← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Com 6% da população de mulheres vegetarianas e 2% de homens vegetarianos, P(mulher | vegetariano) = 6/8 = 75%. Mulheres vegetarianas: 0,6·0,10 = 0,06. Homens vegetarianos: 0,4·0,05 = 0,02. Pelo teorema de Bayes, P = 0,06/(0,06+0,02) = 0,75. A) 50% e B) 70% não resultam do cálculo. D) 80% e E) 85% também não. Só a razão 0,06/0,08 = 75% está correta. Referência: Probabilidade condicional; Teorema de Bayes Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Por De Moivre, o lado direito é −1/2 + i√3/2, o que dá a = −3/2, b = −5√3/2 e a/b = √3/5. (cos30° + i·sen30°)⁴ = cos120° + i·sen120° = −1/2 + (√3/2)i. Igualando, a/3 = −1/2, então a = −3/2, e −b/5 = √3/2, então b = −5√3/2. Logo a/b = (3/2)/(5√3/2) = 3/(5√3) = √3/5. B, C, D e E trocam sinais ou erram a racionalização ou os fatores 3 e 5. Só √3/5 resulta do cálculo. Referência: Primeira fórmula de De Moivre Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Como x = 180° − 45° − 120° = 15°, tg²15° = 7 − 4√3. A soma dos ângulos internos dá x = 15°. Então tg15° = tg(45° − 30°) = (1 − √3/3)/(1 + √3/3) = 2 − √3. Elevando ao quadrado, (2 − √3)² = 7 − 4√3. A) √3 − 2 é negativo, e tg² não pode ser negativa. B) 4√3 − 7 é negativo, o oposto do valor correto. D) 2 − √3 é a própria tg15°, sem elevar ao quadrado. E) 2 − 4√3 é negativo e não resulta do cálculo. Referência: Tangente da diferença de arcos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A 1ª instituição gera 15.120 senhas e a 2ª gera 16.800, então a 1ª é 10% mais fraca. 1ª: 9·8·7·6·5 = 15.120. 2ª: duas vogais distintas (5·4 = 20) e quatro algarismos distintos de {3,...,9} (7·6·5·4 = 840), com total de 16.800. Como 15.120/16.800 = 0,9, a 1ª tem 10% menos senhas, ou seja, é 10% mais fraca. B) e E) invertem o sentido da comparação. C) Errada, pois as quantidades são diferentes. D) 20% não corresponde à razão 0,9. Referência: Princípio fundamental da contagem; arranjos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível V = (4/3)πr³ = 500 dá r = ∛(375/π), e t = 2r = 10∛(3/π). De (4/3)πr³ = 500 sai r³ = 375/π = 125·3/π, então r = 5∛(3/π). Com r crescendo a 0,5 mm/s a partir de zero, t = r/0,5 = 2r = 10∛(3/π). A) 10 ignora o fator ∛(3/π). B, C e D trazem outros radicandos (5/π, 2/π, π), que não vêm de r³ = 375/π. Referência: Volume da esfera Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Na elipse x²/(4a²) + y²/a² = 1, o quadrado inscrito tem lado 2t com t² = 4a²/5, e a área é 16a²/5. Os vértices do quadrado inscrito ficam em (±t, ±t), com t²/(4a²) + t²/a² = 1. Então t²·5/(4a²) = 1 e t² = 4a²/5. O lado é 2t e a área é 4t² = 16a²/5. B) 4a²/5 é só t², e não a área (4t²). C, D e E vêm de erros de cálculo na simplificação ou na área, sem relação com o resultado correto 16a²/5. Referência: Equação reduzida da elipse Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Se r e s forem ambas paralelas a t, o plano que definem é paralelo a t. Basta tomar r ⊂ α paralela a t e s ⊂ β paralela a t. Então r ∥ s, elas definem um plano e esse plano é paralelo a t. Portanto é possível que r e s definam um plano paralelo a t. A) Errada: r e s também definem plano quando são paralelas, sem precisar cortar t. C) Errada: podem ser paralelas ou reversas. D) Errada: r ∥ s não implica que o plano delas seja perpendicular a α e β. E) Errada: o plano de r e t é o próprio α, e s não precisa ser paralela a ele, pois pode cortá-lo. Referência: Geometria espacial de posição Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação se reduz a x − 3 = x − 1, impossível, então S = ∅. O domínio exige x > 3. Como log₁/₃(x−1) = −log₃(x−1), a equação vira log₃[(x−3)(x+1)/(x−1)] = log₃(x+1). Daí (x−3)(x+1)/(x−1) = x+1 e, com x+1 ≠ 0, resulta x − 3 = x − 1, que é impossível. O conjunto solução é vazio. A) x = −1 está fora do domínio. B) e E) x = 4 e x = 5 estão no domínio, mas não verificam a equação. C) x = 6 também não a verifica. Só D está correta. Referência: Equações logarítmicas; condição de existência Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Com sen² = 1 − cos², a inequação vira 2cos²x + cosx − 1 ≤ 0, isto é, −1 ≤ cosx ≤ 1/2, e x ∈ [π/3, 5π/3]. Substituindo, 2(1−cos²x) − cosx − 1 ≥ 0, que dá −2cos²x − cosx + 1 ≥ 0, ou 2cos²x + cosx − 1 ≤ 0. As raízes são cosx = 1/2 e cosx = −1, então −1 ≤ cosx ≤ 1/2. No intervalo ]0,2π], isso ocorre para π/3 ≤ x ≤ 5π/3. A) [2π/3,4π/3] corresponde a cosx ≤ −1/2. B) não é simétrico, portanto está errado. D) e E) fragmentam o conjunto sem base: nos pontos entre 2π/3 e 4π/3 também vale cosx ≤ 1/2. Referência: Inequações trigonométricas; círculo trigonométrico Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O centro é (c,0) com (4−c)² + 16 = 17, logo c = 3 ou 5. Como r = √17 ≈ 4,12 e a circunferência não toca o eixo y, c = 5. A área 17π dá r² = 17. Passando por (4,4), (4−c)² + 16 = 17, então c = 3 ou c = 5. Para não interceptar o eixo y, a distância do centro ao eixo deve ser maior que o raio: |c| > √17 ≈ 4,12. Só c = 5 serve. A) 3 é raiz da equação, mas a circunferência cortaria o eixo y, pois 3 < √17. B, D e E não satisfazem a condição de passar por (4,4) com r² = 17.
Referência: Equação da circunferência; posição relativa reta-circunferência Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Como |x−4| + 1 > 0, a inequação vira |x−4| ≤ 1, ou seja, x ∈ [3,5], e a + b = 8. Como |x−4| + 1 é sempre positivo, o módulo externo some e fica |x−4| + 1 ≤ 2, isto é, |x−4| ≤ 1. Daí 3 ≤ x ≤ 5. Logo a = 3, b = 5 e a + b = 8. A, B, C e D são somas que viriam de intervalos errados, por exemplo de ignorar que |x−4| + 1 é positivo ou de resolver o módulo de forma incorreta. O intervalo correto é [3,5]. Referência: Inequações modulares Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A matriz tem det A = 4, então det(A⁻¹) = 1/4. Pela regra dada, A = [[1,−1,1],[1,1,−1],[2,1,1]]. Por Sarrus ou cofatores, det A = 1·(1+1) + 1·(1+2) + 1·(1−2) = 2 + 3 − 1 = 4. Como det(A⁻¹) = 1/det A, o resultado é 1/4. A) 4 é det A, não de A⁻¹. B) 1 e E) 1/2 não resultam do cálculo. C) 0 significaria matriz não inversível, mas det A = 4 ≠ 0. Referência: Determinantes; det(A⁻¹) = 1/det A Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Com y = 2ˣ a equação vira y³ − 7y + 6 = 0, de raízes 1, 2 e −3. Só y = 1 e y = 2 servem, dando x = 0 e x = 1. Fatorando, y³ − 7y + 6 = (y−1)(y−2)(y+3), então y = 1, 2 ou −3. Como 2ˣ > 0, descarta-se y = −3. Restam 2ˣ = 1 (x = 0) e 2ˣ = 2 (x = 1). B, C e D incluem x = −3, que viria de 2ˣ = −3, impossível. C e E incluem x = 2, mas 2² = 4 não é raiz (4³ ≠ 7·4 − 6). Só A está correta. Referência: Equações exponenciais; raízes de polinômio de grau 3 Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível O polinômio é (x+1)⁴ + 2016, e para x = 89 vale 90⁴ + 2016 = 65.612.016. Como (x+1)⁴ = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 1, temos p(x) = (x+1)⁴ + 2016. Para x = 89, 90⁴ = 65.610.000. Somando 2016 obtém-se 65.612.016. A, B, C e E não coincidem com 90⁴ + 2016 = 65.612.016. São valores distratores sem relação com o cálculo. Referência: Binômio de Newton / Produtos notáveis Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Com M = arctg(15) e N = arctg(1/15), tg(M−N) = 112/15, logo 30P = 224. Pela fórmula da tangente da diferença, tg(M−N) = (tgM − tgN)/(1 + tgM·tgN). Com tgM = 15 e tgN = 1/15, o numerador é 15 − 1/15 = 224/15 e o denominador é 1 + 1 = 2. Então P = 112/15 e 30P = 224. A) 224/30 é o valor de P/ (outro fator), e não de 30P. B) 45/6 não resulta do cálculo. C) 45 não resulta do cálculo. E) 225 vem de usar 15² sem a subtração correta. Só 224 satisfaz o cálculo. Referência: Tangente da diferença de arcos Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx 2017 — Concurso de Admissão — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês — Modelo D
Sendo h(x) = f(x)/g(x), assinale a alternativa que apresenta os intervalos onde h assume valores negativos.
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
1ª instituição: 5 caracteres distintos formados por elementos do conjunto {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
2ª instituição: 6 caracteres distintos formados por duas letras, dentre as vogais, na primeira e segunda posições da senha, seguidas por 4 algarismos dentre os elementos do conjunto {3,4,5,6,7,8,9}.
Para comparar a eficiência entre os métodos de construção das senhas, medindo sua maior ou menor vulnerabilidade, foi definida a grandeza “força da senha”, de forma que, quanto mais senhas puderem ser criadas pelo método, mais “forte” será a senha.
Com base nessas informações, pode-se dizer que, em relação à 2ª instituição, a senha da 1ª instituição éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O polígono regular cujos vértices são os afixos de ∜E é
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sobre essas retas e os planos é correto afirmar queResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
aᵢⱼ = { i-j, se i>j
{ (-1)ⁱ⁺ʲ, se i≤j .
Então det (A⁻¹) é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
A área do retângulo ABCD é
Sabendo-se que os seis círculos são tangentes entre si e com os lados do pararelogramo, a área X, em cm², éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Na figura estão representados os gráficos das funções reais f (quadrática) e g (modular) definidas em ℝ. Todas as raízes das funções f e g também estão representadas na figura.
Em uma população de homens e mulheres, 60% são mulheres, sendo 10% delas vegetarianas. Sabe-se, ainda, que 5% dos homens dessa população também são vegetarianos. Dessa forma, selecionando-se uma pessoa dessa população ao acaso e verificando-se que ela é vegetariana, qual é a probabilidade de que seja mulher?
Seja a igualdade a/3 - (b/5)i = (cos(π/6) + i sen(π/6))⁴, onde i é a unidade imaginária. Se a e b são números reais, então o quociente a/b é igual a
Considere o triângulo com ângulos internos x, 45° e 120°. O valor de tg²(x) é igual a
Duas instituições financeiras fornecem senhas para seus clientes, construídas segundo os seguintes métodos:
A angioplastia é um procedimento médico caracterizado pela inserção de um cateter em uma veia ou artéria com o enchimento de um pequeno balão esférico localizado na ponta desse cateter. Considerando que, num procedimento de angioplastia, o raio inicial do balão seja desprezível e aumente a uma taxa constante de 0,5 mm/s até que o volume seja igual a 500 mm³, então o tempo, em segundos, que o balão leva para atingir esse volume é
Na figura abaixo, está representado o plano de Argand-Gauss com os afixos de 12 números complexos, identificados de A a L. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que A=(1,0).
O valor da altura de um cilindro reto de raio R, cujo volume é a soma dos volumes dos sólidos 1 e 2 é
Uma elipse tem centro na origem e vértices em (2a , 0) e (0 , a), com a>0. A área do quadrado inscrito nessa elipse é
Considere dois planos α e β perpendiculares e três retas distintas r, s e t tais que r ⊂ α, s ⊂ β e t = α ∩ β.
Resolvendo a equação log₃ (x²-2x-3) + log₁⁄₃ (x-1) = log₃ (x+1), obtém-se
O conjunto solução da inequação 2sen²x - cosx - 1 ≥ 0, no intervalo ]0,2π] é
Uma circunferência tem centro no eixo das abscissas, passa pelo ponto (4,4) e não intercepta o eixo das ordenadas. Se a área do círculo definido por essa circunferência é 17π, a abscissa de seu centro é
O conjunto solução da inequação ||x-4|+1| ≤ 2 é um intervalo do tipo [a,b]. O valor de a+b é igual a
Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por
As raízes inteiras da equação 2³ˣ - 7.2ˣ + 6=0 são
A curva do gráfico abaixo representa a função y=log₄ x
Seis círculos de raio 1 cm são inseridos no pararelogramo MNPQ, de área X cm², de acordo com a figura abaixo.
Determine o valor numérico do polinômio p(x) = x⁴ + 4x³ + 6x² + 4x + 2017 para x=89.
Sendo M = arc tg (X), N = arc tg(1/x) e P = tg (M-N), o valor de 30P para X=15 é