← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T) — Matemática 50 questões nesta prova · página 2 de 3 · 50 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível div F = 2 + 1 + 2z = 3 em (1,1,0). div F = ∂(2x)/∂x + ∂(y−x)/∂y + ∂(z²+eˣ)/∂z = 2 + 1 + 2z. Em (1,1,0), 2z=0, então o divergente vale 3. A) 5 vem de somar errado o termo em z ou o eˣ. C), D) e E) omitem parcelas do divergente. Só 3 é obtido com todas as derivadas parciais. Referência: Cálculo vetorial – divergente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Resolvendo (1,−2,a)=αv+βw obtém-se β=2, α=−1 e a=−8. Escrevendo (1,−2,a) = α(3,0,−2) + β(2,−1,−5): a 2ª coordenada dá −β = −2, logo β=2. A 1ª coordenada dá 3α+4=1, logo α=−1. A 3ª coordenada dá a = −2(−1) − 5(2) = 2 − 10 = −8. As demais opções (−2, −4, −6, −10) resultam de erros de sinal ou de aritmética ao determinar α, β ou a. Referência: Álgebra linear – combinação linear de vetores. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível rot V = (1, 0, 2x) = i + 2x k. Para V=(P,Q,R)=(1, x²+y, z+y): a componente i é ∂R/∂y − ∂Q/∂z = 1 − 0 = 1. A componente j é ∂P/∂z − ∂R/∂x = 0. A componente k é ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 2x. Logo rot V = i + 2x k. B, C, D e E trazem componente j não nula ou componente i errada, o que contradiz o cálculo acima. A resposta correta é a A. Referência: Cálculo vetorial – rotacional. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Normal u×v=(8,−7,1); plano 8x−7y+z=1; a+b+c = 1/8 − 1/7 + 1 = 55/56. u×v = (8,−7,1), e o plano passa por (0,0,1), então 8x−7y+z=1. As interseções são a=1/8, b=−1/7 e c=1. A soma é 1/8 − 1/7 + 1 = −1/56 + 1 = 55/56. As demais opções vêm de erros no produto vetorial ou nas interseções. Nenhuma delas leva à soma 55/56. Referência: Geometria analítica – equação do plano. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível ∇f = 2√3·v/‖v‖ = (−2,2,2); a derivada na direção (0,1,1)/√2 é 2√2. A derivada máxima ocorre na direção do gradiente e vale ‖∇f‖ = 2√3. Como ‖v‖ = √3, ∇f = 2(−1,1,1) = (−2,2,2). Na direção de u=(0,1,1), normalizado para (0,1,1)/√2, a derivada é (2+2)/√2 = 2√2. A) 4√2 e E) −3√2 vêm de erros de módulo ou de sinal. C) e D) também não resultam do produto ∇f·û. Só 2√2 resulta de ∇f·û. Referência: Cálculo – derivada direcional e gradiente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Como 2ˣ = Σ(ln2)ⁿxⁿ/n!, multiplicando por x³ obtém-se Σ(ln2)ⁿ xⁿ⁺³/n!. 2ˣ = eˣˡⁿ² = Σ (ln2)ⁿ xⁿ/n!. Multiplicando por x³, a série de f(x)=x³2ˣ é Σ (ln2)ⁿ xⁿ⁺³/n!. A e B usam 2ⁿ no lugar de (ln2)ⁿ. D esquece o fator x³. E mistura expoentes e fatorial (n+3)!, o que está errado. Referência: Séries de Taylor/Maclaurin – série da exponencial. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A curva é r = 1 + senθ e a área é ½∫(1+senθ)²dθ = 3π/2. Com x²+y²=r², a equação fica r² − r − r·senθ = 0, ou seja, r = 1 + senθ. A área é ½∫₀^{2π}(1+2senθ+sen²θ)dθ = ½(2π + 0 + π) = 3π/2. As demais opções (5π/2, 2π/3, π/2, π/3) vêm de erros na integral, como calcular errado ∫sen²θ ou omitir o fator ½. Referência: Cálculo integral – área em coordenadas polares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível u forma 60° com v; o produto com w vale 20·cos(126,87°) = −12. v tem direção α com cosα=0,8 e senα=0,6 (α≈36,87°). Com j positivo, u tem ângulo α+60°≈96,87°. O vetor w=(10√3,−10) tem módulo 20 e ângulo −30°. O ângulo entre u e w é α+90°, e cos(α+90°) = −senα = −0,6. Logo u·w = 20·(−0,6) = −12. A, B, C e E resultam de usar o ângulo errado (por exemplo, α−60°, que tem j negativo) ou de erros de conta com √3. Referência: Álgebra linear – produto escalar e ângulo entre vetores. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível L = ∫₀^{π/4} sec x dx = ln(√2+1). Com y=ln(sec x), y'=tg x e √(1+tg²x)=sec x. Então L=∫₀^{π/4} sec x dx = ln|sec x+tg x| de 0 a π/4 = ln(√2+1) − ln1 = ln(√2+1). A, C, D e E são logaritmos de outros valores. Nenhum deles corresponde a ln(sec π/4 + tg π/4) = ln(√2+1). Referência: Cálculo integral – comprimento de arco. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponívelMarinha do Brasil — Concurso Público para Ingresso no Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T/2013) — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
(i) f(x + y) = f(x) + f(y) + x³y + xy³, para todos os números reais x e y;
(ii) lim[x→0] f(x)/x = 1. O valor de f'(x) é:
Resolução comentada
Análise das alternativas
I - Se f é uma função contínua em um intervalo aberto contendo x = x₀, e f tem um máximo local em x = x₀, então f'(x₀) = 0 e f''(x₀) < 0
II - Se f é uma função derivável em um intervalo aberto contendo x = x₀, e f'(x₀) = 0, então f tem um máximo ou um mínimo local em x = x₀
III - Se f é uma função real de variável real com derivada estritamente positiva em todo o seu domínio, então f é crescente em todo o seu domínio
IV - Se lim[x→a] f(x) = 1 e lim[x→a] g(x) é infinito, então lim[x→a] (f(x))^g(x) = 1
V - Se f é uma função real de variável real, derivável ∀x ∈ ℜ, então lim[s→0] (f(x) − f(x − 2s))/(2s) = 2f'(x)
Assinale a opção correta.
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Qual é o volume, em m³, do sólido de revolução obtido ao girar a região R = {(x, y) ∈ ℜ² / √x ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ x ≤ 1} em torno da reta y = 0?
Considerando as funções reais de variável real f(x) = √(e²ˣ⁻¹ − 1), g(x) = cosh x e A e B subconjuntos dos números reais, tais que A é o domínio da função f e B o conjunto em que g é crescente, pode-se afirmar que A ∩ B é igual a:
O gráfico de y = (x² + 2x − 1)/x² é uma curva C no plano xy. Sabendo que C intercepta sua assíntota horizontal no ponto P = (a, b), então o valor de 2a + b é:
Considerando a função f(x) = ln(secx + tgx), com 0 < x < π/2, qual é o resultado de ∫[(f'(x))² − 2cos2x]dx ?
Qual é o divergente do campo vetorial F⃗(x, y, z) = (2x, y − x, z² + eˣ), x, y, z ∈ ℜ, no ponto (1,1,0)?
Seja z = f(x) uma função real de uma variável real com as seguintes propriedades:
Considerando S como a superfície de um sólido limitado pelas superfícies S₁ e S₂ em que S₁: z = a − √(x² + y²) com 0 ≤ z ≤ a, a ∈ ℜ, S₂: x² + y² + z² = a² com z ≤ 0, e sabendo que o fluxo do campo vetorial V⃗(x, y, z) = [sen(πyz) + xeᶻ + 6x , cosx² − y(eᶻ + 2z) , z²], através de S, vale 48π, pode-se afirmar que o valor da constante real a é:
Qual é o valor da constante a ∈ ℜ para que o vetor i⃗ − 2j⃗ + ak⃗, do ℜ³, seja uma combinação linear dos vetores v⃗ = 3i⃗ − 2k⃗ e w⃗ = 2i⃗ − j⃗ − 5k⃗ ?
Com relação às funções de uma variável real, analise as proposições abaixo.
O rotacional do campo vetorial V⃗(x, y, z) = (1, x² + y, z + y), x, y, z ∈ ℜ, é o vetor:
Qual é o valor de ∫[0, ln2] 1/(eˣ + 1) dx ?
Qual é o valor de ∫[0, 1] ∫[0, √(1 − y²)] (1 − √(x² + y²)) dxdy ?
Considere β um plano gerado pelos vetores u⃗ = i⃗ + j⃗ − k⃗ e v⃗ = 2i⃗ + 3j⃗ + 5k⃗ e (0,0,1) um ponto de β. Se β intercepta os eixos coordenados OX, OY e OZ respectivamente nos pontos P = (a,0,0), Q = (0,b,0) e R = (0,0,c) então o valor da soma a + b + c vale:
Considere w = f(x, y, z) uma função diferenciável num subconjunto aberto D do ℜ³ contendo o ponto P. Se a derivada de f em P é máxima na direção e sentido do vetor v⃗ = −i⃗ + j⃗ + k⃗ e nessa direção e sentido, o valor da derivada direcional é 2√3, então a derivada de f em P na direção do vetor u⃗ = j⃗ + k⃗ é:
O valor de ∬[ℜ] (seny)/y dA, onde ℜ é a região do plano xy limitada pelas retas y = x, x = 0 e y = π, é:
A série de Taylor gerada pela função real f(x) = x³2ˣ, em torno do ponto a = 0 é:
Qual é o valor da área, em m², da região R do plano xy limitada pela limaçon x² + y² − √(x² + y²) − y = 0?
Tendo em vista que u⃗ é um vetor unitário do ℜ² que faz um ângulo de π/3 radianos com o vetor v⃗ = 4i⃗ + 3j⃗ e que possui componente j⃗ positiva, calcule o valor do produto escalar de u⃗ com o vetor 10√3 i⃗ − 10j⃗, e assinale a opção correta.
Se C é a curva no plano xy de equação y = ln(secx), então qual é o comprimento de C para 0 ≤ x ≤ π/4, em metros?
Considere a curva C no plano xy cuja equação é y = 2 + ∫[0, x] (t² + e^(t³))/(4 + 3t⁴) dt, x, y ∈ ℜ. A equação da reta tangente a C no ponto de abscissa x = 0 é: