← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T) — Matemática 50 questões nesta prova · página 3 de 3 · 50 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Expandindo o produto escalar: 4 + 3 − 6·3 − 2·9... resultando em −17. u·v = 2·3·cos(π/3) = 3, ‖u‖² = 4 e ‖v‖² = 9. Então (u−2v)·(u+v) = u·u + u·v − 2v·u − 2v·v = 4 + 3 − 6 − 18 = −17. As demais opções (−19, −18, −16, −15) vêm de erros de sinal ou de conta na distributiva, como esquecer o termo −2v·u. Referência: Álgebra linear – produto escalar e propriedades. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Fora da esfera ρ=4cosφ, dentro de ρ=4 e z≥0: 4cosφ ≤ ρ ≤ 4, 0≤φ≤π/2, 0≤θ≤2π. Em coordenadas esféricas, x²+y²+z²=4z vira ρ=4cosφ, e x²+y²+z²=16 vira ρ=4. Estar fora da primeira esfera e dentro da segunda dá 4cosφ ≤ ρ ≤ 4. Como z≥0, temos 0≤φ≤π/2. A região tem simetria de rotação, então 0≤θ≤2π. A) Usa 2cosφ e ρ≤16, erros nos raios, e limita θ a π. B) Descreve uma casca esférica e ignora z≥0. C) Usa 2senφ e raio 2, o que está errado. E) Usa 2senφ, φ até π e θ até π/2, também errados. Referência: Integrais triplas em coordenadas esféricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A normal (2x,2y,1) paralela a (2,1,−1) dá P=(−1,−1/2,−1/4) e |P|=√21/4. A superfície é z=1−x²−y², com normal (2x,2y,1). Ela deve ser paralela a (2,1,−1), logo (2x,2y,1)=k(2,1,−1) e k=−1. Isso dá x=−1, y=−1/2 e z=1−1−1/4=−1/4. Então |P|²=1+1/4+1/16=21/16 e a distância é √21/4. As demais opções não correspondem a |P|²=21/16. Por exemplo, √19 e √23/3 resultam de erros no cálculo de x, y ou z. Referência: Cálculo de várias variáveis – plano tangente e vetor normal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Raízes 0 e 3 dão A=−3 e B=0. A solução particular dá C=−6 e D=−10. A parte homogênea c₁ + c₂e³ˣ tem raízes 0 e 3, então r²−3r=0, o que dá A=−3 e B=0. Para yp = 2x+cosx+3senx, temos y'p = 2−senx+3cosx e y''p = −cosx−3senx. Assim y''−3y' = −6 −10cosx, e portanto C=−6 e D=−10. A, C, D e E trazem A=3 ou erram sinais de C e D. Só a B tem A=−3, B=0, C=−6 e D=−10. Referência: Equações diferenciais lineares de 2ª ordem com coeficientes constantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Derivando implicitamente x²+4y²=1 em t, obtém-se dy/dt = −x·sen4t/(4y). Derivando em relação a t, temos 2x·x' + 8y·y' = 0. Logo y' = −x·x'/(4y). Com x' = sen4t, resulta y' = −x·sen4t/(4y). A, B, D e E omitem o fator x, o fator sen4t, ou erram o sinal. Só a C usa x, sen4t e o sinal negativo. Referência: Cálculo – taxas relacionadas e derivação implícita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponívelMarinha do Brasil — Concurso Público para Ingresso no Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha (CP-T/2013) — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Qual é o valor de ∫[0, +∞] (e^(−3t) − e^(−6t))/t dt ?
Se u⃗ e v⃗ são vetores tais que ‖u⃗‖ = 2, ‖v⃗‖ = 3 e π/3 é o ângulo entre u⃗ e v⃗, então (u⃗ − 2v⃗).(u⃗ + v⃗) vale:
Sabendo que o gráfico da equação y⁴ − 5y² = x⁴ − 9x² − 4, no plano xy, representa uma função y = f(x) numa vizinhança do ponto (x₀, y₀) = (3, 2), qual é o valor aproximado para y = f(x) = f(31/10) fornecido pela linearização (reta tangente) de f em x₀ = 3?
Considere W a região do ℜ³ interseção das três regiões seguintes: região exterior à esfera x² + y² + z² = 4z, região interior à esfera x² + y² + z² = 16 e região no semiespaço z ≥ 0. Qual é a definição de W no sistema de coordenadas esféricas, considerando θ = ângulo em coordenadas polares da projeção de (x, y, z) no plano xy?
Considere C[0,1] o espaço vetorial das funções contínuas no intervalo [0,1], p = p(x), q = q(x) funções de C[0,1] e ⟨p,q⟩ = ∫[0, 1] p(x)q(x) dx o produto interno, em C[0,1]. O valor ‖p‖ para p(x) = √(sen(πx)) é:
Considere que S é a superfície em ℜ³ de equação z + x² + y² − 1 = 0 e P é um ponto de S. Se o plano tangente à S em P é paralelo ao plano 2x + y − z − 10 = 0, então qual é a distância de P em relação à origem?
A função y(x) = c₁ + c₂e³ˣ + 2x + cosx + 3senx, x, c₁, c₂ ∈ ℜ, é solução geral da equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes y''(x) + Ay'(x) + By(x) = C + Dcosx. Qual o valor das constantes reais A, B, C e D, respectivamente?
Um ponto P(x, y) do plano xy, move-se ao longo da curva plana de equação x² + 4y² = 1, com y > 0. Se a abscissa x está variando a uma velocidade dx/dt = sen4t, pode-se afirmar que a ordenada y, está variando a uma velocidade dy/dt igual a:
Qual é a figura que melhor representa o gráfico da função x = |y| e^(1/y) ?
Qual é o valor de ∫[−1, 1] ∫[0, √(1 − x²)] ∫[−√(1 − x² − y²), √(1 − x² − y²)] e^((x² + y² + z²)^(3/2)) dz dy dx ?