← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T) — Matemática 50 questões nesta prova · página 1 de 3 · 50 com gabarito Gabarito disponível Pré-imagem de (3,2) por transformação linear. T(x,y,z) = x(2,0) + y(1,1) + z(0,−1) = (2x+y, y−z). Impondo (3,2): y = 3 − 2x e z = y − 2 = 1 − 2x. Logo v = (x, 3 − 2x, 1 − 2x). B, C, D e E não satisfazem simultaneamente 2x + y = 3 e y − z = 2. Referência: Álgebra Linear – transformações lineares Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Volume entre paraboloide e semiesfera em coordenadas cilíndricas. Igualando 2 − r² = 1 − √(1−r²), obtém-se 1 − r² = −√(1−r²), logo √(1−r²) = 0 e r = 1. A região tem 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π e 1 − √(1−r²) ≤ z ≤ 2 − r², com elemento de volume r dz dr dθ. B usa θ até π e limite superior errado. C usa 1 + √(1−r²) como limite inferior. D e E usam limites que não correspondem às superfícies dadas, e E ainda restringe θ a π. Referência: Cálculo – integrais triplas em coordenadas cilíndricas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Translação de eixos. Na translação, x' = x − h e y' = y − k, com O' = (2, −3). Então x' = 7 − 2 = 5 e y' = 5 − (−3) = 8, ou seja, P = (5, 8) no novo sistema. As demais opções erram o sinal da subtração ou usam apenas uma das coordenadas corretas, por exemplo y' = 5 − 3 = 2 em vez de 5 + 3. Referência: Geometria Analítica – translação Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Relação entre a inclinação da reta normal e f'(2). A reta 3y = 2x − 1 tem coeficiente angular 2/3. A tangente é perpendicular à normal, então f'(2) = −1/(2/3) = −3/2. 2/3 é a inclinação da própria normal. −2/3 e 2 trocam sinal ou inversão de forma incorreta, e −2 não decorre do cálculo. Referência: Cálculo – reta tangente e normal Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Transformada de Laplace de t·sen3t. L{sen3t} = 3/(s²+9). Pela propriedade L{t f(t)} = −F'(s), temos −d/ds[3/(s²+9)] = 6s/(s²+9)². B é a transformada de sen3t dividida por 3. C e D envolvem arco-tangente, que aparece na transformada de f(t)/t. E não corresponde ao resultado da derivação. Referência: Transformada de Laplace – multiplicação por t Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Tempo para esvaziar metade do tanque com vazão proporcional à profundidade. V = 25πx, então 25π dx/dt = −0,25x, ou dx/dt = −x/(100π). Logo x = 16·e^(−t/(100π)). O volume cai à metade quando x = 8, isto é, e^(−t/(100π)) = 1/2, o que dá t = 100π ln2. As demais opções erram a constante 100π ou o logaritmo. Por exemplo, ln4 corresponderia a reduzir a profundidade a 1/4, e (10/π) não resulta da equação. Referência: EDO de 1ª ordem separável – problemas de taxa Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Propriedades do determinante para matrizes 2×2 invertíveis. Para matriz de ordem n, det(kM) = kⁿ det M. Com n = 2, det(3B) = 9 det B, e não 3 det B. Por isso a alternativa E é a incorreta. A) det(AB) = detA·detB = det(BA), correta. B) det(5A) = 5²detA = 25detA, correta. C) det(B⁻¹) = 1/detB, correta. D) Matriz invertível tem det ≠ 0, correta. Referência: Álgebra Linear – determinantes Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Posições relativas de retas e planos no espaço. 1) Falso: três pontos colineares não determinam um plano, e dois planos distintos podem se cruzar numa reta. 2) Falso: r e s podem ser concorrentes ou reversas. 3) Verdadeiro: duas retas concorrentes determinam um único plano. 4) Falso: dois planos perpendiculares a um terceiro podem ser concorrentes. 5) Falso: duas retas paralelas a um mesmo plano podem ser concorrentes ou reversas. A sequência é F F V F F. B, D e E marcam como verdadeira a afirmativa 1 e/ou a 5, e C marca como verdadeiras a 2 e a 4. Todas essas afirmativas são falsas. Referência: Geometria espacial de posição Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Propriedades de matrizes: simetria, produto notável, invertibilidade, nilpotência e transposta do produto. 1) Falso: AB é simétrica apenas se AB = BA. 2) Falso: (A−B)(A+B) = A² + AB − BA − B², que só é A² − B² se AB = BA. 3) Verdadeiro: det(Aᵗ) = det A ≠ 0. 4) Falso: existem matrizes não nulas com A² = 0, como [[0,1],[0,0]]. 5) Falso: (AB)ᵗ = BᵗAᵗ. A sequência é F F V F F. As demais opções marcam como verdadeira ao menos uma das afirmativas 1, 2, 4 ou 5, todas falsas. Referência: Álgebra Linear – matrizes e transposição Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Superfície de revolução da curva z=1+y² em torno do eixo y. Ao girar em torno do eixo y, a coordenada y permanece e z é substituída por ±√(x²+z²). Assim, √(x²+z²) = 1 + y². Elevando ao quadrado, x² + z² = 1 + 2y² + y⁴, ou seja, x² − 2y² + z² − y⁴ − 1 = 0. A, C, D e E não reproduzem o termo y⁴ nem o coeficiente −2y², que vêm de elevar (1+y²) ao quadrado. Algumas ainda descrevem outras superfícies, como o cone ou a esfera. Referência: Geometria Analítica – superfícies de revolução Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível AX⁻¹B⁻¹=I implica X⁻¹=A⁻¹B, portanto X=B⁻¹A. Multiplicando à esquerda por A⁻¹, temos X⁻¹B⁻¹ = A⁻¹. Multiplicando à direita por B, X⁻¹ = A⁻¹B. Invertendo, X = (A⁻¹B)⁻¹ = B⁻¹A. A) A⁻¹B é X⁻¹, não X. B, D e E trocam a ordem ou os inversos, e o produto matricial não é comutativo. Referência: Álgebra linear – matrizes inversas e equações matriciais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pela regra da cadeia, f'(x)=g'(x+g(x))·[1+g'(x)]. Com f(x)=g(u) e u=x+g(x), temos f'(x)=g'(u)·u'. Como u' = 1 + g'(x), resulta f'(x) = g'(x+g(x))[g'(x)+1]. A) Ignora a composição. B) Esquece a derivada interna 1 + g'(x), usando só g'(x). D) Substitui x+g(x) por g(x). E) Mistura argumentos, o que está errado. Referência: Cálculo – regra da cadeia. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível f'(x)=x−1/x se anula em x=1 e f''(1)=2>0: mínimo. f'(x) = x − 1/x = 0 em x=1, no domínio x>0. Como f'' = 1 + 1/x² > 0, o ponto x=1 é de mínimo. f é decrescente em (0,1) e crescente em (1,∞). A e B) f não é monótona em todo o domínio. D) Não há máximo local. E) f''>0 sempre, então não há ponto de inflexão. Referência: Cálculo – máximos e mínimos, teste da segunda derivada. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — Concurso Público para Ingresso no Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T/2013) — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
x + y + az = 1
x + 2y + z = 2
2x + 5y − 3z = b
com x, y, z, a, b ∈ ℜ.
Os valores de a e b que tornam o sistema indeterminado são:
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
( ) Dois planos que possuem 3 pontos em comum são coincidentes.
( ) Se duas retas r e s do ℜ³ são perpendiculares a uma reta t, então r e s são paralelas.
( ) Duas retas concorrentes no ℜ³ determinam um único plano.
( ) Se dois planos A e B são perpendiculares a um outro plano C, então os planos A e B são paralelos.
( ) Se duas retas r e s em ℜ³ são paralelas a um plano A, então r e s são paralelas.Resolução comentada
Análise das alternativas
( ) Se A e B são matrizes reais simétricas, então AB também é simétrica.
( ) Se A e B são matrizes reais n × n, então A² − B² = (A − B) (A + B)
( ) Se A é uma matriz real n × n, e sua transposta é uma matriz invertível, então a matriz A é invertível.
( ) Se A é uma matriz real quadrada, A² = 0, então A = 0
( ) Se A e B são matrizes reais quadradas de ordem n, então (AB)ᵗ = AᵗBᵗResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I) 1/7 − (1.4)/(7.9) + (1.4.7)/(7.9.11) − ........ + (−1)ⁿ⁻¹ (1.4.7.....(3n − 2))/(7.9.11.....(2n + 5)) + ..........
II) −3/4 + (5/7)² − (7/10)³ + ..... + (−1)ⁿ ((2n + 1)/(3n + 1))ⁿ + ......
III) 1 − 1/√2 + 1/√3 − ............ + (−1)ⁿ⁻¹/√n + ........
Com relação a essas séries, pode-se afirmar que:
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considerando T: ℜ³ → ℜ² uma transformação linear, tal que T(1,0,0) = (2,0); T(0,1,0) = (1,1) e T(0,0,1) = (0,−1), pode-se afirmar que o vetor v ∈ ℜ³, tal que T(v) = (3,2), é igual a:
Considere o sistema linear
Se G é a região do ℜ³ limitada superiormente pelo parabolóide z = 2 − x² − y² e inferiormente pela semiesfera z = 1 − √(1 − x² − y²), então o volume de G, em coordenadas cilíndricas, é calculado por:
Supondo que um sistema de coordenadas xy seja transladado de modo a se obter um novo sistema de coordenadas x'y', cuja origem O' tenha coordenadas (x, y) = (2, −3), quais são as coordenadas (x', y') do ponto P cujas coordenadas (x, y) são (7, 5)?
Sabendo que 3y = 2x − 1 é a equação da reta normal ao gráfico de uma função y = f(x) diferenciável, real de variável real, no ponto (2, f(2)), pode-se afirmar que f'(2) é igual a:
A transformada de Laplace da função real f, de variável real t > 0, f(t) = t sen3t, é:
Um tanque cilíndrico reto que possui 5m de raio e 16m de altura está inicialmente cheio d'água. Supondo que a água está sendo bombeada para fora do tanque a uma taxa de 0,25x m³/min, onde x é a profundidade da água em cada instante t, quanto tempo levará para o volume de água se reduzir à metade?
Tendo em vista que A e B são matrizes invertíveis de ordem 2 e detM indica a determinante de uma matriz M, é INCORRETO afirmar que:
O valor de ∫[−∞, +∞] e^(x − 2eˣ) dx é:
Coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a opção que apresenta a sequência correta.
Em relação a matrizes, coloque V (verdadeiro) ou F (falso) nas afirmativas abaixo, e assinale a opção que apresenta a sequência correta.
Qual o trabalho realizado pelo campo de forças F⃗(x, y, z) = (√(x + 1), sen((y + z)π), eˣ), x, y, z ∈ ℜ, ao deslocar uma partícula ao longo da curva C, interseção do cilindro parabólico y = x² com o plano z = 2, do ponto (0,0,2) ao ponto (−1,1,2)?
O valor de ∫[0, +∞] e^(−x²) dx é:
A curva, no plano yz, de equação z = 1 + y², gira em torno do eixo y definindo uma superfície S de revolução de ℜ³. Sendo assim, qual é a equação cartesiana de S?
Considere as seguintes séries numéricas:
Qual o valor da soma S = ∑[n=0, +∞] ((−1)ⁿ⁺¹ π²ⁿ⁺¹)/(2n)! ?
Qual é a série de Fourier da função real de variável real f, periódica de período T = 2, definida por f(t) = t + 1 se −1 ≤ t ≤ 0; f(t) = t − 1 se 0 ≤ t ≤ 1?
Dadas as matrizes A e B quadradas, de ordem n e invertíveis, qual é a solução da equação matricial AX⁻¹B⁻¹ = Iₙ, em que Iₙ é a matriz identidade de ordem n?
Se f e g são funções reais, de variáveis reais e f(x) = g(x + g(x)), então f'(x) é igual a:
Seja f(x) = x²/2 − lnx, x ∈ ℜ⁺ − {0}. É correto afirmar que: