: 3x+y+1=0
r₃: -x-3y+1=0
r₄: y= -x/3 + 1/3
r₅: 3x+9y+2=0
r₆: y= -3x+7
r₇: 6x+2y+4=0
r₈: -3x-y-9=0
r₉: x/3 + y/2 =1
Sorteando aleatoriamente e sem reposição duas retas dessa lista, a probabilidade de obter duas retas cuja interseção é um conjunto não vazio éResolução comentada
Análise das alternativas
, em que a e b são reais, seja possível e indeterminado, o valor de a+b é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I - Uma elipse tem como focos os pontos F₁(-3,0), F₂(3,0) e a medida do eixo maior é 8. Sua equação é x²/16 + y²/7 =1.
II - Os focos de uma hipérbole são F₁(-10,0), F₂(10,0) e sua excentricidade é 5/3. Sua equação é 16x² - 9y²=576.
III – A parábola 8x=-y²+6y-9 tem como vértice o ponto V(3,0).
Com base nessas afirmações, assinale a alternativa correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
![Equação: 3!(x-1)! sobre 4(x-3)! igual a [182(x-2)! - x!] sobre 2(x-2)!, seguida do texto "é um número natural", sublinhado.](https://vaiconcursos.com/wp-content/uploads/questoes-v4/imagens/792442905720ec532181561c69f97157141bc320bf8d7ec21904dd3c9356d33e/q010_img_01.png)
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
, o valor de f(0)+f(4) éResolução comentada
Análise das alternativas
é
Fazendo x=ln5 temos que y= eˣ - e⁻ˣ = a/b, a ∈ Z e b ∈ Z*, a e b primos entre si. Logo a+b é igual a
Considere as equações de nove retas distintas do plano cartesiano:
Para que o sistema linear
Considere os polinômios p(x)=x⁸⁰+3x⁷⁹-x²-x-1 e b(x)=x²+2x-3. Sendo r(x) o resto da divisão de p(x) por b(x), o valor de r(1/2) é igual a
Considere as funções reais f e g, tais que f(x) = √x +4 e f(g(x))=x²-5, onde g(x) é não negativa para todo x real. Assinale a alternativa cujo conjunto contém todos os possíveis valores de x, que satisfazem os dados do enunciado.
Se (1+i)(cos π/12 + isen π/12)=x+iy, em que i é a unidade imaginária e x e y são números reais, o valor de √3 · x+y é
Considere o polinômio p(x)=x⁶-2x⁵+2x⁴-4x³+x²-2x. Sobre as raízes de p(x)=0, podemos afirmar que
Considere as afirmações:
As medidas das arestas de um paralelepípedo retângulo são diretamente proporcionais a 3, 4 e 5 e a soma dessas medidas é igual a 48 cm. Então a medida da sua área total, em cm², é
A solução da equação
Considere a circunferência que passa pelos pontos (0,0), (0,6) e (4,0) em um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais. Sabendo que os pontos (0,6) e (4,0) pertencem a uma reta que passa pelo centro dessa circunferência, uma das retas tangentes a essa circunferência, que passa pelo ponto (3,-2), tem por equação
João e Maria iniciam juntos uma corrida, partindo de um mesmo ponto. João corre uniformemente 8 km por hora e Maria corre 6 km na primeira hora e acelera o passo de modo a correr mais 1/2 km cada hora que se segue. Assinale a alternativa correspondente ao número de horas corridas para que Maria alcance João.
Da análise combinatória, pode-se afirmar que
Um recipiente cilíndrico, cujo raio da base tem medida R, contém água até uma certa altura. Uma esfera de aço é mergulhada nesse recipiente ficando totalmente submersa, sem haver transbordamento de água. Se a altura da água subiu (9/16)R, então o raio da esfera mede
Considerando a função real definida por
Sendo R a maior das raízes da equação (11x+6)/(x-4) = x², então o valor de 2R-2 é
O gráfico que melhor representa a função real definida por
Um portal de igreja tem a forma de um arco de parábola, conforme figura abaixo. A medida da sua base AB é 4m e da sua altura é 5m. Um vitral foi colocado 3,2m acima da base. Qual a medida CD da base, em metros?
Na figura abaixo, a circunferência de raio 3 cm tangencia três lados do retângulo ABCD. Sabendo que a área deste retângulo é igual a 72 cm², a medida do segmento EF, em cm, é igual a:
Considere o seguinte procedimento: em uma circunferência de diâmetro 2R, inscreve-se um hexágono regular para, em seguida, inscrever neste polígono uma segunda circunferência. Tomando esta nova circunferência, o processo é repetido gerando uma terceira circunferência. Caso este procedimento seja repetido infinitas vezes, a soma dos raios de todas as circunferências envolvidas nesse processo é igual a: