← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 55 com gabarito Gabarito disponível Achar o raio pelo comprimento da circunferência e depois o lado do quadrado. A circunferência mede 8 · 62,8 = 502,4 cm. De 2π r = 502,4 com π = 3,14, r = 80 cm. O tampo tem diâmetro 160 cm, que é o menor lado possível da placa quadrada. A, B e C resultam de erros no cálculo do raio ou de confundir raio com diâmetro. B (80 cm) é só o raio. E (180 cm) comportaria o tampo, mas não é a menor medida. Referência: Comprimento da circunferência: C = 2πr. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Usar o termo geral do binômio para o 5º termo. O 5º termo é C(n,4)·xⁿ⁻⁴·3⁴, e seu coeficiente é 81·C(n,4). Fazendo 81·C(n,4) = 5670, temos C(n,4) = 70, o que ocorre para n = 8. Para n = 5, 6, 7 e 9, C(n,4) vale 5, 15, 35 e 126, nenhum igual a 70. Referência: Binômio de Newton: T(k+1) = C(n,k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Achar a pelo valor de p(1) e depois as raízes. p(1) = 1 + a − 13 + 12 = 0 dá a = 0. Então p(x) = x³ − 13x + 12, com raízes 1, 3 e −4. A soma é 0, o que também decorre da fórmula −a (coeficiente de x²). A: a raiz 1 é simples. B: as outras raízes são reais (3 e −4). C: 3 é positiva. E: apenas 1 é quadrado perfeito, e 3 e −4 não são, então haveria duas raízes que não são quadrados perfeitos. Referência: Relações de Girard: soma das raízes = −a₂/a₃. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A função afim é crescente quando o coeficiente angular é positivo. Exige-se k² − 2k − 3 > 0. As raízes são −1 e 3, e a parábola é voltada para cima, então a desigualdade vale para k 3. A não tem relação com o sinal do coeficiente. B dá o intervalo em que o coeficiente é negativo (função decrescente). C usa "ou" com ≠, o que é sempre verdadeiro. D indica as raízes, em que a função é constante em x, se a parte afim for tomada isoladamente. Referência: Função afim f(x) = ax + b: crescente se a > 0; inequação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Em um quadrado, a diagonal BD é a mediatriz do segmento AC. O ponto médio de AC é (1, 1/2). O coeficiente angular de AC é (3+2)/(−1−3) = −5/4, então o de BD é 4/5. Assim y − 1/2 = (4/5)(x − 1), e multiplicando por 10 obtém-se 8x − 10y − 3 = 0. A, C e E têm coeficientes angulares ou pontos incompatíveis com a mediatriz de AC. D tem inclinação 4/5, mas não passa pelo ponto médio (1, 1/2). Referência: Geometria analítica: retas perpendiculares (m₁·m₂ = −1) e ponto médio. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Probabilidade condicional com espaço amostral reduzido aos casos de dado azul par. Com o azul par, há 3·6 = 18 resultados possíveis. A soma é 7 em (2,5), (4,3) e (6,1), ou seja, 3 casos. Logo P = 3/18 = 1/6. A (1/12) e E (1/18) subestimam os casos favoráveis. B (1/2) é a probabilidade de o azul ser par. D (1/3) não corresponde à contagem. Referência: Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Total de permutações menos aquelas em que Gomes e Oliveira ficam juntos. O total é 8!. Se os dois ficam juntos, tratamos o par como um bloco: 7! arranjos, multiplicados por 2 para a ordem interna do par, o que dá 2·7!. Logo 8! − 2·7! = 8·7! − 2·7! = 6·7!. A (8!) ignora a restrição. B (7·7!) subtrai só 7! e não conta as duas ordens do par. C (7!) e D (2·7!) correspondem a contagens parciais, e D é o número de casos em que os dois ficam juntos. Referência: Análise combinatória: permutações com restrição (método do complementar). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Crescimento exponencial de 20% ao ano durante 4 anos. De 2010 a 2014 passam 4 anos, então a população é 100.000 · (1,2)⁴. Como 1,2⁴ = 2,0736, o resultado é 207.360 habitantes. B (100.160) e C (180.000) não correspondem a juros compostos, e C seria um crescimento linear de 20% ao ano sobre o valor inicial. D (172.800) corresponde a 3 anos de crescimento (1,2³). E (156.630) não corresponde a nenhum cálculo coerente. Referência: Aumentos percentuais sucessivos: P = P₀(1 + i)ⁿ. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Para ser circunferência, o termo em xy deve ser nulo e os coeficientes de x² e y² devem ser iguais. Os coeficientes de x² e y² devem ser iguais, então a = 2, e o termo em xy deve ser nulo, então b = 0. Dividindo por 2: x² + y² − 2x + 4y + c/2 = 0, com centro (1, −2). O raio satisfaz 1 + 4 − c/2 = 9, logo c = −8. Assim a + b + c = 2 + 0 − 8 = −6. As demais somas (−10, −2, 2, 6) resultam de erros em a, b ou c, como esquecer de dividir por 2 ou errar o sinal de c. Referência: Equação geral da circunferência: x² + y² + Dx + Ey + F = 0, com r² = (D/2)² + (E/2)² − F. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Relação de Euler: V − A + F = 2, com A obtido pela contagem de arestas por vértice. Cada vértice tem 3 arestas e cada aresta liga 2 vértices, então A = 20·3/2 = 30. Por Euler, 20 − 30 + F = 2, logo F = 12. B, C, D e E (22, 32, 42, 52) não satisfazem V − A + F = 2 com V = 20 e A = 30. Só F = 12 satisfaz. Referência: Relação de Euler para poliedros convexos: V − A + F = 2. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Mediana relativa ao lado AB no triângulo 4, 4, 6. A mediana parte de C até o ponto médio de AB. Pela fórmula m² = (2·CA² + 2·CB² − AB²)/4 = (2·16 + 2·36 − 16)/4 = 88/4 = 22. Logo a mediana mede √22 cm. As demais alternativas surgem da troca dos lados na fórmula, como usar BC como o lado ao qual a mediana é relativa, ou de erros aritméticos. Referência: Geometria plana — Teorema de Apolônio (mediana). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Volume do sólido gerado pela rotação do triângulo equilátero em torno de r. A altura é h = x√3/2, que é também a distância de r ao lado NP. O sólido é um cilindro de raio h e altura x menos dois cones de raio h e altura x/2. Logo V = πh²x − 2·(1/3)πh²(x/2) = (2/3)πh²x = (2/3)π(3x²/4)x = πx³/2. As demais alternativas resultam de esquecer de subtrair os cones, de usar raio ou altura errados, ou de erro na fração de h². Referência: Geometria espacial — Teorema de Pappus; sólidos de revolução. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Valor de √(2 sec θ + 3 tg θ) com cos θ = 4/5 no 4º quadrante. No 4º quadrante, sen θ = −3/5, tg θ = −3/4 e sec θ = 5/4. Então 2·(5/4) + 3·(−3/4) = 10/4 − 9/4 = 1/4, e a raiz é 1/2. As demais alternativas vêm de erro de sinal do seno ou da tangente, ou de erro na secante. Com os valores corretos o radicando é 1/4. Referência: Trigonometria — relações fundamentais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Menor inteiro tal que f(g(x)) < 0. f(g(x)) = 4(x+2)² − 12(x+2) + 5 = 4x² + 4x − 3. As raízes são −3/2 e 1/2, e a expressão é negativa entre elas. Os inteiros no intervalo são −1 e 0, então o menor é −1. A) −2 está fora do intervalo, pois −2 < −3/2. C) 0 e D) 1 não são o menor inteiro, e 1 e 2 estão fora do intervalo. E) 2 também está fora.
Referência: Função composta; inequação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Ponto de tangência de y = x² com tangente paralela a 6x − y + 5 = 0. A reta dada tem coeficiente angular 6. Como y' = 2x, temos 2x = 6, logo x = 3 e y = 9. O ponto de tangência é (3, 9). B, C, D e E não satisfazem y = x², pois nenhum desses pontos tem ordenada igual ao quadrado da abscissa. Referência: Geometria analítica — tangência; derivada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Apótema do octógono regular em função do raio circunscrito. O apótema é o raio da circunferência inscrita e vale a = R·cos(π/8), pois o ângulo central de cada lado é 45°, e a metade é 22,5°. Como cos²(22,5°) = (1+cos45°)/2 = (2+√2)/4, resulta a = (R/2)·√(2+√2). As alternativas A, B, D e E não correspondem a cos(22,5°) = √(2+√2)/2. Elas decorrem de erros no ângulo ou na fórmula do arco metade. Referência: Geometria plana — polígonos regulares. Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx — Concurso de Admissão 2020 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês (2º dia) — Modelo D
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
A razão entre as áreas do quadrado ABCD e do triângulo AEF, nessa ordem, éResolução comentada
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Análise das alternativas
. Se AB=C, então x+y+z é igual a
Sobre o número complexo dado por ((Z₂)² · Z₅)/Z₃ é correto afirmar que é um número
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Para fabricar uma mesa redonda que comporte 8 pessoas em sua volta, um projetista concluiu que essa mesa, para ser confortável, deverá considerar, para cada um dos ocupantes, um arco de circunferência com 62,8 cm de comprimento. O tampo redondo da mesa será obtido a partir de uma placa quadrada de madeira compensada. Adotando π = 3,14, a menor medida do lado dessa placa quadrada que permite obter esse tampo de mesa é
Qual o valor de n, no binômio (x+3)ⁿ para que o coeficiente do 5º termo nas potências decrescentes de x seja igual a 5670?
Se o polinômio p(x)=x³ + ax² - 13x + 12 tem x=1 como uma de suas raízes, então é correto afirmar que
A função real definida por f(x) = (k² - 2k - 3) x + k é crescente se, e somente se
Os pontos A(3,-2) e C(-1,3) são vértices opostos de um quadrado ABCD. A equação da reta que contem a diagonal BD é
Na figura a seguir, ABCD é um quadrado, E é o ponto médio de BC e F é o ponto médio de DE
Dois dados cúbicos não viciados, um azul e outro vermelho, são lançados. Os dois dados são numerados de 1 a 6. Qual a probabilidade da soma dos números que saírem nos dois dados dar 7, sabendo-se que no dado azul saiu um número par?
Oito alunos, entre eles Gomes e Oliveira, são dispostos na primeira fileira do auditório da EsPCEx, visando assistirem a uma palestra. Sabendo-se que a fileira tem 8 poltronas, de quantas formas distintas é possível distribuir os 8 alunos, de maneira que Gomes e Oliveira não fiquem juntos?
A figura abaixo mostra um reservatório com 6 metros de altura. Inicialmente esse reservatório está vazio e ficará cheio ao fim de 7 horas. Sabe-se também que, após 1 hora do começo do seu preenchimento, a altura da água é igual a 2 metros. Percebeu-se que a altura, em metros, da água, “t” horas após começar o seu preenchimento, é dada por h(t) = log₂ (at² + bt + c), com t ∈ [0,7] , onde a, b e c são constantes reais. Após quantas horas a altura da água no reservatório estará com 4 metros?
No ano de 2010, uma cidade tinha 100.000 habitantes. Nessa cidade, a população cresce a uma taxa de 20% ao ano. De posse dessas informações, a população dessa cidade em 2014 será de
Sabendo-se que a equação 2x² + ay² - bxy - 4x + 8y +c = 0 representa uma circunferência de raio 3, a soma a+b+c é igual a
Um poliedro possui 20 vértices. Sabendo-se que de cada vértice partem 3 arestas, o número de faces que poliedro possui é igual a
Os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC medem, respectivamente, 4cm, 4cm e 6cm. Então a medida, em cm, da mediana relativa ao lado AB é igual a
Dado o triângulo equilátero MNP de lado x e a reta r que passa pelo vértice M e é paralela ao lado NP, o volume do sólido gerado pela rotação desse triângulo em torno da reta r é igual a
Se θ é um arco do 4º quadrante tal que cos θ = 4/5 , então √(2 sec θ +3 tg θ) é igual a
Sejam f(x)=4x² - 12x + 5 e g(x) = x + 2 funções reais. O menor inteiro para o qual f (g(x)) < 0 é
Sejam as matrizes
Na figura abaixo está representado o plano de Argang-Gauss com os afixos de 12 números complexos. Sabe-se que esses afixos dividem a circunferência em 12 partes iguais e que Z₀ =1.
Uma reta tangente à curva de equação y=x² é paralela à reta 6x - y + 5=0. As coordenadas do ponto de tangência são
Se a medida do raio da circunferência circunscrita a um octógono regular é R, então a medida do raio da circunferência inscrita a esse octógono é igual a