Provas – VaiConcursos

Lógica Matemática Equivalências Lógicas

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

Gabarito disponível

Analisando as informações sobre as operações lógicas que são apresentadas em uma tabela-verdade para proposições “p” e “q”, assinale a alternativa em que os conceitos que envolvem equivalência lógica estejam corretamente indicados.

Selecione uma alternativa A) p ∨ (p ⋀ q) ≡ q B) [p → (p ⋀ q)] ≡ q → p C) (p ⋀ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → ~r) D) [(p → q) → r] ≡ [(p ⋀ ~r) → q] E) (p → ~q) ≡ (q → ~p)

Resolução comentada

Equivalência lógica: p → ~q ≡ q → ~p (contrapositiva).

A contrapositiva de p → ~q é ~(~q) → ~p, isto é, q → ~p. Portanto as duas proposições são equivalentes.

Análise das alternativas

A) p ∨ (p ∧ q) ≡ p (absorção), não q. B) p → (p ∧ q) ≡ p → q, que não é q → p. C) (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r), e não com ~r. D) (p → q) → r não equivale a (p ∧ ~r) → q.

Referência: Equivalências lógicas: contrapositiva e absorção.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Teoria dos Conjuntos

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

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Com base nas definições de operações com conjuntos, assinale a alternativa que represente uma igualdade verdadeira.

Selecione uma alternativa A) A ∪ (Aᶜ ∩ B) = A ∪ B B) A ∪ (Aᶜ ∩ B) = A ∩ B C) A ∪ (A ∩ B) = B D) (A ∩ U) ∩ (Aᶜ ∪ ∅) = A E) (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∩ A) = ∅

Resolução comentada

Identidade com conjuntos: A ∪ (Aᶜ ∩ B) = A ∪ B.

Pela distributiva, A ∪ (Aᶜ ∩ B) = (A ∪ Aᶜ) ∩ (A ∪ B) = U ∩ (A ∪ B) = A ∪ B. Logo a alternativa A é verdadeira.

Análise das alternativas

B) O resultado é A ∪ B, não A ∩ B. C) A ∪ (A ∩ B) = A, não B. D) (A ∩ U) ∩ (Aᶜ ∪ ∅) = A ∩ Aᶜ = ∅, não A. E) (A ∩ B) ∪ (Bᶜ ∩ A) = A, não ∅.

Referência: Álgebra de conjuntos: propriedades distributiva, absorção e complemento.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Radicais Duplos

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

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O número irracional p = Raiz quadrada de (7 − √24)

pode ser escrito sob a forma de radicais simples.

Considerando a afirmativa acima, avalie as asserções e a relação proposta entre elas.

I. O valor de “p” na forma de radicais simples é √6 – 1.

PORQUE

II. Em algumas expressões com radicais duplos, a fatoração pode ser desenvolvida por meio de uma equivalência com a expressão (x − y)³ = x³ − 3.x².y + 3.x.y² − y³.

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E) As asserções I e II são proposições falsas.

Matemática Critérios de Divisibilidade

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

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Seja p = a003b um número de 5 algarismos. Sabendo que p é um número divisível por 3, é correto afirmar que a soma a + 3 + b é divisível por

Resolução comentada

Critério de divisibilidade por 3 aplicado a a003b.

Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos o for. A soma é a + 0 + 0 + 3 + b = a + 3 + b, que portanto é divisível por 3.

Análise das alternativas

Divisibilidade por 3 de p não garante divisibilidade por 2, 5, 7 ou 8 de a + 3 + b. Por exemplo, a + 3 + b = 3 é divisível por 3 mas não por 2, 5, 7 ou 8.

Referência: Critério de divisibilidade por 3.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Números Complexos — Potenciação

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Com base na expressão (−1/2 + (√3/2)i)^100

, assinale a alternativa que possua corretamente sua forma algébrica.

Matemática Problemas de Trabalho Conjunto — Vazão

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Em um complexo sistema de lavagem de carro, cinco funcionários empregam cinco mangueiras concomitantemente para a lavagem completa de um veículo, porém com vazões distintas. O primeiro gasta 30 minutos para lavar todo o carro; o segundo, 45 minutos; o terceiro, 60 minutos; o quarto, 75 minutos; e o quinto, 90 minutos. Estando um veículo completamente sujo, os cinco funcionários ligam as mangueiras simultaneamente. Houve um problema, e os três últimos funcionários citados precisaram se ausentar após 5 minutos e fecharam as três últimas mangueiras.

Assinale a alternativa que indique corretamente o tempo necessário para que os outros funcionários terminem a lavagem.

Selecione uma alternativa A) exatos 9 minutos B) 9 minutos e 20 segundos C) 9 minutos e 10 segundos D) 8 minutos e 42 segundos E) exatos 8 minutos

Resolução comentada

Trabalho conjunto com vazões diferentes e saída de três funcionários.

Em 900 unidades, as taxas por minuto são 30, 20, 15, 12 e 10, totalizando 87. Em 5 minutos fazem 435, restando 465. Os dois primeiros fazem 50 por minuto, então levam 465/50 = 9,3 min. Esse valor (9 min 18 s) é o mais próximo de 9 min 20 s, a alternativa B do gabarito.

Análise das alternativas

A) 9 min exatos e E) 8 min ficam mais longe de 9,3 min. C) 9 min 10 s e D) 8 min 42 s também ficam mais longe que B. Observação: o cálculo exato dá 9 min 18 s, e a B é a mais próxima.

Referência: Problemas de torneiras/vazão: soma das taxas de trabalho.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Financeira Juros Simples

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

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Um investidor recebeu o valor de R$ 33.728,00 depois de realizar uma aplicação há 72 dias a uma taxa de juros simples de 4,5% ao bimestre.

Considerando a situação acima, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I. O montante investido foi R$ 32.000,00.

PORQUE

II. Para chegar a esse resultado, o procedimento é usar a fórmula C = M / (1 + i.t) .

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E) As asserções I e II são proposições falsas.

Matemática Financeira Equivalência de Capitais

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Um vendedor oferece três planos de pagamento a um cliente para a aquisição de um eletrodoméstico com a taxa de 8% a.m. O primeiro é o pagamento à vista por R$ 400,00; o segundo, R$ 489,00 em três vezes sem entrada; e o terceiro, R$ 450,00 em 1 + 2.

Com base na situação mostrada, assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa A) O melhor plano oferecido pelo vendedor é o segundo, já que à vista equivaleria a R$ 420,07. B) O pior plano oferecido é o primeiro. C) O terceiro plano equivale a pagar R$ 417,49 à vista. D) Caso a taxa fosse 15% a.m., o valor atual equivalente ao terceiro plano seria R$ 350,00. E) Caso a taxa fosse 15% a.m., o valor atual equivalente ao segundo plano seria R$ 420,00.

Resolução comentada

Comparação de planos de pagamento a 8% a.m. pelo valor atual.

No plano 3, os R$ 450 em 1+2 são divididos em 3 parcelas de 150: 150 + 150/1,08 + 150/1,08² ≈ 150 + 138,89 + 128,60 = R$ 417,49 à vista. Isso confirma a alternativa C.

Análise das alternativas

A) O plano 2 vale 163·(1/1,08 + 1/1,08² + 1/1,08³) ≈ R$ 420,07, mas o melhor plano é o à vista (R$ 400), então a afirmativa é falsa. B) O plano 1 é o melhor, não o pior. D e E) A 15% a.m. os valores atuais seriam outros (cerca de 135+... para o plano 3, ≈ R$ 392; para o plano 2, ≈ R$ 372), e não R$ 350 ou R$ 420.

Referência: Matemática financeira: equivalência de capitais a juros compostos.

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Matemática Financeira Sistema de Amortização Constante (SAC)

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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O Sistema de Amortização Constante (SAC) caracteriza-se pelo valor das amortizações iguais e prestações decrescentes. Um empréstimo de R$ 5.200,00 pelo SAC foi realizado no prazo de 3 meses a uma taxa de 5,0712% a.m. Assinale a alternativa que indique corretamente o valor da prestação no terceiro mês.

Selecione uma alternativa A) R$ 1.821,23 B) R$ 1.909,13 C) R$ 1.997,03 D) R$ 3.466,66 E) R$ 5.727,40

Resolução comentada

Prestação do 3º mês no SAC.

A amortização é 5.200/3 = 1.733,33. No 3º mês o saldo devedor antes do pagamento é 1.733,33, e o juro é 1.733,33 × 0,050712 ≈ 87,90. A prestação é 1.733,33 + 87,90 ≈ R$ 1.821,23.

Análise das alternativas

B (1.909,13) seria a prestação do 2º mês e C (1.997,03) a do 1º. D é o dobro da amortização. E soma valores sem relação com a prestação do 3º mês.

Referência: Sistema de Amortização Constante: prestação = amortização + juros sobre o saldo devedor.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Financeira Juros Simples

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Um vencedor da loteria, ao ganhar o prêmio de R$ 1.000.000,00, realizou um investimento em duas parcelas. A primeira com a taxa de 5% a.m., e a segunda, 6% a.m., e ambas à taxa de juros simples. Assinale a alternativa que indique, respectiva e corretamente, os valores investidos nas duas parcelas para que, ao final de 5 meses, o juro total tenha sido de R$ 275.000,00.

Selecione uma alternativa A) R$ 500.000,00 e R$ 500.000,00 B) R$ 400.000,00 e R$ 600.000,00 C) R$ 600.000,00 e R$ 400.000,00 D) R$ 300.000,00 e R$ 700.000,00 E) R$ 700.000,00 e R$ 300.000,00

Resolução comentada

Juros simples com duas parcelas e juro total conhecido.

Seja a a primeira parcela. O juro mensal é 0,05a + 0,06(1.000.000 − a) = 60.000 − 0,01a. Em 5 meses o total é 275.000, então o juro mensal é 55.000, o que dá a = 500.000. As parcelas são R$ 500.000 e R$ 500.000.

Análise das alternativas

B) 400/600 mil: juro mensal 56.000, total 280.000. C) 600/400 mil: juro mensal 54.000, total 270.000. D) 300/700 mil: juro mensal 57.000, total 285.000. E) 700/300 mil: juro mensal 53.000, total 265.000. Nenhuma dá 275.000.

Referência: Juros simples: J = C·i·n.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Matemática Regra de Três

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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A tropa “Alfa”, formada por 9 soldados e 1 cabo em uma atividade de campo, possui suprimento de alimentação para sobreviver durante os 40 dias de treinamento da quarentena. Após os primeiros 4 dias, outros dois companheiros que estavam na patrulha “Charle” se perdem e se juntam à tropa “Alfa”. Se o consumo diário por pessoa se mantiver o mesmo, a alimentação será suficiente para alimentar todos por

Resolução comentada

Regra de três com consumo de suprimento total em pessoa-dias.

O suprimento total é 10 pessoas × 40 dias = 400 pessoa-dias. Após 4 dias restam 360 pessoa-dias e agora são 12 pessoas, então dura 360/12 = 30 dias.

Análise das alternativas

2, 5, 10 e 16 dias não resultam de 360/12. Somente 30 dias está correto.

Referência: Regra de três composta (grandezas inversamente proporcionais).

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Geometria Analítica Hipérbole

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Uma hipérbole é o conjunto de pontos no plano, cujo valor absoluto da diferença das distâncias a dois pontos fixos é uma constante. Os dois pontos fixos são denominados de focos.

Com base nessa informação, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.

I. Se 2a for a constante e a hipérbole tiver como focos F₁(c , 0) e F₂(−c , 0), então empregamos a² = b² + c².

PORQUE

II. A fórmula da equação hipérbole com focos F₁(c , 0) e F₂(−c , 0) será dada por x²/a² − y²/b² = 1

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E) As asserções I e II são proposições falsas.

Geometria Analítica Vetores — Produto Escalar

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Sejam A, B ∈ ℝ³ dois pontos dados por A = (4, −2,1) e B = (3,5,2) e v⃗ = (2, −2,0), o produto escalar dado por vetor v · vetor AB

será

Geometria Analítica Distância entre Ponto e Reta

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Seja P(2,0,1) e a reta r: Sistema: x = −1 + 2t; y = 2 − 3t; z = 3 + t

, a distância entre o ponto P e a reta r será de

Geometria Analítica Vetores — Produto Vetorial

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Dados dois vetores u = ai + bj + ck e v = di + ej + fk (com setas de vetor), chamamos de produto vetorial e o simbolizamos por u ∧ v. Realizando a operação, teremos u ∧ v = determinante com linhas (i, j, k), (a, b, c), (d, e, f). Considerando o cenário acima, avalie as asserções e a relação proposta entre elas.

I.

Assim sejam A, B, C ∈ ℝ³ três pontos, a área do paralelogramo formado pelos vetores AB e AC é dada por A = ‖AB ∧ AC‖.

PORQUE

II. A altura do ∆ABC relativa ao lado AB mede h = ‖AB‖‖AB ∧ AC‖

A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.

Selecione uma alternativa A) As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I. B) As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa da I. C) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. D) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. E) As asserções I e II são proposições falsas.

Geometria Analítica Vetores — Produto Vetorial

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O plano π: − 4x − 3y + 6z = −24 intercepta os eixos cartesianos em três pontos A, B e C, onde A pertence ao eixo X, B pertence ao eixo Y e C pertence ao eixo Z. O resultado de vetor AB ∧ vetor AC

será

Selecione uma alternativa A) 32i⃗ + 24j⃗ + 48k⃗. B) 20i⃗ + 24j⃗ − 48k⃗. C) −32i⃗ + 24j⃗ + 4k⃗. D) 32i⃗ − 2j⃗ − 48k⃗. E) 32i⃗ − 2j⃗ + 3k⃗.

Matemática Probabilidade

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Um professor apresenta à turma 200 cartas e diz que, antes de chegar, já havia escolhido 7 delas lançando o desafio de cálculo de probabilidades. Um dos alunos tentou a sorte e calculou a probabilidade de acertar as 7 cartas escolhendo dentre 8, obtendo, assim, o valor “x” de probabilidade de acertar. Um outro estudante fez outros cálculos supondo escolher 10 cartas e obteve a probabilidade “y” de acerto das 7. Assinale a alternativa que indique a correta relação entre “x” e “y”.

Resolução comentada

Probabilidade de acertar as 7 cartas escolhendo entre 8 (x) e entre 10 (y).

Lendo o enunciado como escolha de 7 cartas entre 8 e entre 10 cartas, x = 1/C(8,7) = 1/8 e y = 1/C(10,7) = 1/120. Então x/y = 120/8 = 15, ou seja, x = 15y. Isso equivale a 15y = x apenas se a leitura da banca for a de que x é o maior valor.

Análise das alternativas

A) y = 9x e D) y = 56x: y é menor que x, não maior. C) x = 2y: a razão é 15, não 2. E) x = 56y: a razão não é 56. Ficam as alternativas B, que corresponde ao gabarito, e as demais, que não correspondem. Observação: B está escrita como "15y = x", que coincide com x = 15y.

Referência: Análise combinatória e probabilidade: P = 1/C(n,k).

Resolução comentada do VaiConcursos.

Álgebra Linear Matrizes — Operações

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

Exército Brasileiro · Oficial do Quadro Complementar — Magistério Matemática · Caderno Tipo A

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Sejam as matrizes A = matriz com linhas (3, 1) e (2, 0) e B = matriz com linhas (1, 0) e (3, 4)

, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de A² + 2AB + B².

Álgebra Linear Determinantes

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Seja a matriz A = Matriz 4×4 com linhas (1, 0, 0, 0), (0, −5, 0, 0), (3, −2, 2, 0) e (7, 8, −3, 4)

. Sendo p = det(A) e f(x) = x/10 + 1

, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de f(p).

Álgebra Linear Transformações Lineares — Inversa

Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) 2019 Superior

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Seja T: ℝ³ → ℝ³ uma transformação linear dada por T(x, y, z) = (x − 2y , z , x + y). Admitindo a existência de uma T⁻¹, onde T⁻¹ é uma inversa de T, assinale a alternativa que indique corretamente o valor de T⁻¹(2,0,1).