← Voltar para a lista de provas Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular — Matemática 30 questões nesta prova · página 1 de 2 · 20 com gabarito Gabarito disponível NK é a corda entre os pontos de tangência a partir de A, calculada com o ângulo em A. Pela lei dos cossenos, cos A = (3² + 8² − 7²)/(2·3·8) = 1/2, logo A = 60°. Com semiperímetro p = 9, o segmento tangente de A mede p − BC = 2, então AN = AK = 2. O triângulo ANK é isósceles com ângulo de 60° no vértice A, portanto é equilátero e NK = 2. B, C, D e E) Erradas, pois o triângulo ANK é equilátero de lado 2. Referência: Geometria plana: circunferência inscrita e tangentes a partir de um ponto externo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Redução de x¹⁰ usando x³ = x + 2. Temos x⁴ = x² + 2x e x⁵ = x³ + 2x² = 2x² + x + 2. Então x¹⁰ = (2x² + x + 2)² = 4x⁴ + 4x³ + 9x² + 4x + 4. Substituindo x⁴ = x² + 2x e x³ = x + 2, obtém-se 13x² + 16x + 12. A, B, D e E) Erradas, pois os coeficientes não coincidem com o resultado 13x² + 16x + 12. Referência: Polinômios: redução de potências por relação de recorrência. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Termo independente do binômio com a = 2b, o que dá a = 2 e b = 1. Se a e b são consecutivos de uma PG de razão 1/2, então b = a/2. No termo geral, o expoente de x é (12−k) − k/2 = 0, logo k = 8. Assim, C(12,8)·a⁴·b⁸ = 495·a⁴b⁸ = 7920, o que dá a⁴b⁸ = 16. Com a = 2b, vem 16b¹² = 16, então b = 1 e a = 2. Portanto, a + b = 3. A, C, D e E) Erradas, pois a soma obtida é 3. Referência: Binômio de Newton: termo geral e termo independente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os inversos comutam se, e somente se, f e g comutam. f⁻¹∘g⁻¹ = (g∘f)⁻¹ e g⁻¹∘f⁻¹ = (f∘g)⁻¹, então a igualdade equivale a f∘g = g∘f. Temos f(g(x)) = acx + ad + b e g(f(x)) = acx + bc + d. Igualando os termos independentes, ad + b = bc + d, isto é, b + ad = d + bc. B, C, D e E) Erradas, pois não correspondem à condição ad + b = bc + d obtida da comutação. Referência: Funções: composição e inversa de funções afins. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A matriz aᵢⱼ = xᵢ + yⱼ tem posto no máximo 2. A pode ser escrita como A = x·1ᵀ + 1·yᵀ, onde x e y são os vetores coluna dos xᵢ e dos yⱼ e 1 é o vetor de uns. É a soma de duas matrizes de posto no máximo 1, então r ≤ 2. O valor 2 é atingido, por exemplo com xᵢ = i e yⱼ = j². Portanto, o maior valor possível é 2. A) Errada, pois o posto 2 é possível. C, D e E) Erradas, pois o posto nunca passa de 2. Referência: Álgebra linear: posto de matriz e subaditividade do posto. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contagem de triângulos e quadriláteros convexos com pontos em duas retas paralelas. Triângulos: C(m,2)·n + C(n,2)·m. Quadriláteros convexos: C(m,2)·C(n,2), com dois pontos em cada reta. Com m = 7 e n = 6 (soma 13, m > n), os quadriláteros são 21·15 = 315 e os triângulos são 21·6 + 15·7 = 231. O quociente é 315/231 = 15/11, como pedido. Nas demais opções o quociente não resulta em 15/11. Por exemplo, para m = 8 e n = 5, os quadriláteros são 28·10 = 280 e os triângulos são 28·5 + 10·8 = 220, e 280/220 = 14/11. Referência: Análise combinatória: combinações aplicadas à geometria. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Duas circunferências são ortogonais quando d² = r₁² + r₂², com d a distância entre os centros. Os centros são C₁(0,−4), C₂(0,0) e C₃(5,0), e os raios ao quadrado são 7, 9 e 16. Para C₁ e C₂: d² = 16 = 7 + 9, então são ortogonais. Para C₂ e C₃: d² = 25 = 9 + 16, então também são. Para C₁ e C₃: d² = 25 + 16 = 41, diferente de 7 + 16 = 23, então não são. Logo, C₂ é ortogonal a C₁ e a C₃. A) Errada, pois C₂ e C₃ também são ortogonais. B) Errada, pois C₁ e C₃ não são ortogonais (41 ≠ 23). D) Errada, pelo mesmo motivo de B. E) Errada, pois existem dois pares ortogonais. Referência: Geometria analítica: condição de ortogonalidade entre circunferências (d² = r₁² + r₂²). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Raízes são as 7 raízes oitavas da unidade diferentes de 1: área = (3√2+1)/2. O polinômio é (z⁸ − 1)/(z − 1), cujas raízes são as raízes oitavas da unidade, exceto 1. Elas formam um heptágono, que é o octógono regular inscrito na circunferência unitária (área 2√2) sem o triângulo formado por 1 e seus vizinhos e^{±iπ/4}. Esse triângulo tem área (√2 − 1)/2. Logo a área é 2√2 − (√2 − 1)/2 = (3√2 + 1)/2. A) e B) são áreas muito pequenas (menores que 1). C) √2 e E) 3√2 não correspondem ao octógono (2√2) menos o triângulo retirado. Só D confere. Referência: Raízes da unidade; área de polígonos regulares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível 1/a + 1/b = log_π 10 > 2. 1/a = log_π 2 e 1/b = log_π 5, então a soma é log_π 10. Como π² ≈ 9,87 1, log_π 10 > log_π π² = 2. A, B, C e D limitam a soma a valores iguais ou menores que 2, o que contradiz 10 > π². Só E (soma maior que 2) está correta. Referência: Mudança de base e monotonicidade do logaritmo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As raízes têm módulo 1 e parte real em (−1,1): circunferência menos dois pontos. Para |b| < 2 o discriminante é negativo e as raízes são x = −b/2 ± i√(1 − b²/4), complexas conjugadas com produto 1, logo |x| = 1. A parte real −b/2 varia em ]−1, 1[, então os pontos x = 1 e x = −1 nunca são atingidos. O lugar geométrico é a circunferência unitária menos dois pontos.
A) Errada: há infinitos pontos. B) Errada: não é segmento. D) Errada: faltam dois pontos (1 e −1), não um. E) Errada: a circunferência completa incluiria x = ±1, que correspondem a |b| = 2. Referência: Números complexos: módulo e raízes de equação quadrática. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área externa = √3/2 − (3√3/16 + π/8) = 5√3/16 − π/8. Com B = 90°, C = 60° e BC = 1, AB = √3 e a área do triângulo é √3/2. O círculo de diâmetro AB (raio √3/2, centro O) corta AC em A e no pé H da altura por B. Como A = 30°, o ângulo central HOB mede 60°. A parte interna é o triângulo AOH (3√3/16) mais o setor HOB (π/8). A parte externa é √3/2 − 3√3/16 − π/8 = 5√3/16 − π/8. A, B, C e E são errados porque alguma parte da área foi omitida: ou a região interna (triângulo AOH ou setor) não foi subtraída corretamente, ou os valores foram tomados do triângulo inteiro. Só D reproduz o resultado. Referência: Ângulo inscrito, setor circular e áreas de triângulos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A expressão é −tg3x, então tg3x = 1 e a soma das soluções é 3π/12 > 0. (tg³x − 3tgx)/(1 − 3tg²x) = −tg3x, então a equação vira tg3x = 1. Logo x = π/12 + kπ/3. Em ]−π/2, π/2[ as soluções são −π/4, π/12 e 5π/12, e a soma é π/4 > 0. A) Errada: a soma é π/4, não 0. C) Errada: há infinitas soluções reais. D) Errada: em [0, π/2] há duas (π/12 e 5π/12). E) Errada: em ]−π/2, 0] só existe −π/4. Referência: Tangente do arco triplo: tg3x = (3tgx − tg³x)/(1 − 3tg²x). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A + B = AB equivale a (A−I)(B−I) = I, e as três afirmações são verdadeiras. Pela equação, AB − A − B + I = I, isto é, (A − I)(B − I) = I. Assim, A − I e B − I são inversas uma da outra, logo ambas são inversíveis (I e II verdadeiras, pois I − B = −(B − I)). Como a inversa é bilateral, (B − I)(A − I) = I, o que dá BA = A + B = AB (III verdadeira). A, B, C e D são erradas porque omitem ao menos uma afirmação verdadeira. A comutatividade e a inversibilidade de I − A e I − B decorrem todas da mesma identidade. Referência: Matriz inversa; fatoração (A−I)(B−I). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Determinante nulo: a(a+1)(2a²−2a−1) = 0. Para o sistema homogêneo ter infinitas soluções, o determinante deve ser nulo. Calculando, det = −a² + (2a⁴ − a) − 2a² = a(2a³ − 3a − 1) = a(a+1)(2a² − 2a − 1). As raízes são a = 0, a = −1 e a = (1 ± √3)/2. A, C, D e E trazem raízes de outros polinômios (por exemplo, (−1±√3)/2 ou 1±√3), que não anulam o determinante de 2a² − 2a − 1. Só B tem os quatro valores corretos. Referência: Regra de Cramer / discussão de sistemas homogêneos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O tetraedro de vértices alternados tem volume igual a 1/3 do paralelepípedo: 20 cm³. Arestas opostas iguais indicam um paralelepípedo retângulo de arestas 3, 4 e 5 (volume 60). O tetraedro formado por vértices não adjacentes tem como arestas as diagonais das faces (5, √34, √41), e as opostas são iguais. Seu volume é o do paralelepípedo menos 4 pirâmides de volume V/6 cada: 60 − 4·10 = 20. A) 10 e B) 12 equivalem a 1/6 e 1/5 do volume, sem justificativa. C) 15 e E) 30 correspondem a 1/4 e 1/2 do volume, também sem justificativa. Só D) 20 = V/3. Referência: Volume do tetraedro inscrito em paralelepípedo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível CD = 4, a² = 32/3 e a altura AN = √(20/3) = √60/3. Como CM = DM, o triângulo CMD é isósceles e MN ⟂ CD. Com CN = 2, CD = 4 e CM² = MN² + CN² = 8. Sendo CM = a√3/2, a² = 32/3. No triângulo ACD, AC = AD = a, e a altura relativa a CD é AN = √(a² − 4) = √(20/3) = √60/3. B, C, D e E (√50/3, √40/3, √30/3, 2√6/3) resultam de valores errados para o lado a ou para CM. Só a opção A satisfaz AN² = 20/3. Referência: Geometria espacial: triângulos equiláteros e Pitágoras. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível P1 = 3/5 e P2 = 8/15, logo P1 + P2 = 17/15. P1 = 1 − P(duas brancas) = 1 − (3/5)(2/3) = 3/5. P2 = P(duas brancas) + P(duas pretas) = 2/5 + (2/5)(1/3) = 8/15. A soma é 9/15 + 8/15 = 17/15. A, B e C (8/15, 7/15, 6/15) resultam de contas parciais ou erradas, como considerar só P2 ou erro nas frações. D) 1 não corresponde à soma calculada. Só 17/15 está correta (P1 e P2 não são complementares, então a soma pode passar de 1). Referência: Probabilidade: eventos independentes e complementar. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Discriminante não negativo implica c² ≥ 1/4, isto é, |c| ≥ 1/2. De x + y = 1, x³ + y³ = 1 − 3xy = c², então xy = (1 − c²)/3. x e y são raízes de t² − t + (1 − c²)/3 = 0, e para serem reais é preciso Δ = 1 − 4(1 − c²)/3 ≥ 0. Isso dá 4c² ≥ 1, ou c ≤ −1/2 ou c ≥ 1/2. A, B, C e D usam limites de 1/4 (confundindo c² com c) ou intervalos que não cobrem todos os c com |c| ≥ 1/2. Somente E descreve ]−∞, −1/2] ∪ [1/2, ∞[. Referência: Soma e produto de raízes; discriminante da equação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos.ITA — Vestibular 2018 — Matemática
Resolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. Iₙ − B é inversível;
II. Iₙ − A é inversível;
III. A · B = B · A.
é (são) verdadeira(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
x + y + z = 0
2a²y + (2a⁴ − a)z = 0
x + ay + (a³ − 1)z = 0
admite infinitas soluções, então os possíveis valores do parâmetro a sãoResolução comentada
Análise das alternativas
, x ∈ ℝ. Se o polinômio p(x) é dado por p(x) = detA, então o produto das raízes de p(x) éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
éResolução comentada
Análise das alternativas
x + y = 1
x³ + y³ = c²
admita apenas soluções reais, todos os valores reais de c pertencem ao conjuntoResolução comentada
Análise das alternativas
Os lados de um triângulo de vértices A, B e C medem AB = 3 cm, BC = 7 cm e CA = 8 cm. A circunferência inscrita no triângulo tangencia o lado A̅B̅ no ponto N e o lado C̅A̅ no ponto K. Então, o comprimento do segmento N̅K̅, em cm, é
Se x é um número real que satisfaz x³ = x + 2, então x¹⁰ é igual a
Sejam a e b números inteiros positivos. Se a e b são, nessa ordem, termos consecutivos de uma progressão geométrica de razão 1/2 e o termo independente de (ax − b/√x)¹² é igual a 7920, então a + b é
Considere as funções f, g : ℝ → ℝ dadas por f(x) = ax + b e g(x) = cx + d, com a, b, c, d ∈ ℝ, a ≠ 0 e c ≠ 0. Se f⁻¹ ∘ g⁻¹ = g⁻¹ ∘ f⁻¹, então uma relação entre as constantes a, b, c e d é dada por
Sejam x₁, . . . , x₅ e y₁, . . . , y₅ números reais arbitrários e A = (aᵢⱼ) uma matriz 5 × 5 definida por aᵢⱼ = xᵢ + yⱼ, 1 ≤ i, j ≤ 5. Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é
Sobre duas retas paralelas r e s são tomados 13 pontos, m pontos em r e n pontos em s, sendo m > n. Com os pontos são formados todos os triângulos e quadriláteros convexos possíveis. Sabe-se que o quociente entre o número de quadriláteros e o número de triângulos é 15/11. Então, os valores de n e m são, respectivamente,
Considere a definição: duas circunferências são ortogonais quando se interceptam em dois pontos distintos e nesses pontos suas tangentes são perpendiculares. Com relação às circunferências C₁ : x² + (y + 4)² = 7, C₂ : x² + y² = 9 e C₃ : (x − 5)² + y² = 16, podemos afirmar que
As raízes do polinômio 1 + z + z² + z³ + z⁴ + z⁵ + z⁶ + z⁷, quando representadas no plano complexo, formam os vértices de um polígono convexo cuja área é
Se log₂ π = a e log₅ π = b, então
O lugar geométrico das soluções da equação x² + bx + 1 = 0, quando |b| < 2, b ∈ ℝ, é representado no plano complexo por
Em um triângulo de vértices A, B e C são dados B̂ = π/2, Ĉ = π/3 e o lado BC = 1 cm. Se o lado A̅B̅ é o diâmetro de uma circunferência, então a área da parte do triângulo ABC externa à circunferência, em cm², é
Com relação à equação (tg³x − 3tgx)/(1 − 3tg²x) + 1 = 0, podemos afirmar que
Sejam A e B matrizes quadradas n × n tais que A + B = A · B e Iₙ a matriz identidade n × n. Das afirmações:
Se o sistema
Considere a matriz
Considere a classificação: dois vértices de um paralelepípedo são não adjacentes quando não pertencem à mesma aresta. Um tetraedro é formado por vértices não adjacentes de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 4 cm e 5 cm. Se o tetraedro tem suas arestas opostas de mesmo comprimento, então o volume do tetraedro é, em cm³:
Os triângulos equiláteros ABC e ABD têm lado comum A̅B̅. Seja M o ponto médio de A̅B̅ e N o ponto médio de C̅D̅. Se MN = CN = 2 cm, então a altura relativa ao lado C̅D̅ do triângulo ACD mede, em cm,
Uma progressão aritmética (a₁, a₂, . . . , aₙ) satisfaz a propriedade: para cada n ∈ ℕ, a soma da progressão é igual a 2n² + 5n. Nessas condições, o determinante da matriz
São dadas duas caixas, uma delas contém três bolas brancas e duas pretas e a outra contém duas bolas brancas e uma preta. Retira-se, ao acaso, uma bola de cada caixa. Se P₁ é a probabilidade de que pelo menos uma bola seja preta e P₂ a probabilidade de as duas bolas serem da mesma cor, então P₁ + P₂ vale
Para que o sistema