← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Curso de Formação e Graduação 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível Achar os anos de nascimento cuja soma dos três últimos dígitos é igual à idade em 2018. Para Aristeu, nascido em 19xy, a idade é 2018−(1900+10x+y) = 118−10x−y, que deve ser igual a 9+x+y. Isso dá 11x+2y = 109, com solução única x=9, y=5. Ele nasceu em 1995 e tem 23 anos. Para o irmão, nascido em 20xy, 18−10x−y = x+y, ou seja, 11x+2y = 18, com x=0, y=9. Ele nasceu em 2009 e tem 9 anos. A soma é 23+9 = 32. A) 23 é só a idade de Aristeu. B) 26, C) 29 e E) 39 não resultam da soma 23+9. As outras combinações de dígitos não dão soluções inteiras para as equações. Referência: Aritmética: equações diofantinas simples com algarismos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Em uma PA, termos equidistantes dos extremos têm a mesma soma. Como 11+90 = 26+75 = 1+100 = 101, cada par soma θ₁+θ₁₀₀. Então 2(θ₁+θ₁₀₀) = π/4, ou seja, θ₁+θ₁₀₀ = π/8. A soma dos 100 termos é 50·π/8 = 25π/4 = 6π + π/4, e sen(π/4) = √2/2. A) −1, B) −√2/2, C) 0 e E) 1 correspondem a outros arcos (3π/2, 5π/4, 0 ou π/2, π/2), que não coincidem com 25π/4. Só D bate com o arco côngruo a π/4. Referência: Progressão aritmética: soma dos termos e propriedade dos termos equidistantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Fatorar o polinômio e estudar o sinal para achar o maior intervalo onde ele é negativo. Fatorando, 6x⁴−5x³−29x²+10x = x(x+2)(6x²−17x+5), e as raízes são −2, 0, 1/3 e 5/2. Como o coeficiente líder é positivo, o polinômio é negativo em (−2, 0) e em (1/3, 5/2). Os comprimentos são 2 e 5/2−1/3 = 13/6, então o maior valor de b−a é 13/6. A) 2 é o comprimento de (−2,0), que não é o maior. C) 1/3 é só uma das raízes. D) 5/2 e E) 8/3 exigiriam um intervalo maior que o de 13/6 dentro do conjunto solução, e isso não existe porque as raízes 0 e 1/3 quebram o intervalo. Referência: Inequações polinomiais; fatoração e estudo de sinal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível x₁³ + x₂³ + x₃³ = 48. Cada raiz satisfaz xᵢ³ = a·xᵢ + 16. Somando as três: Σxᵢ³ = a·Σxᵢ + 48. Por Girard, Σxᵢ = 0 (não há termo em x²), logo a soma vale 48. A, B, D e E) Erradas: incluem parcelas com a, que desaparecem porque x₁ + x₂ + x₃ = 0. Referência: Relações de Girard Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A soma dos inversos de |z| é ≈ 3,30, no intervalo (5/2, 7/2). Com Re(z) = 1, |z| = 1/cos θ, então o inverso é cos θ. Como z¹² ∈ ℝ, 12θ = kπ, e para θ ∈ (0, π/2) tem-se k = 1, ..., 5. A soma é cos15° + cos30° + cos45° + cos60° + cos75° ≈ 0,966 + 0,866 + 0,707 + 0,5 + 0,259 ≈ 3,30, que está em (5/2, 7/2). A, B, D e E) Erradas: a soma 3,30 não pertence a esses intervalos. Referência: Números complexos – forma trigonométrica e potenciação Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível g(2018) = 504²·1009² tem mais de 4 divisores. f(2018) = f(1009) = 504² e f(2019) = 1009². Então g(2018) = 504²·1009² = 2⁶·3⁴·7²·1009², com 7·5·3·3 = 315 divisores positivos, mais que 4. A) Errada: g não é sobrejetora, pois g(n) = f(n)f(n+1) assume só alguns valores (por exemplo, 2 não é atingido). B) Errada: g(1) = g(2) = 1. C) Errada: f não é sobrejetora, já que f(2n+1) = n² e f(2n) = f(n) só geram quadrados. D) Errada: f(1) = f(2) = 1. Referência: Funções definidas recursivamente – injetividade, sobrejetividade e divisores Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A chance de vencer é 3/80. Para vencer é preciso somar mais de 35, isto é, de 36 a 40. As combinações de dois d20 são: soma 40 (1), 39 (2), 38 (3), 37 (4) e 36 (5), total de 15. O espaço amostral é 20·20 = 400, então P = 15/400 = 3/80. A) Errada: seria a chance sem o adversário ter somado 35. B), C) e D) Erradas: contam um número incorreto de casos favoráveis (por exemplo, 9/400 ou 5/400). Referência: Probabilidade – soma de dois dados Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A probabilidade é 1/10. Há C(6,3) = 20 triângulos possíveis. O triângulo equilátero tem r = R/2, e há 2 deles no hexágono (vértices alternados). Os demais triângulos (retângulos e isósceles obtusos) têm raio diferente de R/2: o retângulo 30-60-90 tem r = R(√3−1)/2. A probabilidade é 2/20 = 1/10. A) Errada: existem triângulos com r = R/2. C), D) e E) Erradas: não correspondem a 2 casos favoráveis em 20. Referência: Probabilidade – análise combinatória e inraio de triângulos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação tem 3 soluções reais. O lado esquerdo está em [0,1], e o direito só é ≥ 0 se |x| ≤ π. Em x = 0 ambos valem 1, uma solução. Perto de 0, o lado esquerdo cai mais rápido (≈ 1 − 1009x²) que o direito (≈ 1 − ln2·x²/π²). Em x = π/2 o esquerdo vale 0 e o direito é positivo; em x = π o esquerdo vale 1 e o direito 0. Há uma raiz em (π/2, π) e outra simétrica em (−π, −π/2), num total de 3. A, B, C e E) Erradas: não correspondem à contagem 0, ±r com r ∈ (π/2, π). Referência: Funções transcendentes – análise gráfica e teorema do valor intermediário Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Se a, b, c estão em P.A., então sen A + sen C = 2 sen(A+C). Em P.A., a + c = 2b. Pela lei dos senos, a = 2R·sen A e assim por diante, então sen A + sen C = 2 sen B. Como B = π − (A + C), sen B = sen(A + C). Logo 2 sen(A + C) = sen A + sen C. B) e E) Erradas: cos(A+C) = −cos B, o que não produz a relação. C) e D) Erradas: sen(A−C) e cos(A−C) não se relacionam dessa forma com a P.A. Referência: Trigonometria – lei dos senos e progressão aritmética Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Após girar 45°, a hipérbole equilátera x² − y² = 4 vira xy = 2. O eixo real é 2a = 4, então a = 2 e, sendo equilátera, a hipérbole é x² − y² = 4. Girando 45° no sentido anti-horário, x = (x'−y')/√2 e y = (x'+y')/√2 dão x² − y² = −2x'y'... na substituição inversa adequada, obtém-se 2xy = 4. A equação é xy = 2, com assíntotas nos eixos coordenados. B) Errada: tem termos x² e y² que não surgem após a rotação de 45° de uma hipérbole equilátera. C) e E) Erradas: continuam com eixos paralelos aos eixos, sem rotação. D) Errada: xy = −2 seria a rotação no sentido horário, ou de 135°. Referência: Geometria analítica – rotação de cônicas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O perímetro do quadrado é 4R√5/5. Seja s o lado do quadrado. Com M e N sobre OA e Q sobre OB (45°), o triângulo OMQ é isósceles, então OM = MQ = s e ON = 2s. O vértice P tem coordenadas (2s, s) e está no arco, logo 4s² + s² = R² e s = R/√5. O perímetro é 4R/√5 = 4R√5/5. A, B, C e D) Erradas: não decorrem de 5s² = R². D) em particular multiplica por √5 em vez de dividir. Referência: Geometria plana – figuras inscritas em setor circular Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Só I e V são verdadeiras. I é verdadeira: três pontos colineares estão sempre em um mesmo plano. V é verdadeira: dois planos distintos com um ponto comum se cortam em uma reta. II é falsa, pois a reta pode apenas cruzar o plano. III é falsa: quatro pontos não coplanares determinam 4 planos (C(4,3)), não 6. IV é falsa: retas reversas não são paralelas e não determinam plano. A, C, D e E) Erradas: o número de afirmações verdadeiras é exatamente dois. Referência: Geometria de posição – postulados de pontos, retas e planos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As quatro faces têm área 2+√3, totalizando 4(2+√3) cm². Como ∠B = ∠C, ABC é isósceles com AM ⟂ BC. Com BC = 2 e ∠A = 30°, AM = 1/tg15° = 2+√3 e a área de ABC é 2+√3. Da condição ∠MAD = ∠MDA, MD = MA. Como AD ⟂ BC e AM ⟂ BC, BC é perpendicular ao plano AMD, então BCD tem área ½·2·(2+√3) = 2+√3. Por simetria, ACD = ABD = ABC = 2+√3. A área total é 4(2+√3). A, B, C e E) Erradas: não correspondem à soma das quatro faces, todas de área 2+√3. Referência: Geometria espacial – tetraedro e perpendicularidade reta-plano Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponívelIME 2018/2019 — Concurso de Admissão ao Curso de Formação e Graduação — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
6x⁴ − 5x³ − 29x² + 10x < 0
Seja (a, b) um intervalo contido no conjunto solução dessa inequação. O maior valor possível para b − a é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
{ f(0) = 0
{ f(1) = 1
{ f(2n) = f(n), n ≥ 1
{ f(2n + 1) = n², n ≥ 1
Definimos a função g: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma: g(n) = f(n)f(n + 1).
Podemos afirmar que:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
(cos x)²⁰¹⁸ = 2 − 2^((x/π)²)Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I) se três pontos são colineares, então eles são coplanares;
II) se uma reta tem um ponto sobre um plano, então ela está contida nesse plano;
III) se quatro pontos são não coplanares, então eles determinam 6 (seis) planos;
IV) duas retas não paralelas determinam um plano;
V) se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a sua interseção é uma reta.
Entre essas afirmações:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considerando as Figuras 1 e 2 acima e, com relação às ondas sonoras em tubos, avalie as afirmações a seguir:
Afirmação I. as ondas sonoras são ondas mecânicas, longitudinais, que necessitam de um meio material para se propagarem, como representado na Figura 1.
Afirmação II. uma onda sonora propagando-se em um tubo sonoro movimenta as partículas do ar no seu interior na direção transversal, como representado na Figura 2.
Afirmação III. os tubos sonoros com uma extremidade fechada, como representado na Figura 2, podem estabelecer todos os harmônicos da frequência fundamental.
É correto o que se afirma em:
Uma lanterna cilíndrica muito potente possui uma lente divergente em sua extremidade. Ela projeta uma luz sobre um anteparo vertical. O eixo central da lanterna e o eixo principal da lente estão alinhados e formam um ângulo de 45º com a horizontal. A lâmpada da lanterna gera raios de luz paralelos, que encontram a lente divergente, formando um feixe cônico de luz na sua saída. O centro óptico da lente O está, aproximadamente, alinhado com as bordas frontais da lanterna. A distância horizontal entre o foco F da lente e o anteparo é de 1 m. Sabendo disto, pode-se observar que o contorno da luz projetada pela lanterna no anteparo forma uma seção plana cônica. Diante do exposto, o comprimento do semieixo maior do contorno dessa seção, em metros, é:
Dados:
• a lente é do tipo plano-côncava;
• a face côncava está na parte mais externa da lanterna;
• diâmetro da lanterna: d = 10 cm;
• índice de refração do meio externo (ar): 1;
• índice de refração da lente: 1,5;
• raio de curvatura da face côncava: 2,5 √3 cm.
Um corpo encontra-se com 2/3 de seu volume submerso. Uma de suas extremidades está presa por uma corda a um conjunto de roldanas que suspende uma carga puntiforme submetida a um campo elétrico uniforme. A outra extremidade está presa a uma mola distendida que está fixa no fundo do recipiente. Este sistema se encontra em equilíbrio e sua configuração é mostrada na figura acima. Desprezando os efeitos de borda no campo elétrico, a deformação da mola na condição de equilíbrio é:
Dados:
• a corda e as roldanas são ideais;
• aceleração da gravidade: g;
• massa específica do fluido: ρ;
• massa específica do corpo: 2ρ;
• constante elástica da mola: k;
• volume do corpo: V;
• intensidade do campo elétrico uniforme: E;
• massa da carga elétrica: m; e
• carga elétrica: + q.
Uma partícula desloca-se solidária a um trilho circular com 0,5 m de raio. Sabe-se que o ângulo θ, indicado na figura, segue a equação θ = t², onde t é o tempo em segundos e θ é o ângulo em radianos. O módulo do vetor aceleração da partícula, em t = 1 s, é:
A figura acima mostra três meios transparentes, de índices de refração n₁, n₂ e n₃, e o percurso de um raio luminoso. Observando a figura, é possível concluir que:
Aristeu e seu irmão nasceram nos séculos XX e XXI, respectivamente. Neste ano, 2018, os dois já fizeram aniversário e a idade de cada um deles é a soma dos três últimos dígitos do ano de seu respectivo nascimento. Qual é a soma das idades dos dois irmãos?
Os ângulos θ₁, θ₂, θ₃, ⋯, θ₁₀₀ são os termos de uma progressão aritmética na qual θ₁₁ + θ₂₆ + θ₇₅ + θ₉₀ = π/4. O valor de sen(∑ᵢ₌₁¹⁰⁰ θᵢ) é:
Calcule o valor do determinante:
Seja a inequação:
Sejam x₁, x₂ e x₃ raízes da equação x³ − ax − 16 = 0. Sendo a um número real, o valor de x₁³ + x₂³ + x₃³ é igual a:
Seja z um número complexo tal que z¹² ∈ ℝ, Re(z) = 1 e arg(z) ∈ (0, π/2). A soma dos inversos dos possíveis valores de |z| está no intervalo:
Definimos a função f: ℕ ⟶ ℕ da seguinte forma:
Em um jogo de RPG “Role-Playing Game” em que os jogadores lançam um par de dados para determinar a vitória ou a derrota quando se confrontam em duelos, os dados são icosaedros regulares com faces numeradas de 1 a 20. Vence quem soma mais pontos na rolagem dos dados e, em caso de empate, os dois perdem. Em um confronto, seu adversário somou 35 pontos na rolagem de dados. É sua vez de rolar os dados. Qual sua chance de vencer este duelo?
Um hexágono regular está inscrito em um círculo de raio R. São sorteados 3 vértices distintos do hexágono, a saber: A, B e C. Seja r o raio do círculo inscrito ao triângulo ABC. Qual a probabilidade de que r = R/2 ?
O número de soluções reais da equação abaixo é:
Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos Â, B̂ e Ĉ, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45⁰ no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é:
Em um setor circular de 45º, limitado pelos raios O̅A̅ e O̅B̅ iguais a R, inscreve-se um quadrado MNPQ, onde M̅N̅ está apoiado em O̅A̅ e o ponto Q sobre o raio O̅B̅. Então, o perímetro do quadrado é:
Considere as afirmações abaixo:
Em um tetraedro ABCD, os ângulos AB̂C e AĈB são idênticos e a aresta AD é ortogonal à BC. A área do ΔABC é igual à área do ΔACD, e o ângulo MÂD é igual ao ângulo MD̂A, onde M é ponto médio de BC. Calcule a área total do tetraedro ABCD, em cm², sabendo que BC = 2cm, e que o ângulo BÂC é igual a 30º.