← Voltar para a lista de provas Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular — Matemática 30 questões nesta prova · página 1 de 2 · 20 com gabarito Gabarito disponível Funções entre X e Y, com X subconjunto próprio de Y finito. Como |X| < |Y|, não existe bijeção entre eles, o que torna I falsa. Também não existe injetora de Y em X, o que torna II falsa. Em III, o número de injetoras X→Y em geral difere do de sobrejetoras Y→X. Por exemplo, com |X| = 1 e |Y| = 2 há 2 injetoras e apenas 1 sobrejetora. Nenhuma afirmação é verdadeira.
B, C, D e E incluem ao menos uma afirmação falsa, pois I, II e III são falsas. Referência: Funções injetoras, sobrejetoras e bijetoras (conjuntos finitos). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Equação com secante e cossecante. O produto só se anula se sec θ = −1 (θ = ±π) ou cossec θ = −1 (θ = −π/2). Em θ = ±π, sen θ = 0 e a cossecante não existe. Em θ = −π/2, cos θ = 0 e a secante não existe. Nenhum candidato está no domínio, então há 0 soluções. B, C, D e E contam como soluções os valores θ = ±π ou θ = −π/2. Esses pontos zeram um fator, mas o outro fator fica indefinido. Referência: Equações trigonométricas e domínio. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível PG e PA combinadas para achar d − b. Com PG a, aq, aq², aq³, a PA a, aq/2, aq²/4, aq³ − 140 exige igualar as razões dos dois primeiros pares. Isso leva a a(q−2)² = 0, e a = 0 é impossível. Logo q = 2 e a PA é constante: a = 8a − 140, então a = 20. Assim b = 40, d = 160 e d − b = 120. A, B, C e E não decorrem de a = 20 e q = 2. Zero e os valores negativos ignoram a condição de PA, e 140 é apenas o termo dado no enunciado. Referência: Progressões aritméticas e geométricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Calcular tg x com x = (1/2)·arcsen(3/5). Seja 2x = θ com sen θ = 3/5 e cos θ = 4/5. Pela fórmula do arco metade, tg x = sen θ/(1 + cos θ) = (3/5)/(9/5) = 1/3. A, C, D e E não satisfazem tg x = sen2x/(1+cos2x). 1/2 e 2 aparecem por confusão com tg(2x) = 3/4 ou com valores incorretos de cos θ. Referência: Trigonometria: arco metade. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área do quadrado com vértice A(3,3) e diagonal BD na reta y=2x. A distância de A à reta 2x − y = 0 é |6−3|/√5 = 3/√5. Essa distância é metade da diagonal AC, pois a diagonal BD é a mediatriz de AC. Logo a diagonal vale 6/√5 e a área é d²/2 = (36/5)/2 = 18/5. As alternativas A, B, D e E vêm de erros na distância ou no uso da fórmula da área (d²/2). A única compatível com d = 6/√5 é C. Referência: Distância ponto-reta e área do quadrado pela diagonal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Sistema não linear que vira linear em 1/x, 27/y² e 8/z³. Sejam u = 1/x, B = 27/y² e C = 8/z³. Então u+B+C = 3, 4u+3B+5C = 10 e 2u+2B+3C = 7. Subtraindo 2 vezes a 1ª da 3ª, C = 1. Em seguida u+B = 2 e 4u+3B = 5, logo u = −1 e B = 3. Assim x = −1, y² = 9 e z = 2, e |x|+|y|+|z| = 1+3+2 = 6. A, B, D e E não resultam do cálculo: a soma dos módulos é 6, e não 0, 3, 9 ou 12. Referência: Sistemas lineares com mudança de variável. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soluções inteiras de 0 ≤ x² − |3x²+8x| ≤ 2. Testando os inteiros: x = 0 dá 0, x = −2 dá 4 − 4 = 0 e x = −4 dá 16 − 16 = 0, todos válidos. x = −1 dá −4 e x = −3 dá 6, fora do intervalo. Para x ≥ 1 e x ≤ −5 a expressão é negativa. Há 3 soluções. A e B subcontam as soluções. D e E incluem valores como −1, −3 ou −5, que não satisfazem a desigualdade. Referência: Inequações modulares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contar os produtos distintos xy com x em A e y em B. Como y é negativo, xy = −(x·|y|). Os produtos de dois elementos de {1..5} são 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 20 e 25. São 14 valores distintos, então C tem 14 elementos. As alternativas A, B, C e D (10 a 13) contam menos valores do que os 14 produtos distintos. Só E (14) confere com a lista completa. Referência: Teoria dos conjuntos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área da interseção entre a região acima de y=||x|−1| e um disco. O disco S₂ tem centro (0,−1) e raio 5. As retas y = |x| − 1 passam pelo centro e formam um setor de 90° acima delas, com área (1/4)·25π. De S₁ = {y ≥ ||x|−1|} fica excluído o losango de vértices (0,−1), (1,0), (0,1) e (−1,0), de área 2, que está dentro do disco. A área é 25π/4 − 2. B subtrai 1 em vez de 2. C ignora a região excluída. D e E usam 75π/4, que não corresponde a nenhum setor do disco. Referência: Geometria analítica: áreas de regiões e inequações modulares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Distância entre centros de círculos cujas coordenadas e raio formam PGs. Em C₁, r₁ = 1/4 (área π/16). Pela PG (x₁, y₁, 1/4) com soma 7/4, a razão positiva é q = 1/2, o que dá (1, 1/2, 1/4). Em C₂, r₂ = 12 (área 144π). Pela PG com soma 21, q = 2, o que dá (3, 6, 12). A distância ao quadrado é (3−1)² + (6−1/2)² = 4 + 121/4 = 137/4, logo d = √137/2. As demais alternativas resultam de erros nas razões ou nas coordenadas. As razões negativas (−1/3 e −2/3) são descartadas porque os círculos estão no 1º quadrante, ou seja, as coordenadas são positivas. Referência: Progressão geométrica e distância entre pontos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Avaliar três afirmações sobre números inteiros, PG trigonométrica e irracionalidade da raiz de primo. I é verdadeira: todo inteiro positivo é uma potência de 2 vezes um ímpar, e a decomposição é única (fatoração em primos). II é falsa: a PG exige a₂² = a₁a₃, ou seja sen²(x+π/4) = sen x·cos x. Isso dá (1+sen2x)/2 = sen2x/2, o que leva a 1/2 = 0, impossível. III é falsa: a raiz quadrada de um primo é irracional. B, D e E são erradas porque incluem a II, que é falsa. C é errada porque a III é falsa. Só a I é verdadeira, o que torna A correta. Referência: Teoria dos números, PG e trigonometria. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade de sequência de 7 elementos de {1..10} sem repetição. O total de sequências com repetição permitida é 10⁷. As sequências sem repetição são arranjos de 10 elementos tomados 7 a 7: 10·9·8·7·6·5·4 = 10!/3!. A probabilidade é 10!/(3!·10⁷). A) usa 7! no numerador, que não corresponde a contagem alguma do problema. C) inverte a razão e usa fatoriais errados. D) usa 10³ no denominador, mas o espaço amostral é 10⁷. E) esquece de dividir por 3!, contando 10! em vez de 10!/3!. Referência: Análise combinatória: arranjo simples e probabilidade clássica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Número de pares (a,b) que satisfazem a equação. Seja z = a + bi, com r = |z|. Igualando módulos, r⁵⁰¹ = 2r/(r⁵⁰⁰+1), então r = 0 ou r⁵⁰⁰ = 1, ou seja, r = 1. Para r = 1, a equação vira z̄⁵⁰¹ = z, ou z⁵⁰² = 1, com 502 soluções. Somando z = 0, são 503 pares. A, B, C e E erram a contagem. É preciso somar as 502 raízes da unidade e a solução nula, o que dá 503. Referência: Números complexos: módulo e raízes da unidade. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área do triângulo AMN no triângulo 6-8-10. O triângulo é retângulo em A. A altura AM = 6·8/10 = 4,8 e BM = 6²/10 = 3,6. N é ponto médio, então BN = 5 e MN = 1,4. A área de AMN é (1,4 · 4,8)/2 = 3,36 cm². B, C, D e E não correspondem à base MN = 1,4 e altura 4,8; por exemplo, 4,8 resultaria de erros no cálculo de MN. Referência: Relações métricas no triângulo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Lugar geométrico com raiz imaginária pura. Com z = iy, a equação fica −y² + iy + 2 − a − ib = 0. Igualando partes real e imaginária, a = 2 − y² e b = y, logo a = 2 − b². Isso é uma parábola. A equação a = 2 − b² é do 2º grau em apenas uma variável. Não é circunferência nem hipérbole, que exigiriam termos quadráticos nas duas variáveis. Também não é reta nem duas retas paralelas. Referência: Números complexos; lugares geométricos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade de acertar ao menos um alvo. Com p = k/d² e p₁ = 2/3 a 30 m, k = 600. Então p₂ = 600/1600 = 3/8 e p₃ = 600/3600 = 1/6. A probabilidade de errar todos é (1/3)(5/8)(5/6) = 25/144, então a de acertar ao menos um é 1 − 25/144 = 119/144. As demais frações não resultam do complementar 1 − 25/144. Referência: Probabilidade: evento complementar; proporcionalidade inversa. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Comprimento CE com bissetriz e ponto E. Pelo teorema da bissetriz, AD = 8 e DB = 12. Então CD² = AC·CB − AD·DB = 150 − 96 = 54, logo CD = 3√6. A condição DB̂E = DĈB faz A, C, B e E concíclicos, então CD·DE = AD·DB = 96 e DE = 16√6/3. Assim, CE = 3√6 + 16√6/3 = 25√6/3. As demais opções não resultam da relação de potência do ponto D, CD·DE = AD·DB. Referência: Teorema da bissetriz interna; potência de ponto. Resolução comentada do VaiConcursos.ITA — Vestibular 2017 — Matemática
I. Existe uma bijeção f : X → Y.
II. Existe uma função injetora g : Y → X.
III. O número de funções injetoras f : X → Y é igual ao número de funções sobrejetoras g : Y → X.
É (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
S:
1/x + 27/y² + 8/z³ = 3
4/x + 81/y² + 40/z³ = 10
2/x + 54/y² + 24/z³ = 7.
Se (x, y, z) é uma solução real de S, então |x| + |y| + |z| é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
é (são) verdadeira(s)
Considere A = P⁻¹DP. O valor de det(A² + A) é
• C₁ com centro (x₁, y₁), raio r₁ e área π/16.
• C₂ com centro (x₂, y₂), raio r₂ e área 144π.
Sabendo que (x₁, y₁, r₁) e (x₂, y₂, r₂) são duas progressões geométricas com somas dos termos iguais a 7/4 e 21, respectivamente, então a distância entre os centros de C₁ e C₂ é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
I. Todo número inteiro positivo pode ser escrito, de maneira única, na forma 2ᵏ⁻¹(2m − 1), em que k e m são inteiros positivos.
II. Existe um número x ∈ [0, π/2] de tal modo que os números a₁ = sen x, a₂ = sen (x + π/4), a₃ = sen (x + π/2) e a₄ = sen (x + 3π/4) estejam, nesta ordem, em progressão geométrica.
III. Existe um número inteiro primo p tal que √p é um número racional.
é (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O número de pares ordenados (a, b) ∈ ℝ² que satisfazem a equação éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
z² + z + 2 − (a + ib) = 0
possua uma raiz puramente imaginária éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sejam X e Y dois conjuntos finitos com X ⊂ Y e X ≠ Y. Considere as seguintes afirmações:
O número de soluções da equação (1 + secθ)(1 + cossecθ) = 0, com θ ∈ [−π, π], é
Sejam a, b, c, d ∈ ℝ. Suponha que a, b, c, d formem, nesta ordem, uma progressão geométrica e que a, b/2, c/4, d − 140 formem, nesta ordem, uma progressão aritmética. Então, o valor de d − b é
O maior valor de tg x, com x = (1/2)arcsen(3/5) e x ∈ [0, π/2], é
Considere a reta r: y = 2x. Seja A = (3, 3) o vértice de um quadrado ABCD, cuja diagonal B̅D̅ está contida em r. A área deste quadrado é
Considere o sistema de equações
O número de soluções inteiras da inequação 0 ≤ x² − |3x² + 8x| ≤ 2 é
Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {−1, −2, −3, −4, −5}. Se C = {xy : x ∈ A e y ∈ B}, então o número de elementos de C é
Sejam S₁ = {(x, y) ∈ ℝ² : y ≥ ||x| − 1|} e S₂ = {(x, y) ∈ ℝ² : x² + (y + 1)² ≤ 25}. A área da região S₁ ∩ S₂ é
Sejam a, b, c, d números reais positivos e diferentes de 1. Das afirmações:
Sejam
Considere dois círculos no primeiro quadrante:
Das afirmações:
Com os elementos 1, 2, . . . , 10 são formadas todas as sequências (a₁, a₂, . . . , a₇). Escolhendo-se aleatoriamente uma dessas sequências, a probabilidade de a sequência escolhida não conter elementos repetidos é
Considere a equação (a − bi)⁵⁰¹ = 2(a + bi)/((a² + b²)²⁵⁰ + 1).
Seja ABC um triângulo cujos lados A̅B̅, A̅C̅ e B̅C̅ medem 6 cm, 8 cm e 10 cm, respectivamente. Considere os pontos M e N sobre o lado B̅C̅ tais que A̅M̅ é a altura relativa a B̅C̅ e N é o ponto médio de B̅C̅. A área do triângulo AMN, em cm², é
Seis circunferências de raio 5 cm são tangentes entre si duas a duas e seus centros são vértices de um hexágono regular, conforme a figura abaixo. O comprimento de uma correia tensionada que envolve externamente as seis circunferências mede, em cm,
O lugar geométrico dos pontos (a, b) ∈ ℝ² tais que a equação, em z ∈ ℂ,
Um atirador dispõe de três alvos para acertar. O primeiro deste encontra-se a 30m de distância; o segundo, a 40m; o terceiro alvo, a 60m. Sabendo que a probabilidade de o atirador acertar o alvo é inversamente proporcional ao quadrado da distância e que a probabilidade de ele acertar o primeiro alvo é de 2/3, então a probabilidade de acertar ao menos um dos alvos é
Considere o triângulo ABC, em que os segmentos A̅C̅, C̅B̅ e A̅B̅ medem, respectivamente, 10 cm, 15 cm e 20 cm. Seja D um ponto do segmento A̅B̅ de tal modo que C̅D̅ é bissetriz do ângulo AĈB e seja E um ponto do prolongamento de C̅D̅, na direção de D, tal que DB̂E = DĈB. A medida, em cm, de C̅E̅ é