← Voltar para a lista de provas Exército Brasileiro — Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) · Concurso de Admissão — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Girard aplicado às duas equações. Na primeira equação, a + b = -2 e ab = 8. Para a segunda, a soma das raízes é (a+1)+(b+1) = 0, logo m = 0. O produto é ab + a + b + 1 = 8 - 2 + 1 = 7, logo n = 7. Assim m + n = 7. -2, -1, 4 e 8 resultam de erros de sinal ou de cálculo de m ou n. A soma correta é 7 (D). Referência: Relações de Girard. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Teorema do resto: P(3) = P(-2). P(3) = 162 - 135 + 3k - 1 = 26 + 3k. P(-2) = 32 + 40 - 2k - 1 = 71 - 2k. Igualando, 5k = 45, logo k = 9. 10, 8, 7 e 6 não satisfazem a igualdade P(3) = P(-2). Só k = 9 (B) satisfaz. Referência: Teorema do resto. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Abscissa do vértice independe de c. Para f(x) = x² + 3x + c, xv = -b/(2a) = -3/2, independentemente de c. Logo os vértices pertencem à reta vertical x = -3/2. A e D são retas não verticais, mas yv varia com c. C e E têm abscissas erradas (-9/2 e 3/2). Só B está correta. Referência: Vértice da parábola. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Raízes em PA e relações de Girard. Sejam as raízes a-r, a, a+r. A soma é 3a = 3, logo a = 1. A soma dos produtos dois a dois é 3a² - r² = -6, então r² = 9. O produto das raízes é a(a² - r²) = 1·(1 - 9) = -8 = -k, logo k = 8 e k/2 = 4. 5/2, 7/2, 3 e 9/2 não satisfazem k = 8. O valor correto de k/2 é 4 (B). Referência: Relações de Girard; progressão aritmética. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Princípio multiplicativo com combinações. Capitão: C(3,1) = 3. Tenentes: C(5,2) = 10. Sargentos: C(7,2) = 21. Total = 3·10·21 = 630. 570, 315, 285 e 210 vêm de omitir fatores ou usar arranjos/combinações erradas. O produto correto é 630 (A). Referência: Análise combinatória: combinação simples e princípio multiplicativo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Reduzir a inequação a uma quadrática em sen x. Substituindo cos²x = 1 - sen²x, obtemos 2 - 2sen²x + sen x > 2, ou seja, sen x(1 - 2sen x) > 0, o que dá 0 < sen x < 1/2. Em [0,π], isso ocorre para x ∈ ]0, π/6[ ∪ ]5π/6, π[.
A e B cobrem só um dos intervalos. C e D usam π/3, que corresponde a sen x = √3/2, valor errado. Só E reúne os dois intervalos corretos. Referência: Inequações trigonométricas; identidade fundamental. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Trapézio retângulo com diagonais perpendiculares: h² = AB·CD. Com diagonais perpendiculares no trapézio retângulo, os triângulos retângulos formados são semelhantes, e a altura é a média geométrica das bases: h² = 2·18 = 36, logo h = 6. A área é (2 + 18)/2 · 6 = 60 cm². 30 esquece uma das metades. 120, 180 e 240 resultam de alturas ou fórmulas incorretas. O valor correto é 60 (B). Referência: Área do trapézio; semelhança de triângulos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Posição relativa de retas no tronco de pirâmide quadrangular regular. A diagonal da base maior e um lado da base menor estão em planos paralelos distintos, então não se cruzam. Elas também não são paralelas, pois a diagonal não é paralela aos lados do quadrado. Logo são reversas. A) Arestas laterais adjacentes se encontram na face lateral, ou seja, são coplanares. B) A aresta lateral toca a diagonal da base menor no vértice, então são concorrentes. C) Lados de bases diferentes nem sempre são paralelos (os lados da base maior não paralelos ao da menor são reversos a ele). E) A diagonal da base maior e a diagonal de uma face podem se encontrar em um vértice, então não são necessariamente reversas. Referência: Geometria espacial de posição. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Retas paralelas a r que determinam cordas de 8 na circunferência. A circunferência tem centro (2,1) e raio 5. Corda 8 implica distância ao centro d = √(25 - 16) = 3. Então |3·2 + 4·1 + c|/5 = 3, o que dá |10 + c| = 15, logo c = 5 ou c = -25. As retas são 3x+4y+5=0 e 3x+4y-25=0. A, B e D trazem combinações de constantes que não satisfazem c = 5 e c = -25 simultaneamente. C tem coeficientes que não são paralelos a r. Só E está correta. Referência: Distância ponto-reta; corda e distância ao centro. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma infinita de PG das áreas dos cubos sucessivos. Uma esfera inscrita no cubo de aresta a tem diâmetro a. Esse diâmetro é a diagonal do cubo seguinte, então a' = a/√3. A razão entre as áreas é 1/3. A área do primeiro cubo é 6, e a soma é 6/(1 - 1/3) = 9. 7, 8, 10 e 11 vêm de razões ou áreas iniciais incorretas. Só 9 (C) resulta de 6 e razão 1/3. Referência: PG infinita: S = a1/(1 - q); cubo e esfera inscritos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Relação de Euler para descobrir o tipo de polígono P. O poliedro tem F = 1 + 18 = 19 faces e V = 13 vértices. Por Euler, V - A + F = 2, então A = 30. A soma dos lados das faces é 2A = 60 = 6 + 18n, logo n = 3, ou seja, P é um triângulo. Dodecágono, octógono, pentágono e quadrilátero dariam somas de lados diferentes de 60 (por exemplo, n = 4 daria 78). Só o triângulo (E) fecha a conta. Referência: Relação de Euler: V - A + F = 2. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Esfera de raio 10 inscrita em cone equilátero: o raio da esfera é o inraio do triângulo equilátero da seção meridiana. A seção meridiana é um triângulo equilátero e a esfera é inscrita nele. Logo o inraio é 10 e a altura vale h = 3·10 = 30. O raio da base é R = h/√3 = 10√3. V = (1/3)π·R²·h = (1/3)π·300·30 = 3000π cm³. 1000π, 1500π, 2000π e 2500π não resultam de h = 30 e R² = 300. Só 3000π (E) é compatível. Referência: Geometria espacial: cone equilátero e esfera inscrita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área sob f(x)=||x-4|-2| de 0 a 6, calculada por partes. Em [0,2], f = 2 - x (triângulo de área 2). Em [2,4], f = x - 2 (área 2). Em [4,6], f = 6 - x (área 2). A área total é 2 + 2 + 2 = 6. 2 e 4 contam só parte dos triângulos. 10 e 12 superestimam a área, pois o gráfico nunca passa de 2 em [0,6]. O correto é 6 (C). Referência: Função modular; área de triângulos sob o gráfico. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade total com duas etapas: a cor da bola transferida muda a composição da caixa 2. Se a bola transferida for amarela (3/10), a caixa 2 passa a ter 6 amarelas em 11 bolas. Se for verde (7/10), passa a ter 5 amarelas em 11. P = (3/10)(6/11) + (7/10)(5/11) = 18/110 + 35/110 = 53/110. As alternativas A, B, D e E não correspondem ao cálculo da probabilidade total. Só 53/110 (C) resulta da soma ponderada dos dois casos. Referência: Probabilidade total (lei da probabilidade total). Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx 2019 — Concurso de Admissão — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês — Modelo D
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Análise das alternativas
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Considerando um plano cartesiano de eixos ortogonais xy, com origem no ponto A, de modo que o semi-eixo x esteja na direção de AB, é correto afirmar que a função que modela o arco AB da seção transversal do telhado, com relação ao plano cartesiano de eixos xy, é dada porResolução comentada
Análise das alternativas
Os valores de m, n e k, são, respectivamente,
Com base nessas informações, a medida do segmento VN é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
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A tabela 2, por sua vez, fornece os valores anuais médios de arrecadação, em milhões de reais por hectare, referentes ao Imposto Predial e Territorial Urbano (IPTU), ao fornecimento de energia elétrica e ao fornecimento de água.
Considere as matrizes T₁ e T₂, associadas respectivamente às tabelas 1 e 2.
Seja aᵢⱼ os elementos da matriz resultante do produto T₁·T₂ᵗ. Nessas condições, a informação contida no termo de ordem a₂₂ desse produto de matrizes é o valor total arrecadado com
com k ∈ ℝ e k>0.
O produto dos valores reais de k para os quais a função f (x) tem uma raiz dupla é igual a
, a ∈ ℝ, tenha solução única éResolução comentada
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Se a equação polinomial x² +2x+8=0 tem raízes a e b e a equação x² +mx+n=0 tem raízes (a+1) e (b+1), então m+n é igual a
Dividindo-se o polinômio P(x)=2x⁴-5x³+kx-1 por (x-3) e (x+2), os restos são iguais. Neste caso, o valor de k é igual a
Considere a função quadrática f: ℝ→ℝ definida por f (x) =x² +3x+c, com c∈ℝ, cujo gráfico no plano cartesiano é uma parábola. Variando-se os valores de c, os vértices das parábolas obtidas pertencem à reta de equação:
Sabe-se que as raízes da equação x³-3x²-6x+k=0 estão em progressão aritmética. Então podemos afirmar que o valor de k/2 é igual a
O Sargento encarregado de organizar as escalas de missão de certa organização militar deve escalar uma comitiva composta por um capitão, dois tenentes e dois sargentos. Estão aptos para serem escalados três capitães, cinco tenentes e sete sargentos. O número de comitivas distintas que se pode obter com esses militares é igual a
O conjunto solução da inequação 2cos²x+sen x > 2, no intervalo [0, π], é
Um trapézio ABCD, retângulo em A e D, possui suas diagonais perpendiculares. Sabendo-se que os lados AB e CD medem, respectivamente, 2 cm e 18 cm, então a área, em cm², desse trapézio mede
O Exército Brasileiro pretende construir um depósito de munições, e a seção transversal da cobertura desse depósito tem a forma de um arco de circunferência apoiado em colunas de sustentação que estão sobre uma viga. O comprimento dessa viga é de 16 metros e o comprimento da maior coluna, que está posicionada sobre o ponto médio da viga, é de 4 metros, conforme a figura abaixo.
Considere um tronco de pirâmide quadrangular regular. Sobre esse sólido, é correto afirmar:
Na figura abaixo está representado um trecho do gráfico de uma função real da forma y=m·sen (nx)+k, com n > 0.
Na figura abaixo ABCDEF é um hexágono regular de lado igual a 1, ABMN e CDVU são quadrados.
As equações das retas paralelas à reta r: 3x+4y-1=0, que cortam a circunferência λ: x²+y²-4x-2y-20=0 e determinam cordas de comprimento igual a 8, são, respectivamente
A partir de um cubo de aresta 1, inscreve-se uma esfera; nessa esfera inscreve-se um novo cubo e neste, uma nova esfera. Repetindo essa operação indefinidamente, a soma das áreas totais desses cubos é igual a
Duas cidades A e B têm suas áreas urbanas divididas em regiões Comercial, Residencial e Industrial. A tabela 1 fornece as áreas dessas regiões em hectares para as duas cidades.
Seja f a função quadrática definida por
A condição para que o sistema
Um poliedro convexo, com 13 vértices, tem uma face hexagonal e 18 faces formadas por polígonos do tipo P. Com base nessas informações, pode-se concluir que o polígono P é um
Uma esfera de raio 10 cm está inscrita em um cone equilátero. O volume desse cone, em cm³, é igual a
A área da região compreendida entre o gráfico da função f(x)=||x-4|-2|, o eixo das abscissas e as retas x=0 e x=6 é igual a (em unidades de área)
Numa sala existem duas caixas com bolas amarelas e verdes. Na caixa 1, há 3 bolas amarelas e 7 bolas verdes. Na caixa 2, há 5 bolas amarelas e 5 bolas verdes. De forma aleatória, uma bola é extraída da caixa 1, sem que se saiba a sua cor, e é colocada na caixa 2. Após esse procedimento, a probabilidade de extrair uma bola amarela da caixa 2 é igual a