← Voltar para a lista de provas Colégio Militar de Santa Maria · Admissão ao 1º Ano do Ensino Médio — Prova de Matemática 20 questões nesta prova · 20 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Problema de vazão com enchimento e esvaziamento simultâneos; horário em que o almoço fica pronto. Poço = p horas e CORSAN = p + 6. De 1/p + 1/(p+6) = 1/4 sai p = 6, então CORSAN = 12 h e poço = 6 h. Caminhão = 1/10; as duas válvulas esvaziam 1/20 + 1/30 = 1/12 por hora. Na 1ª hora, CORSAN enche 1/12. Na 2ª hora, os três enchem 1/12 + 1/6 + 1/10 = 7/20, e o nível chega a 13/30 às 8 h. Depois, o ritmo líquido é 21/60 − 1/12 = 4/15 por hora. Para ir de 13/30 a 4/5 faltam 11/30, e 11/30 ÷ 4/15 = 11/8 h = 1 h 22 min 30 s. O nível de 4/5 é atingido às 9 h 22 min 30 s, e somando 2 h 20 min o almoço fica pronto às 11 h 42 min 30 s. As demais resultam de esquecer as válvulas, de esperar a caixa encher por completo (o que daria um horário bem posterior) ou de erros nas frações de vazão. Referência: Problemas de torneiras e ralos (vazão). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Comparar percentuais de medalhas por ano na tabela da OBMEP. Totais de premiados: 2018 = 37; 2017 = 34; 2016 = 27. Ouro: 4/37 ≈ 10,8% (2018), 1/34 ≈ 2,9% (2017), 2/27 ≈ 7,4% (2016), então o maior é 2018. Bronze: 10/37 ≈ 27%, 7/34 ≈ 20,6%, 7/27 ≈ 25,9%, então o menor é 2017. Menção honrosa: 16/37 ≈ 43,2%, 16/34 ≈ 47,1%, 14/27 ≈ 51,9%, então o maior é 2016. As demais alternativas trocam algum dos anos em I, II ou III. Só a C acerta os três (2018; 2017; 2016). Referência: Razão e porcentagem; leitura de tabelas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Idades: professora nasceu em 1965, aluno em 2007; achar quando a idade dela era o quadrado da dele. A diferença entre as idades é sempre 2007 − 1965 = 42 anos. Se o aluno tinha a anos, a professora tinha a + 42, e a + 42 = a². Isso dá a² − a − 42 = 0, logo a = 7, e a professora tinha 49. Um aluno do 6º ano tem hoje 12 anos (nasceu em 2007, então estamos em 2019), portanto isso ocorreu há 12 − 7 = 5 anos. 6, 8, 18 e 7 anos não são compatíveis com um aluno do 6º ano (11 ou 12 anos): dariam idades passadas diferentes de 7 ou resultados incoerentes com a equação. Só 5 anos fecha com a idade de 12 anos do aluno hoje. Referência: Equação do 2º grau aplicada a problemas de idades. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Calcular média, moda e mediana das 12 notas. A soma das notas é 756, e 756 ÷ 12 = 63 (média correta). A moda é 98, que aparece duas vezes. Em ordem crescente, os 6º e 7º valores são 63 e 76, e a mediana é (63 + 76)/2 = 69,5. Os três parâmetros estão corretos. B, C, D e E afirmam que algum dos parâmetros está incorreto, mas I, II e III conferem com os cálculos. Referência: Estatística — medidas de tendência central Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Resolver K/W ≥ 0 com fatoração e estudo de sinais. K = −(2x−1)(x−3) e W = x(2x−1), com x ≠ 0 e x ≠ 1/2. Simplificando, K/W = −(x−3)/x ≥ 0, ou seja, (x−3)/x ≤ 0, o que dá 0 < x ≤ 3. Excluindo x = 1/2, que anula W: 0 < x < 1/2 ou 1/2 < x ≤ 3.
A) e B) não correspondem ao intervalo encontrado. C) esquece de excluir x = 1/2. E) apresenta "x ≤ 3" sem o limite inferior e sem excluir 1/2. Referência: Inequações-quociente Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Simplificar a expressão com radicais usando a = 2√2 e b = √3. Como (b − a) = −(a − b), a expressão vira (a−b)/(a+b) + (a+b)/(a−b) = [(a−b)² + (a+b)²]/(a²−b²) = 2(a²+b²)/(a²−b²). Com a² = 8 e b² = 3: 2·11/5 = 22/5. D) −22/5 troca o sinal ao ignorar que o segundo termo, ao ser subtraído, soma. B, C e E contêm radicais que se cancelam no cálculo. Referência: Radiciação — racionalização e produtos notáveis Resolução comentada do VaiConcursos.Colégio Militar de Santa Maria — Concurso de Admissão 2019/2020 — Prova de Matemática — 1º Ano do Ensino Médio
Figura 1: Montanha Russa - Beto Carrero/SC
Fonte: https://www.melhoresdestinos.com.br/wp-content/uploads/2016/11/parque-beto-carrero-montanha-russa-001.jpg
Duas empresas aéreas apresentaram orçamento para aluguel de aeronave. Uma dispunha de aeronaves de 150 lugares e outra, de 200 lugares. Sabe-se que:
a. a empresa aérea dotada de aeronaves de 150 lugares, cobrou, por passageiro, o valor de R$ 200,00 mais um valor de 20,00 por poltrona não ocupada;
b. a empresa aérea dotada de aeronaves de 200 lugares, cobrou, por passageiro, o valor de R$ 150,00 mais um valor de 15,00 por poltrona não ocupada;
c. o custo operacional para ambas empresas levantarem voo com suas respectivas aeronaves é o mesmo;
d. a empresa aérea contratada teve arrecadação máxima;
e. o Colégio Militar optou pelo melhor custo-benefício, ou seja, foi contratada a empresa cujo custo de contratação da aeronave dividido pelo número de alunos a serem transportados (número de vendas de passagens que gerou a arrecadação máxima) apresentou o menor valor;
f. após a escolha da aeronave, o Colégio Militar estabeleceu que o número de alunos a viajar corresponderia ao número de passagens vendidas que gerou arrecadação máxima à empresa aérea vencedora.
Em seguida, para o deslocamento rodoviário, duas empresas de ônibus apresentaram suas propostas orçamentárias com os seguintes valores:
a. a primeira empresa, que dispunha de uma frota de ônibus de 44 lugares, cobrava em reais, pelo aluguel de um ônibus, o valor conforme expressão a seguir; y = 300 + 3x², onde x é o número de quilômetros rodados pelo ônibus;
b. a segunda empresa, que dispunha de uma frota de ônibus de 54 lugares, cobrava em reais, pelo aluguel de um ônibus, o valor conforme expressão a seguir; y = 500 + 4x², onde x é o número de quilômetros rodados pelo ônibus; e
c. no deslocamento rodoviário, o percurso a ser realizado era de 50 km. A empresa contratada foi a que apresentou o menor custo para a necessidade de transporte do colégio.
De posse das informações acima, calcule a quantidade de alunos que realizou o passeio para o Parque Temático Beto Carrero e o valor total gasto no transporte.
Sabe -se que:
a. às 06 h da manhã, o CMSM iniciou o abastecimento da caixa d'água;
b. o abastecimento poderia ser realizado por meio de três fontes:
1) Companhia Rio-Grandense de Saneamento (CORSAN);
2) poço artesiano localizado no interior do CMSM; e
3) caminhão-pipa contratado pelo CMSM;
c. o abastecimento realizado pela CORSAN e pelo poço artesiano simultaneamente leva 4 horas para encher a caixa d'água;
d. a CORSAN, sozinha, para encher a caixa d'água, gasta 6 horas a mais que o abastecimento realizado pelo poço artesiano sozinho;
e. o caminhão-pipa, sozinho, leva 10 horas para encher a caixa d'água;
f. a caixa d'água possui duas válvulas para escoamento de água. Uma das válvulas, sozinha, leva 20 horas para esvaziar a caixa d' água e a outra, também sozinha, gasta 30 horas para esvaziar a referida caixa d'água;
g. o Setor de Aprovisionamento só pode iniciar a confecção do almoço assim que o nível de água atingir 4/5 do nível total da caixa d' água;
h. o Setor de Aprovisionamento gasta 02 h e 20 min para confeccionar o almoço;
i. Considere que:
1) o abastecimento da caixa d'água iniciou às 06 h apenas pela CORSAN;
2) depois de 1 hora, o abastecimento passou a ser realizado pelas três fontes, CORSAN, poço artesiano e caminhão-pipa;
3) após 2h do início do abastecimento, as válvulas de escoamento, por um descuido, foram abertas simultaneamente e permaneceram assim até o final do abastecimento, quando a caixa d'água ficou totalmente cheia. Assim que este nível de abastecimento foi atingido, todas as fontes de abastecimento e válvulas de escoamento foram fechadas.
De posse das informações acima, calcule o horário mais cedo possível que o almoço estará pronto.Resolução comentada
Análise das alternativas
Um dos eventos que espelha esse espírito é a apresentação artístico-cultural das delegações. Antes de iniciarem sua apresentação, os alunos da equipe do CMSM abraçaram individualmente todos os outros integrantes. O mesmo gesto se repetiu ao final da apresentação.
Figura 2: Apresentação Artístico – Cultural do CMSM – Jogos da Amizade 2019
Fonte:http://www.cmsm.eb.mil.br/index.php/component/content/article?id=999&
Na hora da premiação, 5 (cinco) alunos deixaram de subir ao palco. Antes de receber os cumprimentos e a premiação das mãos do Comandante do CMSM pela bela apresentação, cada aluno que subiu ao palco apertou a mão de todos os outros que subiram ao palco, repetindo o gesto após a premiação.
Sabe-se que o número de abraços somados ao número de apertos de mão totalizaram 1470 gestos. De posse das informações acima, calcule quantos apertos de mão foram realizados pela equipe artístico-cultural do CMSM.
Figura 3: Túnel
Fonte: www.google.com.br/imagens+de+arco+tunel
Lembrando que:
a. a passagem do avião deverá ser realizada com o avião paralelo ao solo;
b. o arco descrito na entrada do túnel é dado pela função: y = 32x − 4x²;
c. a altura máxima do avião (T27 Tucano) é 3 metros e 40 centímetros.
De posse das informações acima, determine o gráfico que melhor representa o arco descrito na entrada do túnel.
Figura 4: Invernada Artística do CMSM
Fonte: CMSM
Em uma viagem realizada para Pelotas em junho do corrente ano, o CMSM fretou um ônibus para o deslocamento da Invernada por R$ 7200,00.
Entretanto, uma semana antes do evento, 4 (quatro) alunos desistiram da viagem, pois torceram o tornozelo durante os ensaios. Na véspera do embarque, mais dois alunos desistiram porque estavam muito gripados.
Sabe-se que:
a. o preço individual da passagem, depois que 4 (quatro) alunos torceram o tornozelo e desistiram da viagem, aumentou em 1/8 em relação ao preço individual inicial;
b. o preço individual final, depois que dois alunos gripados desistiram do passeio, aumentou em R$ 15,00 em relação ao preço individual depois que quatro alunos desistiram da viagem por terem torcido o tornozelo;
c. na delegação havia 2 (dois) professores e 2 (dois) monitores, além dos alunos.
De posse das informações acima, calcule quantos alunos realizaram o passeio para Pelotas.
Figura 5: Torre Eiffel – Paris/França
Conforme croqui abaixo (figura 6), sabe-se que:
a. a turista brasileira encontra-se inicialmente localizada no ponto A;
b. o topo da Torre está materializado pelo ponto C;
c. a referida turista ao deslocar-se em linha reta, 100 metros à frente, do ponto A para o ponto B, observa o mesmo topo da Torre, ponto C, sob um ângulo de 60º.
Figura 6: Croqui de observação da Torre Eifell
Fonte: CMSM
De posse das informações acima, calcule a distância da turista, quando localizada no ponto A, da base da Torre Eiffel no ponto D.
Tabela 1: Premiação da OBMEP
Ano | Medalha de Ouro | Medalha de Prata | Medalha de Bronze | Menção Honrosa
2018 | 04 | 07 | 10 | 16
2017 | 01 | 10 | 07 | 16
2016 | 02 | 04 | 07 | 14
Fonte: CMSM
Estabelecendo uma razão entre o número de premiados (medalha ou menção honrosa) com o total de premiados, analise a tabela dada e determine em que ano respectivamente:
I. o percentual de medalhista de ouro foi maior;
II. o percentual de medalhistas de bronze foi menor; e
III. o percentual de menção honrosa foi maior.Resolução comentada
Análise das alternativas
Figura 7: XIII Jogos da Amizade - 2019
Fonte: www.cmsm.eb.mil.br/index.php/component/content/article/95-jogos-amizade-2019/996-ja-2019-resultados-do-dia-02-jul?
Sabe-se que:
a. o grupo de atletas é composto por alunos de 14, 15, 16 e 17 anos; e
b. a tabela a seguir espelha a idade dos alunos e a quantidade deles por idade
Tabela 2: Idade dos alunos / Quantidade
Idade | 14 | 15 | 16 | 17
Quantidade | x | 02 | 05 | 3x
Fonte: CMSM
c. a média aritmética ponderada das idades dos jogadores de futebol society do Colégio Militar de Santa Maria é de 16 anos; e
d. o número de alunos com 17 anos é o triplo daqueles com 14 anos.
De posse das informações, calcule quantos alunos tinham 17 anos.
Sabe-se que:
a. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto A é de 30 m;
b. a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto B é de 40 m;
c. distância do atleta localizado no ponto P para o atleta posicionado no ponto C é de 50 m; e
d. a figura ABCD é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a 90º e seus lados opostos são paralelos entre si e iguais.
Figura 8: Treinamento de passe com precisão
Fonte: CMSM
Da análise dos dados acima, calcule a distância do atleta localizado no ponto P para o atleta localizado no ponto D.
Uma outra rotina do Comandante é almoçar com os alunos das diversas séries uma vez por semana. Nesse mesmo dia, 22 de agosto, em um almoço com os alunos do sexto ano, ele cumprimentou um aluno aniversariante do mês, que nasceu no dia 15 de agosto de 2007.
Da análise das informações acima, há quantos anos a idade da referida professora de Português era o quadrado da idade do citado aluno do sexto ano?Resolução comentada
Análise das alternativas
Figura 9: Trajeto para realização da prova da OBMEP
Fonte CMSM
Sabe-se que as retas transversais aos segmentos AB e AC são retas paralelas entre si. O percurso escolhido pelo aluno para deslocar-se de casa até o local da prova foi todo ele sobre a reta r, do vértice A ao vértice B. De posse dessas informações, calcule a distância a ser percorrida pelo aluno de sua casa até o local da prova.
Tabela 3: Média dos alunos
Aluno | Nota
Aluno Marcos de Oliveira | 45
Aluna Maria Cecília | 23
Aluno João Batista | 19
Aluna Carla da Silva | 27
Aluno Pedro Alcântara | 48
Aluna Viviane de Souza | 63
Aluna Martha de Assis | 81
Aluno Vitor Castilhos | 76
Aluna Bianca Ferreira | 86
Aluno Mateus Henrique | 92
Aluna Joana Mendes | 98
Aluno Jorge Luis | 98
Fonte: CMSM
Com base nos dados obtidos, foram calculados os seguintes parâmetros estatísticos:
I) Média Aritmética: 63;
II) Moda: 98; e
III) Mediana: 69,5.
Sobre os parâmetros acima, podemos afirmar que:Resolução comentada
Análise das alternativas
Nos últimos dois anos, o Colégio Militar de Santa Maria, em suas atividades no contraturno escolar, disponibilizou a um grupo de 30 alunos voluntários, do oitavo e nono anos, uma preparação para a Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP). Os alunos, sob orientação de um professor de Matemática, reuniam-se quinzenalmente durante cinco meses para estudar temas e problemas engenhosos.
Em 2018, quatorze alunos se classificaram para a prova da 2ª fase, dos quais 03 (três) foram medalhistas de ouro; 02 (dois), medalhistas de prata; 04 (quatro), medalhistas de bronze e 02 (dois) receberam menção honrosa. Em 2019, a Olimpíada está em andamento e treze alunos do nível 2 se classificaram para a 2ª fase.
Figura 10: Clube de Matemática – preparação para OBMEP 2018
Fonte: CMSM
Ao estudar potenciação, na preparação para 1ª fase da olimpíada em 2019, o professor de Matemática apresentou a seguinte questão:
Dadas as potências 17¹⁴, 31¹¹, 2⁵⁵ e 34¹⁴, coloque-as em ordem crescente, ou seja, ordene-as do menor para o maior valor númerico.
Figura 11: Desafio de Geometria
Fonte: CMSM
Sabe-se que:
a. Dadas duas retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos alternos internos são iguais, ou seja, se r // s então α = β.
Figura 12: Paralelismo de retas
Fonte: CMSM
b. Na figura 11:
1) a distância AC = 1 cm;
2) o ângulo FCB = γ;
3) o ângulo ACB = θ;
4) o triângulo ABC é retângulo em B;
5) o quadrilátero FCED é um retângulo, ou seja, todos os ângulos internos são iguais a 90º e os lados opostos são paralelos e iguais.
Considerando o triângulo AFC e os ângulos γ e θ dados na figura 11 acima, determine o comprimento do segmento AF.
Figura 13: Trigonometria
Fonte: CMSM
a) o triângulo ABC é retângulo em B;
b) o ângulo CAB = 60º ;
c) o ângulo BCE = 30º ;
d) CE é perpendicular a DE;
e) AD é perpendicular a BD;
f) o comprimento AC = 2 cm.
Da análise dos dados acima, determine a distância AE
Marque a alternativa que corresponde a resposta correta da inequação K · W⁻¹ ≥ 0, no universo dos números reais.Resolução comentada
Análise das alternativas
Assim, podemos afirmar que a forma simplificada encontrada foi:
Figura 14: medalhista de ouro OBMEP do CMSM/2018
Fonte: CMSM
O fotógrafo posicionou-se a 3 metros de distância, em frente à aluna localizada no ponto B (primeira linha), contudo, não conseguiu uma boa imagem. Pediu, então que se afastassem 1 metro (segunda linha), permanecendo todos alinhados.
Considere que:
a. o fotógrafo permaneceu na mesma posição (ponto A); e
b. as linhas formadas pelos medalhistas, na primeira e na segunda posição, são paralelas, conforme figura 15 abaixo:
Figura 15: esquema das posições para a fotografia
Fonte: CMSM
De posse das informações acima, calcule a distância entre o fotógrafo e a aluna posicionada no ponto C' (segunda linha de alunos).
Figura 16: gráfico das funções f(x) e g(x)
Fonte: CMSM
Analisando os gráficos e as afirmações abaixo, marque a alternativa que corresponde às afirmativas falsas.
I. As duas funções são crescentes;
II. O valor de x para g(x)=0 é 3;
III. O valor de y para f(0) é igual a 9;
IV. O ponto de intersecção das duas funções é o ponto de coordenadas (6,9);
V. Somente a função g é crescente;
(2√2 − √3)/(√3 + 2√2) − (√3 + 2√2)/(√3 − 2√2)
Da análise dos dados, simplifique a expressão e marque a alternativa correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
A comissão de pais de alunos do 9º ano do CMSM, responsável pela festa de formatura de seus filhos em 2019, levantou algumas propostas de confraternização ao término do ano letivo. Uma ideia foi a realização de um passeio ao Parque Temático Beto Carrero World na cidade de Penha, SC. A viagem envolvia o deslocamento aéreo entre Santa Maria-RS e Florianópolis-SC e a realização de um trecho rodoviário entre Florianópolis e Penha.
No dia 20 de julho do corrente, um temporal com ventos de mais de 100 Km/h provocou estragos e apagão no Rio Grande do Sul, assolando a cidade de Santa Maria. No dia seguinte, o Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) amanheceu sem água pois o reservatório estava totalmente vazio.
Em julho do corrente ano, o Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) deslocou-se para cidade de Resende – RJ para participar do XIV Jogos da Amizade, evento que reúne os treze Colégios Militares de todo Brasil para inúmeras competições esportivas e que tem como objetivo principal desenvolver o espírito de união, de congraçamento e de camaradagem entre as delegações.
O esquadrão de Demonstração Aérea, grupo de pilotos e mecânicos da Força Aérea Brasileira que faz demonstrações de acrobacias aéreas pelo Brasil e pelo mundo, em umas de suas mais novas manobras, planeja passar com um de seus aviões dentro do túnel abaixo apresentado.
A Invernada Artística do Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) realiza diversas viagens pelo estado do Rio Grande do Sul para apresentação do grupo de danças gaúchas. A turnê é composta por alunos, professores e monitores.
Uma turista brasileira, ao visitar Paris, capital da França, observa o topo da Torre Eiffel, sob um ângulo de 45º.
Nas três últimas edições da Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP), o Colégio Militar de Santa Maria obteve as seguintes premiações, conforme tabela a seguir:
Anualmente, o Sistema Colégio Militar do Brasil (SCMB) realiza uma olimpíada esportiva entre os treze colégios que compõem o Sistema, conhecido como "Jogos da Amizade". Dentre as diversas modalidades esportivas disputadas na competição no corrente ano, o futebol society foi uma das mais empolgantes. A equipe de futebol do Colégio Militar de Santa Maria (CMSM) ficou em 3º lugar.
Durante a preparação para os jogos da amizade em 2019, o treinador de futebol do CMSM resolveu treinar passe com precisão. Ele posicionou um atleta próximo ao meio-campo (ponto P) e outros quatro atletas na extremidade do campo (pontos A, B, C e D), conforme figura 8 a seguir.
O Comandante e Diretor de Ensino do CMSM, todo final de mês, reúne os integrantes do Colégio Militar para cumprimentar os aniversariantes do mês. No dia 22 de agosto do corrente, ele parabenizou uma professora de Português que nasceu no dia 15 de agosto de 1965.
A figura seguinte apresenta os possíveis trajetos que um determinado aluno poderá percorrer de sua casa (ponto A) até o local onde será realizada a prova da 2ª fase da OBMEP em 2019 (ponto B).
Em 2018, os alunos do 9º Ano do CMSM que participaram da 2ª fase da OBMEP obtiveram as seguintes médias:
Texto-base:
A segunda fase da OBMEP em 2019 será realizada na Universidade Federal de Santa Maria no dia 28 de setembro do corrente ano. Um problema instigante e desafiador de geometria foi apresentado aos alunos do CMSM durante a preparação, segundo a figura 11 a seguir.
Ao ministrar revisão de Geometria para 2ª fase da OBMEP em 2018, o professor de Matemática, explorando a figura 13 abaixo, apresentou os dados a seguir:
Uma das atividades da lista, proposta pelo professor, constava o seguinte enunciado: determinar o valor de K·W⁻¹ ≥ 0, no universo dos números reias, sendo K = −2x²+7x−3 e W = 2x² − x.
Na semana que antecedeu o exame da 2ª fase em 2018, buscando um aprimoramento contínuo, o professor apresentou aos alunos a expressão:
Em julho de 2019, 04 (quatro) alunos do CMSM, medalhistas de ouro na OBMEP, viajaram à cidade de Salvador a convite da equipe organizadora da OBMEP, a fim de participarem da premiação. Para eternizar este momento, decidiram tirar uma fotografia no palco do auditório, posicionando-se todos alinhados.
A figura a seguir apresenta o gráfico da função f e o gráfico da função g, funções do primeiro grau de R em R.
O enunciado de um desafio de radiciação apresentava a expressão numérica a seguir: