Provas – VaiConcursos

Matemática Geometria Analítica — Equação da Circunferência

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

A equação da circunferência de centro (1,2) e raio 3 é:

Selecione uma alternativa A) x² + y² – 2x – 4y + 14 = 0. B) x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. C) x² + y² – 4x – 2y – 4 = 0. D) x² + y² – 4x – 2y – 14 = 0. E) x² + y² – 2x – 4y – 14 = 0.

Resolução comentada

Equação geral da circunferência de centro (1,2) e raio 3.

Partindo de (x–1)² + (y–2)² = 9, desenvolve-se: x² – 2x + 1 + y² – 4y + 4 = 9. Daí x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0.

Análise das alternativas

A erra o termo independente (+14). C e D trocam os coeficientes de x e y, o que corresponde a centro (2,1). E tem termo independente –14, mas o correto é 1 + 4 – 9 = –4.

Referência: Equação da circunferência: (x–a)² + (y–b)² = r².

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Geometria Espacial — Volume da Esfera

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Texto do enunciado: Duas esferas de raios 3 cm e (raiz de índice 2 impresso sobre 51) 51 cm fundem-se para formar uma esfera maior. Qual é o raio da nova esfera? No original, o sinal de radical aparece deslocado sobre a palavra esferas.

Matemática Polinômios — Grau

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

O grau do polinômio (4x – 1) · (x² – x – 3) · (x + 1) é:

Resolução comentada

Grau do produto (4x–1)(x²–x–3)(x+1).

O grau do produto é a soma dos graus dos fatores: 1 + 2 + 1 = 4.

Análise das alternativas

6 e 5 superestimam a soma. 3 e 2 a subestimam, pois ignoram algum dos fatores.

Referência: Grau do produto de polinômios.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Trigonometria — Arco Duplo

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Sabendo que x pertence ao 4º quadrante e que cos x = 0,8, pode- se afirmar que o valor de sen 2x é igual a:

Resolução comentada

Calcular sen 2x com cos x = 0,8 e x no 4º quadrante.

sen²x = 1 – 0,64 = 0,36, então sen x = ±0,6. No 4º quadrante o seno é negativo, logo sen x = –0,6. Assim sen 2x = 2·sen x·cos x = 2·(–0,6)·0,8 = –0,96.

Análise das alternativas

Os valores positivos (A, D) ignoram o sinal negativo do seno no 4º quadrante. C (–0,28) corresponde a cos 2x com sinal trocado, já que cos 2x = 0,28. E (1) é impossível aqui.

Referência: Arco duplo: sen 2x = 2 sen x cos x.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Análise Combinatória — Fatorial

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Sendo n um número natural, n! equivale a n · (n – 1) · (n – 2) · ... · 2 · 1 e ainda 0! = 1 e 1! = 1, então identifique a afirmativa verdadeira.

Resolução comentada

Identificar o fatorial correto.

5! = 5·4·3·2·1 = 120, o que torna a alternativa A verdadeira.

Análise das alternativas

4! = 24 (não 10), 3! = 6 (não 7), 2! = 2 (não 3) e 6! = 720 (não 600). Portanto B, C, D e E são falsas.

Referência: Definição de fatorial.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Funções — Função Inversa

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Funções bijetoras possuem função inversa porque elas são invertíveis, mas devemos tomar cuidado com o domínio da nova função obtida.
Identifique a alternativa que apresenta a função inversa de f(x) = x + 3.

Selecione uma alternativa A) f(x)⁻¹ = x – 3. B) f(x)⁻¹ = x + 3. C) f(x)⁻¹ = –x – 3. D) f(x)⁻¹ = –x + 3. E) f(x)⁻¹ = 3x.

Resolução comentada

Função inversa de f(x) = x + 3.

Faz-se y = x + 3, isola-se x = y – 3 e troca-se as variáveis. Assim f⁻¹(x) = x – 3.

Análise das alternativas

B repete a própria f. C e D mudam o sinal de x, o que não desfaz a soma de 3. E é uma multiplicação por 3, que não desfaz a operação.

Referência: Função inversa de funções bijetoras.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Logaritmos — Propriedades Operatórias

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Utilizando os valores aproximados log2 = 0,30 e log3 = 0,48, encontramos para log Raiz cúbica de 12.

o valor de:

Matemática Equações Polinomiais — Raízes

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

O conjunto solução da equação x³ – 2x² – 5x + 6 = 0 é:

Selecione uma alternativa A) S = {–3; –1; 2}. B) S = {–0,5; –3; 4}. C) S = {–3; 1; 2}. D) S = {–2; 1; 3}. E) S = {0,5; 3; 4}.

Resolução comentada

Resolver x³ – 2x² – 5x + 6 = 0.

Testando divisores de 6, x = 1 é raiz, pois 1 – 2 – 5 + 6 = 0. Dividindo por (x – 1), sobra x² – x – 6 = 0, cujas raízes são 3 e –2. Logo S = {–2; 1; 3}.

Análise das alternativas

As demais trazem valores que não são raízes. Por exemplo, –3 não anula o polinômio (–27 – 18 + 15 + 6 ≠ 0), e 4 também não (64 – 32 – 20 + 6 ≠ 0). Além disso, a soma das raízes deve ser 2 (relações de Girard), e só o conjunto da D tem essa soma.

Referência: Teorema das raízes racionais e relações de Girard.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Razão e Proporção — Divisão Proporcional

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Uma herança de R$193.800,00 será repartida integralmente entre três herdeiros em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades: 30 anos, 35 anos e 37 anos. O herdeiro mais velho receberá:

Selecione uma alternativa A) R$70.500,00. B) R$70.300,00. C) R$57.000,00. D) R$66.500,00. E) R$90.300,00.

Resolução comentada

Divisão proporcional de R$193.800,00 em partes proporcionais a 30, 35 e 37.

A soma das idades é 30+35+37 = 102. Cada unidade vale 193.800/102 = 1.900. O mais velho (37 anos) recebe 37·1.900 = R$70.300,00.

Análise das alternativas

A, C, D e E não correspondem a 37 partes de R$1.900. Por exemplo, R$57.000,00 seria 30 partes, valor do mais novo. R$66.500,00 seria 35 partes, valor do herdeiro intermediário.

Referência: Divisão em partes diretamente proporcionais.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Progressão Aritmética

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Em uma Progressão Aritmética com 6 termos, temos que a soma de seus termos é igual a 102 e seu último termo é 27. Com base nessas informações, a razão dessa progressão é:

Resolução comentada

Achar a razão de uma PA de 6 termos com soma 102 e último termo 27.

S = (a1 + a6)·6/2 = 102, logo a1 + 27 = 34 e a1 = 7. Depois, a6 = a1 + 5r dá 27 = 7 + 5r, então r = 4.

Análise das alternativas

Com a1 = 7, só r = 4 leva a 27 no sexto termo. Com r = 3, 5, 11 ou 7, o sexto termo seria 22, 32, 62 ou 42, respectivamente, e nenhum desses é 27.

Referência: Progressão Aritmética: termo geral e soma dos termos.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Progressão Aritmética — Soma dos Termos

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Em uma progressão aritmética cujo primeiro termo é 1,87 e a razão é 0,004, temos que a soma dos seus dez primeiros é igual a:

Resolução comentada

Soma dos 10 primeiros termos de uma PA com a1 = 1,87 e r = 0,004.

Pela fórmula S = n·a1 + r·n(n–1)/2, temos S = 10·1,87 + 0,004·45 = 18,7 + 0,18 = 18,88. Esse valor corresponde à alternativa A.

Análise das alternativas

B e C (9,5644 e 9,5674) ficam muito abaixo do resultado, pois só 10 termos próximos de 1,87 já somam cerca de 18,7. D (18,9) e E (18,99) passam do valor exato de 18,88.

Referência: Progressão Aritmética: soma dos n primeiros termos, Sn = (a1 + an)·n/2.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Funções — Função Composta

Escola de Sargentos das Armas (EsSA)

Escola de Sargentos das Armas (EsSA) · Curso de Formação de Sargentos

Gabarito disponível

Sejam as funções reais dadas por f(x) = 5x + 1 e g(x) = 3x – 2. Se m = f(n), então g(m) vale:

Resolução comentada

Composição de funções: g(f(n)) com f(x)=5x+1 e g(x)=3x−2.

Como m = f(n) = 5n + 1, temos g(m) = 3(5n + 1) − 2 = 15n + 3 − 2 = 15n + 1.

Análise das alternativas

B) 14n − 1, C) 3n − 2, D) 15n − 15 e E) 14n − 2 resultam de erros de substituição ou de cálculo; só 15n + 1 vem da composição correta.

Referência: Função composta

Resolução comentada do VaiConcursos.