← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Processo Seletivo de admissão à EsPCEx — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Esfera inscrita em cubo de volume 216 cm³. A aresta do cubo é ∛216=6 cm. A esfera inscrita tem diâmetro 6, logo raio 3 cm. V=(4/3)π·3³=36π cm³. As demais (38π, 34π, 32π, 30π) não correspondem a (4/3)πr³ com r=3. Resultam de erro no raio ou na fórmula. Referência: Volume da esfera e relação aresta-raio da esfera inscrita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Sistema com as quantidades a, b e c de moedas de 0,25, 0,50 e 1,00. De II: a=3b. De III: b/(N-21)=9/40 com N=4b+c, o que dá 4b=9c-189. De IV: c/(N-9)=1/4, o que dá 4b=3c+9. Igualando: 6c=198, c=33, b=27 e a=81. 27 é a quantidade de moedas de R$ 0,50; 33 é a de R$ 1,00. 32 e 108 não satisfazem as condições. Somente 81 cumpre as condições III e IV com a=3b. Referência: Probabilidade clássica e resolução de sistemas lineares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Reta tangente a f(x)=x²-6x+1 em (4,-7). f'(x)=2x-6, então f'(4)=2. A reta é y+7=2(x-4), ou seja, y=2x-15. As demais têm coeficiente angular diferente de 2 (-2, 3, 1, -3), logo não são tangentes em x=4. Além disso, não passam pelo ponto (4,-7). Referência: Derivada como coeficiente angular da reta tangente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Equação do 2º grau em cos x, com soluções no intervalo ]0,2π[. Fazendo cos x = t: 2t²+3t+1=0, logo t=-1 ou t=-1/2. cos x=-1 dá x=π. cos x=-1/2 dá x=2π/3 e x=4π/3. São 3 raízes em ]0,2π[. 0, 1 e 2 contam menos soluções do que as existentes: só há uma solução para cos x=-1 e duas para cos x=-1/2. 4 contaria uma solução a mais, inexistente no intervalo aberto. Referência: Equações trigonométricas redutíveis ao 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Corda comum de círculos de raios 20 e 15 com centros a 25 cm. Como 15²+20²=25², o triângulo formado por um centro, o outro centro e um ponto de interseção é retângulo no ponto de interseção. A metade da corda é a altura relativa à hipotenusa: h=(15·20)/25=12 cm. A corda mede 2·12=24 cm. 12 cm é só a metade da corda. 30, 32 e 36 cm não resultam da relação métrica correta e seriam maiores do que o permitido pela geometria da figura. Referência: Relações métricas no triângulo retângulo; posição relativa entre circunferências. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Contar trios com soma ímpar em {1,...,15}, que tem 8 ímpares e 7 pares. A soma é ímpar com 3 ímpares ou com 1 ímpar e 2 pares. Com 3 ímpares: C(8,3)=56. Com 1 ímpar e 2 pares: 8·C(7,2)=8·21=168. Total: 56+168=224. As demais opções resultam de erros de contagem, como esquecer um dos casos ou usar C(8,3) ou C(7,2) incorretamente. Somente 224 corresponde à soma dos dois casos possíveis. Referência: Análise combinatória: combinação simples e paridade. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Fatorando p(x) obtêm-se as raízes 2, 1, -1, i e -i. Fatorando por agrupamento: x⁵-2x⁴-x+2 = x⁴(x-2)-(x-2) = (x-2)(x⁴-1) = (x-2)(x-1)(x+1)(x²+1). As raízes são 2, 1, -1, i e -i. Logo há duas raízes complexas (i e -i) e três raízes inteiras (2, 1 e -1). A: i não é raiz dupla e não há raízes irracionais. B: as três raízes reais são inteiras, não irracionais. C: há duas raízes complexas, e não uma, e só três reais. E: todas as cinco raízes são simples. Referência: Teorema das raízes complexas conjugadas e fatoração de polinômios. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponívelEsPCEx — Processo Seletivo 2018 — 2º dia: Matemática, Geografia, História e Inglês — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
.
Considere, ainda, B o conjunto das imagens de f. Nessas condições,
I. o cofrinho contém apenas moedas de R$ 0,25, R$ 0,50 e R$ 1,00.
II. a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,25 é o triplo da probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50.
III. se forem retiradas 21 moedas de R$ 0,25 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 0,50 passa a ser 9/40.
IV. se forem retiradas 9 moedas de R$ 0,50 desse cofrinho, a probabilidade de retirar uma moeda de R$ 1,00 passa a ser 1/4.
Diante dessas constatações, podemos afirmar que a quantidade de moedas de R$ 0,25 nesse cofrinho eraResolução comentada
Análise das alternativas
tem duas raízes reais. O produto dessas raízes éResolução comentada
Análise das alternativas
O volume do sólido gerado pela rotação do trapézio MNPO em relação ao eixo y é
A abscissa x do ponto P é igual a
Resolução comentada
Análise das alternativas
Então, o valor de f(2)-f(-2) é igual a
e a função g: ℝ→ℝ, definida por g(x)= 
. O produto entre o valor mínimo de f e o valor máximo de g é igual a
Admitindo que a quantidade de tratores produzidos evolua nos anos seguintes segundo a mesma razão de crescimento do período 2010-2017, é possível concluir que a meta prevista
Resolução comentada
Análise das alternativas
O triângulo com vértices em F₁ , P e Q tem área igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O volume de uma esfera inscrita em um cubo com volume 216 cm³ é igual a
Dentre as alternativas a seguir, aquela que apresenta uma função trigonométrica de período 2π, cujo gráfico está representado na figura abaixo é
Seja A o maior subconjunto de ℝ no qual está definida a função real f(x) =
Enrico guardou moedas em um cofrinho por um certo período de tempo e, ao abri-lo, constatou que:
A equação
A equação da reta tangente ao gráfico da função f(x) = x² – 6x + 1, no ponto (4,-7), é igual a
Na figura abaixo, a equação da circunferência é x²+y²=3 e a reta suporte do segmento MN tem coeficiente angular igual a √3.
Os pontos M(0,y), com y ≥ 0 e N(√3 , 4) pertencem a uma circunferência de centro C(0, 2). Considere o ponto P, do gráfico de f(x)=√x+2 , que possui ordenada y igual à do ponto M.
Sabendo que o gráfico a seguir representa a função real f(x)=|x-2| + |x+3|, então o valor de a + b +c é igual a
O número de raízes reais da equação 2cos²x + 3cosx + 1=0 no intervalo ]0,2π[ é
A figura mostra um esboço do gráfico da função f(x)=aˣ+b, com a e b reais, a>0, a≠1 e b≠0.
Considere a função f: ℝ→ℝ definida por f(x)=
Uma fábrica de tratores agrícolas, que começou a produzir em 2010, estabeleceu como meta produzir 20.000 tratores até o final do ano de 2025. O gráfico abaixo mostra as quantidades de tratores produzidos no período 2010-2017.
Os centros de dois círculos distam 25 cm. Se os raios desses círculos medem 20 cm e 15 cm, a medida da corda comum a esses dois círculos é
Em um triângulo ABC, BC=12 cm e a mediana relativa a esse lado mede 6 cm. Sabendo-se que a mediana relativa ao lado AB mede 9 cm, qual a área desse triângulo?
Uma hipérbole tem focos F₁(-5,0) e F₂(5,0) e passa pelos pontos P(3,0) e Q(4,y), com y>0.
Considere o conjunto de números naturais {1,2, ..., 15}. Formando grupos de três números distintos desse conjunto, o número de grupos em que a soma dos termos é ímpar é
Sabendo que o número complexo i (sendo i a unidade imaginária) é raiz do polinômio p(x)=x⁵-2x⁴-x+2, podemos afirmar que p(x) tem
No plano complexo, temos uma circunferência λ de raio 2 centrada na origem. Sendo ABCD um quadrado inscrito à λ , de acordo com a figura abaixo, podemos afirmar que o número complexo que representa o vértice B é
Considere uma circunferência de centro O e raio 1 cm tangente a uma reta r no ponto Q. A medida do ângulo MÔQ é 30º, onde M é um ponto da circunferência. Sendo P o ponto da reta r tal que PM é paralelo a OQ, a área (em cm²) do trapézio OMPQ é