← Voltar para a lista de provas Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular — Matemática 30 questões nesta prova · página 1 de 2 · 20 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Só z = −3 + i está em A, fora de B e em C. As raízes de z² + 6z + 10 = 0 são z = −3 ± i, que formam C. A é o disco de centro (−2, 3) e raio √19. B é o disco de centro (0, −1) e raio 3,5. Para −3 + i, a distância ao centro de A é √5 3,5, então não pertence a B. Para −3 − i, a distância ao centro de B é 3 < 3,5, então pertence a B e é excluído de A\B.
A e B incluem pontos que não estão em C, ou incluem −3 − i, que está em B. D traz justamente o ponto excluído. E traz um ponto que não é raiz da equação. Referência: Lugares geométricos no plano complexo; equação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível z = −1/2 + i√3/2, e a expressão vale 4π/3. 1 + √3i tem módulo 2 e argumento 60°. 1 − √3i tem módulo 2 e argumento −60°. O quociente tem módulo 1 e argumento 120°. Elevando à 10ª potência, o argumento é 1200° ≡ 120°, então z = −1/2 + i√3/2. Assim 2·arcsen(−1/2) = −π/3 e 5·arctg(√3) = 5π/3, e a soma é 4π/3. A, B, C e E resultam de erro no argumento de z ou nos valores de arcsen e arctg. Referência: Forma trigonométrica e 1ª fórmula de De Moivre. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A distância entre as retas paralelas é 3, então o diâmetro é 3 e a área é 9π/4. As retas são paralelas. A distância entre elas é |−4 − (−19)|/√(3²+4²) = 15/5 = 3. Uma circunferência tangente às duas tem diâmetro igual a essa distância, então r = 3/2. A área é π·(3/2)² = 9π/4. A, B, C e D não correspondem a r = 3/2. Elas vêm de raios ou distâncias calculados incorretamente. Referência: Distância entre retas paralelas; área do círculo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Fibonacci: apenas II e III são verdadeiras. I é falsa: três termos consecutivos em PG exigiriam a(p+1)² = a(p)·a(p+2), mas pela identidade de Cassini essa diferença vale ±1, nunca 0. II é verdadeira: a₇ = 13, que é primo. III é verdadeira: a sequência é 1, 1, 2, 3, 5, 8, ... e a paridade se repete como ímpar, ímpar, par. Assim, todo aₙ com n múltiplo de 3 é par. A e B estão erradas porque III é verdadeira. B, C e E estão erradas porque I é falsa. A está errada porque exclui III. Referência: Sequência de Fibonacci; paridade; identidade de Cassini. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As três afirmações são verdadeiras. I: com a = 1, b = 2 e x = 0, tem-se 1/1 − 2/(−1/2) = 1 + 4 = 5, então x = 0 é solução. II: os denominadores 1 − x² e x − 1/2 não podem se anular, logo x ≠ ±1 e x ≠ 1/2. III: com x = 2/3, a equação vira 9a/5 − 6b = 5, ou seja, 9a − 30b = 25. O lado esquerdo é múltiplo de 3 e 25 não é, então não há a e b inteiros que a satisfaçam. A, B, C e D estão erradas porque deixam de fora ao menos uma afirmação verdadeira. Todas as três (I, II e III) são verdadeiras. Referência: Equações racionais; divisibilidade. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível p tem raiz dupla e raiz 2; o caso possível nas alternativas dá a = 4, b = −8, logo b − a = −12. O produto das raízes é 16/2 = 8. Se 2 fosse a raiz dupla, a terceira raiz também seria 2 (4r = 8) e b − a = 36, que não está nas alternativas. Com 2 simples e raiz dupla d, 2d² = 8, então d = −2 (d = 2 repete o caso anterior). Assim p = 2(x − 2)(x + 2)² = 2x³ + 4x² − 8x − 16, com a = 4 e b = −8, e b − a = −12. A, C, D e E não correspondem a nenhum polinômio com raiz 2 e raiz dupla. O caso de raiz tripla 2 daria 36, que também não consta. Referência: Relações de Girard; raízes múltiplas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A maior hipotenusa ocorre com a = 5; o menor ângulo tem tg = 1/2. Se a é a hipotenusa, a² = a + 4a, logo a = 5. Se 2√a é a hipotenusa, 4a = a + a², logo a = 3. Se √a fosse a hipotenusa, não haveria solução positiva. A maior hipotenusa é 5, com catetos √5 e 2√5. O menor ângulo fica oposto a √5, então tg = √5/(2√5) = 1/2. A, B, D e E correspondem a razões que não resultam dos catetos √5 e 2√5. Só 1/2 é o quociente entre o menor e o maior cateto do triângulo de maior hipotenusa. Referência: Teorema de Pitágoras e razões trigonométricas no triângulo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Equação 2senx − cosx = 1 em [0, 2π]: soluções x = π e x = arccos(3/5). Testando x = π: 2·0 − (−1) = 1, então π é solução. Fazendo cos x = 1 − 2 sen x e usando sen²x + cos²x = 1, obtém-se 5sen²x − 4sen x = 0. Logo sen x = 0 (cos x = −1, x = π) ou sen x = 4/5 (cos x = 3/5, x = arccos(3/5), no 1º quadrante). B) arcsen(3/5) tem cos = 4/5, e 2·(3/5) − 4/5 = 2/5 ≠ 1. C) arcsen(−4/5) está no 4º quadrante e dá 2(−4/5) − 3/5 ≠ 1. D) arccos(−4/5) tem sen = 3/5, e 6/5 + 4/5 = 2 ≠ 1. E) arccos(4/5) tem sen = 3/5, e 6/5 − 4/5 = 2/5 ≠ 1. Referência: Equações trigonométricas; relação fundamental sen²x + cos²x = 1. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Resolver as equações em cos² dá α e β; calcular cos(α + β). Com u = cos²(α/2): 4u² − 5u + 1 = 0, logo u = 1/4 (u = 1 é impossível em ]0, π[), e α = 2π/3 ou 4π/3. Com v = cos²(β/3): 4v² − 7v + 3 = 0, logo v = 3/4 e β = π/2. Então α + β = 7π/6 ou 11π/6, e cos vale −√3/2 ou √3/2. O menor é −√3/2. A) −1, C) −√2/2, D) −1/2 e E) 0 não aparecem entre os valores possíveis de cos(α + β). Os únicos valores possíveis são ±√3/2. Referência: Trigonometria: equações trigonométricas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As três afirmações são verdadeiras. I: numa linha i, a diferença entre termos consecutivos é 2^(i−1)·2 = 2^i. II: numa coluna j, a razão entre termos consecutivos é 2. III: tr A = Σ 2^(i−1)(2i − 1) = 1 + 6 + 20 + 56 + 144 = 227, que é primo. A, B, C e D descartam alguma afirmação verdadeira. Em particular, 227 não é divisível por 2, 3, 5, 7, 11 nem 13, logo é primo. Referência: Matrizes, progressões e traço Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível I e III são verdadeiras; II é falsa. I: d(A, r) = 9/√13 = d(B, r). II: AB é vertical e r tem inclinação 2/3, logo r não é perpendicular a AB, e B não é simétrico de A em relação a r, embora o ponto médio (0, 2) esteja em r. III: com AB = 6 e C sobre y = 2, a altura é 3√3, logo C = (±3√3, 2). A omite III. B e E afirmam II, que é falsa porque r não é a mediatriz de AB. C também afirma II, e deixa III de fora. Referência: Geometria analítica: distância ponto-reta, simetria e triângulo equilátero Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Altura = distância de A à reta; metade da base por Pitágoras. A distância de A a r é |12 + 50/3 − 12|/5 = 10/3. Como AB = AC = 25/6, metade da base é √((25/6)² − (10/3)²) = 5/2, logo BC = 5. Área = ½·5·10/3 = 25/3 e perímetro = 5 + 2·25/6 = 40/3. A, B, C e D trazem área ou perímetro incompatíveis com altura 10/3, base 5 e lados 25/6. As áreas 22/3 e 23/3 não batem com ½·5·10/3. Os perímetros 31/3 e 35/3 também não batem com 5 + 25/3. Referência: Geometria analítica: distância ponto-reta e área de triângulo Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Só a afirmação I é verdadeira. I: o ponto médio M de um segmento de comprimento l com extremos nos eixos está sempre a l/2 da origem, logo descreve uma circunferência. II: fatorando, x(2x + y)(3x − y − 2) = 0, que são retas, um conjunto infinito. III: os pontos são colineares (declive −2 nos dois trechos), logo não pertencem a uma circunferência. B e D erram ao considerar II verdadeira, pois o conjunto é uma união de retas. C e E erram ao considerar III verdadeira, pois pontos colineares não são concíclicos. Referência: Geometria analítica: lugares geométricos, retas e circunferência Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Triângulos semelhantes ABE e CDE dão a distância de E à base AB. No triângulo retângulo ABD, BD = 12 e a altura do trapézio é 9·12/15 = 36/5. A projeção de AD sobre AB é 81/15 = 27/5, então CD = 15 − 54/5 = 21/5. Como ABE ~ CDE, a distância de E a AB é h·AB/(AB + CD) = (36/5)·15/(96/5) = 45/8. A, B, C e D (21/8, 27/8, 35/8 e 37/8) são valores que não resultam da razão de semelhança 15 : 21/5 aplicada à altura 36/5. Referência: Geometria plana: trapézio isósceles e semelhança Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O perímetro de PMN é o dobro da tangente traçada de P à circunferência inscrita. Pelo teorema das tangentes, o perímetro de PMN = 2·(tangente de P ao incírculo). Essa tangente vale p − QR = 12,5 − 10 = 2,5. Portanto o perímetro é 2·2,5 = 5. B, C, D e E (6, 8, 10 e 15) não decorrem da propriedade 2(p − QR). O valor 10 é apenas a medida de QR. Referência: Geometria plana: circunferência inscrita e segmentos tangentes Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A potência de O vale a² (a = abscissa do centro) e a tangência dá o raio. O centro é (a, r), pois a circunferência tangencia Ox. A potência de O é a² + r² − r² = a² = 4, logo a = 2. A tangência a x − y = 0 dá |2 − r|/√2 = r, então r = 2/(√2 + 1) = 2√2 − 2. O centro é (2, 2√2 − 2). B, C, D e E dão raios que não satisfazem a condição de tangência à reta x − y = 0 com centro de abscissa 2. Em D, por exemplo, r = 2 − √2 não verifica |2 − r| = r√2. Referência: Geometria analítica: circunferência, tangência e potência de ponto Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Volumes de cones semelhantes são proporcionais ao cubo da altura. O líquido forma um cone de altura h e volume V. Com 2V, o novo cone é semelhante, e (h'/h)³ = 2, logo h' = h·∛2. A subida da superfície é h' − h = (∛2 − 1)h. A) ∛2 − h mistura grandezas diferentes (número e comprimento). B) ∛2 − 1 omite o fator h. D) h e E) h/2 não vêm da razão de semelhança ∛2. Referência: Geometria espacial: semelhança de sólidos Resolução comentada do VaiConcursos.ITA — Vestibular 2015 — Prova de Matemática
I. Se a expansão decimal de x é infinita e periódica, então x é um número racional.
II. 
III. ln ∛(e²) + (log₃ 2)(log₄ 9) é um número racional.
É (são) verdadeira(s):
Sejam A, B e C os subconjuntos de ℂ definidos por A = {z ∈ ℂ : |z + 2 − 3i| < √19}, B = {z ∈ ℂ : |z + i| < 7/2} e C = {z ∈ ℂ : z² + 6z + 10 = 0}. Então, (A \ B) ∩ C é o conjuntoResolução comentada
Análise das alternativas
Se z = ((1 + √3i)/(1 − √3i))¹⁰, então o valor de 2 arcsen(Re(z)) + 5 arctg(2 Im(z)) é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. Existem três termos consecutivos, aₚ, aₚ₊₁, aₚ₊₂, que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.
II. a₇ é um número primo.
III. Se n é múltiplo de 3, então aₙ é par.
É (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
I. Se a = 1 e b = 2, então x = 0 é uma solução da equação.
II. Se x é solução da equação, então x ≠ 1/2, x ≠ −1 e x ≠ 1.
III. x = 2/3 não pode ser solução da equação.
É (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
, com aⱼ ∈ ℝ, j = 0, 1, ..., 15, e a₁₅ ≠ 0. Sabendo-se que i é uma raiz de p e que p(2) = 1, então o resto da divisão de p pelo polinômio q, dado por q(x) = x³ − 2x² + x − 2, é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sejam α e β números reais tais que α, β, α + β ∈ ]0, 2π[ e satisfazem as equações
cos²(α/2) = (4/5) cos⁴(α/2) + 1/5 e cos²(β/3) = (4/7) cos⁴(β/3) + 3/7.
Então, o menor valor de cos(α + β) é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Seja A = (aᵢⱼ)₅ₓ₅ a matriz tal que aᵢⱼ = 2ⁱ⁻¹(2j − 1), 1 ≤ i, j ≤ 5. Considere as afirmações a seguir:
I. Os elementos de cada linha i formam uma progressão aritmética de razão 2ⁱ.
II. Os elementos de cada coluna j formam uma progressão geométrica de razão 2.
III. tr A é um número primo.
É (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere a matriz M = (mᵢⱼ)₂ₓ₂ tal que mᵢⱼ = j − i + 1, i, j = 1, 2. Sabendo-se que
então o valor de n é igual a
Considere os pontos A = (0, −1), B = (0, 5) e a reta r : 2x − 3y + 6 = 0. Das afirmações a seguir:
I. d(A, r) = d(B, r).
II. B é simétrico de A em relação à reta r.
III. A̅B̅ é base de um triângulo equilátero ABC, de vértice C = (−3√3, 2) ou C = (3√3, 2).
É (são) verdadeira(s) apenasResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento A̅B̅, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (x, y) tais que 6x³ + x²y − xy² − 4x² − 2xy = 0 é um conjunto finito no plano cartesiano ℝ².
III. Os pontos (2, 3), (4, −1) e (3, 1) pertencem a uma circunferência.
Destas, é (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere as seguintes afirmações sobre números reais:
Notação (página inicial da prova): X \ Y = {x ∈ X e x ∉ Y}
Notação (página inicial da prova): Re(z) = parte real do número z ∈ ℂ; Im(z) = parte imaginária do número z ∈ ℂ
Seja C uma circunferência tangente simultaneamente às retas r : 3x + 4y − 4 = 0 e s : 3x + 4y − 19 = 0. A área do círculo determinado por C é igual a
Seja (a₁, a₂, a₃, ...) a sequência definida da seguinte forma: a₁ = 1, a₂ = 1 e aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂ para n ≥ 3. Considere as afirmações a seguir:
Considere a equação a/(1 − x²) − b/(x − 1/2) = 5, com a e b números inteiros positivos. Das afirmações:
Considere o polinômio p dado por p(x) = 2x³ + ax² + bx − 16, com a, b ∈ ℝ. Sabendo-se que p admite raiz dupla e que 2 é uma raiz de p, então o valor de b − a é igual a
Seja p o polinômio dado por p(x) =
Considere todos os triângulos retângulos com os lados medindo √a, 2√a e a. Dentre esses triângulos, o de maior hipotenusa tem seu menor ângulo, em radianos, igual a
Os valores de x ∈ [0, 2π] que satisfazem a equação 2 sen x − cos x = 1 são
Notação (página inicial da prova): ]a, b[ = {x ∈ ℝ : a < x < b}
Notação (página inicial da prova): tr A = traço da matriz quadrada A, que é definido como a soma dos elementos da diagonal principal de A.
Notação (página inicial da prova): det A = determinante da matriz A; Potência de matriz: A¹ = A, A² = A · A, ..., Aᵏ = Aᵏ⁻¹ · A, sendo A matriz quadrada e k inteiro positivo; Σ (de k = 0 até n) aₖ = a₀ + a₁ + a₂ + ··· + aₙ, sendo n inteiro não negativo.
Notação (página inicial da prova): d(P, r) = distância do ponto P à reta r; A̅B̅ = segmento de extremidades nos pontos A e B.
Dados o ponto A = (4, 25/6) e a reta r : 3x + 4y − 12 = 0, considere o triângulo de vértices ABC, cuja base B̅C̅ está contida em r e a medida dos lados A̅B̅ e A̅C̅ é igual a 25/6. Então, a área e o perímetro desse triângulo são, respectivamente, iguais a
Considere as afirmações a seguir:
Seja ABCD um trapézio isósceles com base maior A̅B̅ medindo 15, o lado A̅D̅ medindo 9 e o ângulo AD̂B reto. A distância entre o lado A̅B̅ e o ponto E em que as diagonais se cortam é
Num triângulo PQR, considere os pontos M e N pertencentes aos lados P̅Q̅ e P̅R̅, respectivamente, tais que o segmento M̅N̅ seja tangente à circunferência inscrita ao triângulo PQR. Sabendo-se que o perímetro do triângulo PQR é 25 e que a medida de Q̅R̅ é 10, então o perímetro do triângulo PMN é igual a
Considere uma circunferência C, no primeiro quadrante, tangente ao eixo Ox e à reta r : x − y = 0. Sabendo-se que a potência do ponto O = (0, 0) em relação a essa circunferência é igual a 4, então o centro e o raio de C são, respectivamente, iguais a
Uma taça em forma de cone circular reto contém um certo volume de um líquido cuja superfície dista h do vértice do cone. Adicionando-se um volume idêntico de líquido na taça, a superfície do líquido, em relação à original, subirá de