← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Curso de Formação e Graduação — Prova Objetiva de Matemática, Física e Química (1ª fase) 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível I e III são verdadeiras; II e IV são falsas. I) Se 1/x fosse racional, x também seria racional; logo o inverso de um irracional é irracional (verdadeira). III) f(X∪Y) = f(X)∪f(Y) vale sempre (verdadeira). II) é falsa: vale apenas f(X∩Y) ⊂ f(X)∩f(Y), com igualdade se f for injetora. IV) é falsa: A∩B = A equivale a A ⊂ B, não a B ⊂ A. Estão corretas I e III, alternativa B. Referência: Teoria dos conjuntos; imagem de funções Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Igualar 1041 na base x a 1431 na base x−1 e converter N para binário. 1041ₓ = x³ + 4x + 1 e 1431₍ₓ₋₁₎ = x³ + x² − 2x + 1. Igualando: x² = 6x, logo x = 6. Então N = 216 + 24 + 1 = 241 = 11110001 em binário. As demais alternativas valem 143, 219, 231 e 222, respectivamente (A, B, C, D), diferentes de 241. A correta é E. Referência: Sistemas de numeração: mudança de base Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Resolver 9a = a² + b² para números de dois algarismos. Para X = 10a + b, a condição é 10a + b = a + b + a² + b², isto é, 9a = a² + b². Testando a de 1 a 9, só a = 9, b = 0 funciona (81 = 81), e números de um algarismo não servem. Logo o menor X é 90, em (75, 100]. Nenhum número de 1 a 75 satisfaz a condição, e não há solução menor que 90; assim A, B, C e E (que está acima de 100) não contêm o menor X. A correta é D. Referência: Teoria dos números: algarismos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível g(x+1) ≤ g(x) e g(x+4) ≥ g(x) forçam g constante com período 1. De f(x+1) ≤ f(x)+1 vem g(x+1) ≤ g(x); de f(x+4) ≥ f(x)+4 vem g(x+4) ≥ g(x). Então g(x) ≤ g(x+4) ≤ g(x+3) ≤ ... ≤ g(x), então g(x+1) = g(x). Logo g(2017) = g(1) = 5 + 2 − 1 = 6. A, C, D e E não correspondem ao valor g(1) = 6, que se mantém para todos os inteiros. A correta é B. Referência: Funções: desigualdades funcionais e periodicidade Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contar pares de anos de 1901 a 2000 com soma 3875. Os anos do século XX vão de 1901 a 2000 (100 anos). Para dois anos distintos a<b com a+b=3875: a ≥ 1901 (pois b ≤ 2000) e a < 1937,5, ou seja, a de 1901 a 1937, o que dá 37 pares. Total de pares: C(100,2) = 4950. Probabilidade = 37/4950.
A, B, D e E resultam de contagens erradas dos pares favoráveis ou do total (por exemplo usar o intervalo 1900–1999). A correta é C. Referência: Probabilidade e análise combinatória Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível 2017 é primo: X²−Y² = (X−Y)(X+Y) com fatores 1 e 2017. Como 2017 é primo, X−Y = 1 e X+Y = 2017, logo X = 1009 e Y = 1008. Então X²+Y² = 1.018.081 + 1.016.064 = 2.034.145. A, B, D e E são valores que não correspondem à soma 1009²+1008². Só 2.034.145, alternativa C, está correto. Referência: Fatoração da diferença de quadrados; números primos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Coeficientes reais implicam H(−iw) = conj(H(iw)); a parte real é par. Como os coeficientes são reais, H(conj s) = conj H(s). Logo H(−iw) = conj(H(iw)) e a parte real de H(iw) é igual à de H(−iw): f(−w) = f(w). Portanto f é par. A) Ímpar valeria só se f fosse nula ou simétrica em sinal, o que não ocorre em geral. C) e D) não há garantia de sinal. E) f é função racional em w, não periódica. B é a correta. Referência: Funções de variável complexa; simetria conjugada Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Polinômio interpolador de menor grau pelos quatro pontos; calcular P(3). Pelos quatro pontos, o polinômio de menor grau tem grau no máximo 3 e é obtido por interpolação (Lagrange/Newton). O resto da divisão por (x−3) é P(3), e o cálculo da interpolação leva a 8√3 − 5√2 − 6. As alternativas B, C, D e E apresentam valores de P(3) diferentes do obtido pela interpolação. A alternativa A é o gabarito oficial. Referência: Teorema do resto; interpolação polinomial Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Resolver o sistema em função de s e estudar o sinal das soluções. Da 3ª equação, x₁ = 2x₂/s; da 1ª, x₃ = x₂(2+s)/s². Substituindo na 2ª: x₂·(s−1)(s−2)/s² = 1, logo x₂ = s²/((s−1)(s−2)). Para 1 < s < 2, o produto (s−1)(s−2) é negativo, então x₂ < 0, e também x₁ = 2x₂/s < 0 e x₃ < 0.
Para s 2 (A, E), x₂ > 0. Para −2<s<0 e 0<s 0 ou x₁ muda de sinal; em 0<s<1 o produto (s−1)(s−2) é positivo, tornando x₂ positivo. Só 1<s<2, alternativa D, deixa todas negativas.
Referência: Sistemas lineares: resolução por substituição Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Simplificar tg(arcsen 3/5) = 3/4 e localizar a raiz por monotonicidade. Como tg(arcsen 3/5) = 3/4, a equação vira arctg(3x/4) = 2π/(x+2). O lado esquerdo cresce e o direito decresce para x > 0, então há uma raiz única. Em x=3: 1,152 1,047. Logo a raiz está em (3,4]. Em x ≤ 3 o lado esquerdo ainda é menor que o direito, e em x > 4 já é maior; portanto a raiz não está em (0,1], (1,2], (2,3] nem (4,5]. A alternativa correta é D. Referência: Funções trigonométricas inversas; teorema do valor intermediário Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Achar as interseções elipse-hipérbole e a parábola y² = kx que passa por elas. Elipse: a=5, b=10/3, c²=125/9. Hipérbole: a_h²=125/9, c_h²=25, b_h²=100/9. Resolvendo o sistema: x² = 125/7 e y² = 200/63. Parábola tangente a OY na origem: y² = kx, k = y²/x = ±8√35/63. A, B, C e D têm coeficientes que não coincidem com o valor de y²/x nos pontos de interseção. Somente y² = ±8(√35/63)x, alternativa E, passa por eles. Referência: Cônicas: elipse, hipérbole e parábola Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível No heptágono regular vale 1/l = 1/d + 1/D (relação de Ptolomeu). Pelo teorema de Ptolomeu num quadrilátero inscrito formado por vértices do heptágono, obtém-se a relação 1/l = 1/d + 1/D, em que d é a menor e D a maior diagonal. Então 1/D = (d−l)/(l·d), logo D = l·d/(d−l). B, C, D e E não satisfazem a relação 1/l = 1/d + 1/D. Apenas l·d/(d−l), alternativa A, a satisfaz. Referência: Teorema de Ptolomeu; polígonos regulares inscritos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Arestas a, 2a, 4a; área total fornece a, depois a diagonal. Área = 2(a·2a + a·4a + 2a·4a) = 2(2a²+4a²+8a²) = 28a². Como a área é 28, a = 1. As arestas são 1, 2 e 4 e a diagonal vale √(1+4+16) = √21 cm. A, B, D e E correspondem a somas de quadrados diferentes de 21 (17, 19, 28, 29), vindas de erros na PG ou na área. Só 21 resulta das arestas 1, 2, 4, alternativa C. Referência: Geometria espacial: área total e diagonal do paralelepípedo Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponívelIME — Concurso de Admissão ao Curso de Formação e Graduação — Vestibular 2017-2018 — 1ª fase — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
I. O inverso de um irracional é sempre irracional.
II. Seja a função f: A→ B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∩ Y)= f(X) ∩ f(Y).
III. Seja a função f: A→ B e X e Y dois subconjuntos quaisquer de A, então f(X ∪ Y)= f(X) ∪ f(Y).
IV. Dados dois conjuntos A e B não vazios, então A ∩ B = A se, e somente se, B ⊂ A.
São corretas:
Obs: f(Z) é a imagem de f no domínio Z.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
é:
H(s) = (a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀)/(b₂s² + b₁s + a₀)
com aⱼ e bₖ reais, para j = 0,1,2,3 e k = 0,1,2. Seja a função f: ℝ → ℝ em que f(w) é a parte real de H(iw) em que i = √−1 é a unidade imaginária e w ∈ ℝ. A afirmação correta a respeito de f(w) é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
x₁ + x₂ − sx₃ = 0
−2x₁ + x₂ + x₃ = 1
sx₁ − 2x₂ = 0
Escolha uma faixa de valores de s em que as soluções do sistema são todas negativas.Resolução comentada
Análise das alternativas
onde Z é um número complexo que satisfaz a equação:
2⁴⁰³³Z²-2²⁰¹⁷Z+1=0.
Obs: Im(Z) é a parte imaginária do número complexo Z.
arctg(x.tg(arcsen(3/5))) = 2π/(x+2)
encontra-se no intervalo:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
As fibras ópticas funcionam pelo Princípio da Reflexão Total, que ocorre quando os raios de luz que seguem determinados percursos dentro da fibra são totalmente refletidos na interface núcleo-casca, permanecendo no interior do núcleo. Considerando apenas a incidência de raios meridionais e que os raios refratados para a casca são perdidos, e ainda, sabendo que os índices de refração do ar, do núcleo e da casca são dados, respectivamente, por n₀, n₁, e n₂ (n₁ > n₂ > n₀), o ângulo máximo de incidência θa, na interface ar-núcleo, para o qual ocorre a reflexão total no interior da fibra é:
Considerações:
• raios meridionais são aqueles que passam pelo centro do núcleo; e
• todas as opções abaixo correspondem a números reais.
Conforme a figura acima, um corpo, cuja velocidade é nula no ponto A da superfície circular de raio R, é atingido por um projétil, que se move verticalmente para cima, e fica alojado no corpo. Ambos passam a deslizar sem atrito na superfície circular, perdendo o contato com a superfície no ponto B. A seguir, passam a descrever uma trajetória no ar até atingirem o ponto C, indicado na figura. Diante do exposto, a velocidade do projétil é:
Dados:
• massa do projétil: m;
• massa do corpo: 9m; e
• aceleração da gravidade: g.
Como mostra a Figura 1, uma partícula de carga positiva se move em um trilho sem atrito e sofre a interação de forças elétricas provocadas por outras partículas carregadas fixadas nos pontos A, B, C e D. Sabendo que as cargas das partículas situadas em B e D são iguais e que uma parte do gráfico da velocidade da partícula sobre o trilho, em função do tempo, está esboçada na Figura 2, o gráfico completo que expressa a velocidade da partícula está esboçado na alternativa:
Observações:
• r << d;
• em t = 0, a partícula que se move no trilho está à esquerda da partícula situada no ponto A;
• considera-se positiva a velocidade da partícula quando ela se move no trilho da esquerda para a direita.
Como mostra a figura, dois corpos de massa m e volume V estão em equilíbrio estático. Admita que μ é a massa específica do líquido, que não existe atrito entre o corpo e o plano inclinado e que as extremidades dos fios estão ligadas a polias, sendo que duas delas são solidárias, com raios menor e maior r e R, respectivamente. A razão R/r para que o sistema esteja em equilíbrio é:
Como mostra a figura acima, um microfone M está pendurado no teto, preso a uma mola ideal, verticalmente acima de um alto-falante A, que produz uma onda sonora cuja frequência é constante. O sistema está inicialmente em equilíbrio. Se o microfone for deslocado para baixo de uma distância d e depois liberado, a frequência captada pelo microfone ao passar pela segunda vez pelo ponto de equilíbrio será:
Dados:
• frequência da onda sonora produzida pelo alto-falante: f;
• constante elástica da mola: k;
• massa do microfone: m; e
• velocidade do som: vₛ.
Considere as alternativas:
Seja x um número natural maior que 2. Se a representação de um numeral N na base x é 1041 e na base x-1 é 1431, então a sua representação na base binária é:
A soma dos algarismos de X com a soma dos quadrados dos algarismos de X é igual a X. Sabe-se que X é um número natural positivo. O menor X possível está no intervalo:
Seja f(x) uma função definida nos conjunto dos números reais, de forma que f(1) = 5 e para qualquer x pertencente aos números reais f(x+4) ≥ f(x) + 4 e f(x+1) ≤ f(x) + 1. Se g(x) = f(x) + 2 – x, o valor de g(2017) é:
João e Maria nasceram no século XX, em anos distintos. A probabilidade da soma dos anos em que nasceram ser 3875 é:
Se X e Y são números naturais tais que X² - Y² = 2017, o valor de X² + Y² é:
Sejam x₁, x₂, x₃ e x₄ os quatro primeiros termos de uma P.A. com x₁ = x e razão r, com x, r ∈ ℜ. O determinante de
Seja a função H: ℂ → ℂ definida por
Seja P(x) o polinômio de menor grau que passa pelos pontos A(2, −4+3√3), B(1, 3√2−2), C(√2, √3) e D(√3, √2). O resto da divisão de P(x) por (x-3) é:
Seja o seguinte sistema de equações, em que s é um número real:
Determine o valor de a na expressão abaixo, sabendo-se que 0 < a < 1,
A menor raiz real positiva da equação
Seja uma elipse com focos no eixo OX e centrada na origem. Seus eixos medem 10 e 20/3. Considere uma hipérbole tal que os focos da elipse são os vértices da hipérbole e os focos da hipérbole são os vértices da elipse. As parábolas que passam pelas interseções entre a elipse e a hipérbole e que são tangentes ao eixo OY, na origem, têm as seguintes equações:
Seja um heptágono regular de lado l cuja menor diagonal vale d. O valor da maior diagonal satisfaz a qual das expressões?
Um prisma retangular reto possui três arestas que formam uma progressão geométrica de razão 2. Sua área total é de 28 cm². Calcule o valor da diagonal do referido prisma.