← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Concurso de Formação e Graduação 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível Coeficiente de x³ no produto (1+x)⁴(2−x²)⁵. Em (2−x²)⁵ os termos de menor grau são 32, −80x² e 80x⁴. Em (1+x)⁴, os termos úteis são 4x e 4x³. Os coeficientes de x³ vêm de 32·4x³ e de (−80x²)·4x, ou seja, 128 − 320 = −192. −320 e 128 são parcelas isoladas, e 320 ignora o sinal. −288 e as demais não resultam da soma correta das duas contribuições. A correta é C. Referência: Binômio de Newton: termo geral C(n,k)·a^(n−k)·b^k. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Da condição a/b + b/a = 3 obtém-se a² + b² = 3ab. a/b + b/a = (a²+b²)/(ab) = 3, então a² + b² = 3ab. Logo (a+b)² = a² + b² + 2ab = 5ab. A expressão vale 3ab/(2·5ab) = 3/10 = 0,3. 0,1, 0,6, 0,8 e 1,0 não resultam da razão 3ab/(10ab). Por exemplo, 0,6 seria o valor sem o fator 2 no denominador. A correta é B. Referência: Produtos notáveis e manipulação algébrica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma das abscissas de interseção com uma reta, pelas relações de Girard. Os pontos de interseção com y = mx + b são raízes de 2x⁴ − 8x³ + (4 − m)x − 7 − b = 0. Pelas relações de Girard, a soma das raízes é −(−8)/2 = 4, independentemente de m e b. Logo (x₁+x₂+x₃+x₄)/2 = 2. Os valores 1, 3/2, 7/2 e 4 não decorrem da soma das raízes, que vale 4; 4 seria a soma, sem a divisão por 2. A correta é C. Referência: Relações de Girard para polinômios de grau 4. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Lei do paralelogramo para números complexos. Vale |z₁+z₂|² + |z₁−z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²). Então 36 + |z₁−z₂|² = 2(16 + 9) = 50, logo |z₁−z₂|² = 14 e |z₁−z₂| = √14. √7, √3/3, 1 e 2√3 não satisfazem a identidade do paralelogramo com os módulos dados. A correta é D. Referência: Números complexos: identidade do paralelogramo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O produto de duas PAs é um polinômio de grau 2 em n. Os termos são a_n = An² + Bn + C. As diferenças 3840−3053 = 787 e 4389−3840 = 549 têm segunda diferença −238 (constante). A sequência continua com 4389 + 311 = 4700, 4773, 4608 e, no sétimo termo, 4608 − 403 = 4205. 3035, 4398, 4608 e 5063 não resultam da extrapolação com segunda diferença constante −238. O 4608 é o 6º termo, não o 7º. A correta é B. Referência: Progressões aritméticas e diferenças finitas (sequência quadrática). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Calcular A = ∫ ln x de 2 a 10 e testar cada desigualdade. A = [x ln x − x] de 2 a 10 = 10 ln10 − 2 ln2 − 8 ≈ 13,64. Em B, ln(ln 9!) ≈ ln(12,80) ≈ 2,55, ln A ≈ 2,61 e 2 + ln 9! ≈ 14,8, então 2,55 ≤ 2,61 ≤ 14,8 e a desigualdade vale. A: ln(20⁴) ≈ 11,98 A, falsa. D: e^(−A) ≈ e^(−13,64) < 1/9! ≈ e^(−12,8), falsa. E: o limite superior 10 ln10 − 2 ln2 − 10 ≈ 11,64 < A, falsa. A correta é B.
Referência: Cálculo integral: ∫ ln x dx = x ln x − x. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Equação funcional resolvida por substituições cíclicas de x. A equação é f((x−1)/x) + f(x) = x + 2. Para x = 2: f(1/2) + f(2) = 4. Para x = 1/2: f(−1) + f(1/2) = 5/2. Para x = −1: f(2) + f(−1) = 1. Somando as três, 2[f(2) + f(1/2) + f(−1)] = 15/2, então a soma vale 15/4. Assim f(2) = 15/4 − 5/2 = 5/4. Os valores 1/4, 1/2, 1 e 7/2 não satisfazem o sistema de três equações. A correta é A. Referência: Equações funcionais: substituições que fecham um ciclo de três valores. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade de José terminar à frente de Maria sabendo que ele a venceu na partida entre eles. José começa com 1 ponto e Maria com 0, e cada um joga mais 4 partidas contra os outros, com X, Y ~ Bin(4; 1/2) independentes. José fica à frente se 1 + X > Y, isto é, X ≥ Y. Como X − Y + 4 ~ Bin(8; 1/2), a condição é S ≥ 4, com P = (1 + C(8,4)/256)/2 = (1 + 70/256)/2 = 163/256. Logo p + q = 163 + 256 = 419. As demais somas (5, 19, 257, 4097) não correspondem à fração irredutível 163/256. A correta é D. Referência: Probabilidade: distribuição binomial e simetria. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Substituição t = 7^x gera polinômio de grau 4 cujas raízes dão lados que não formam polígono. Com t = 7^x, a equação fica t⁴ − 10t³ + 17t² + 40t − 84 = 0, cujas raízes são t = 2, 3, 7 e −2. Só as positivas servem: x = log₇2 ≈ 0,356, x = log₇3 ≈ 0,565 e x = 1. Os três segmentos medem 0,356, 0,565 e 1. Como 0,356 + 0,565 < 1, a desigualdade triangular falha, e três segmentos é o mínimo para um polígono, então nenhum polígono pode ser construído.
Triângulo (A e B) é impossível pela desigualdade triangular. Quadrilátero e pentágono (C e D) exigiriam 4 e 5 segmentos, mas há apenas 3. A correta é E. Referência: Equações exponenciais e desigualdade triangular. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Condições de existência dos logaritmos determinam o intervalo de k. Da 2ª equação, 1 − y = x, com 0 < x ≠ 1 (base) e y 0 exige x < 1, logo 0 < x < 1. A 1ª equação dá −2x + 3y + k = 3z. Substituindo y = 1 − x e z = 1 − x, temos −2x + 3 − 3x + k = 3 − 3x, o que resulta em k = 2x. Como 0 < x < 1, o sistema tem solução se 0 < k < 2.
As demais faixas (k < −2, −2 < k < 0, 2 < k 4) levariam a x ≤ 0 ou x ≥ 1, o que viola a base do logaritmo ou a condição z > 0. A correta é C. Referência: Logaritmos: condições de existência (base positiva e diferente de 1, logaritmando positivo). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Comparar a distância entre os centros com os raios das duas circunferências. A primeira tem centro (3,4) e r² = 11 + 9 + 16 = 36, logo r = 6. A segunda tem centro (4,−2) e r² = −16 + 16 + 4 = 4, logo r = 2. A distância entre os centros é √(1+36) = √37 ≈ 6,08. Como 6 − 2 = 4 < 6,08 < 8 = 6 + 2, as circunferências são secantes.
Seriam exteriores ou tangentes exteriores se d ≥ 8 (d = 8 no caso tangente). Seriam tangentes interiores se d = 4, e concêntricas se d = 0. Nenhum desses casos ocorre. A correta é E. Referência: Geometria analítica: posição relativa de circunferências (|r1−r2| < d < r1+r2). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Reduzir a equação a tan(2u) = −1/√3 com u = e^θ. Com u = e^θ, 2sen²u = 1 − cos2u e 2sen u cos u = sen2u. A equação vira 1 − cos2u − 2√3·sen2u − cos2u = 1, ou seja, cos2u + √3·sen2u = 0, logo tan2u = −1/√3. Então 2u = −π/6 + kπ e u = −π/12 + kπ/2. O menor u positivo é 5π/12 (k = 1), e θ = ln(5π/12). ln(π/6), ln(π/3), ln(5π/6) e ln(π/12) não pertencem à família u = −π/12 + kπ/2 (por exemplo, π/12 e π/6 não são dessa forma) e, portanto, não são raízes. A correta é E. Referência: Trigonometria: arco duplo e equação do tipo a·cos x + b·sen x = 0. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área do trapézio a partir das áreas dos triângulos AIB e CID. Os triângulos AIB e CID são semelhantes, e a razão de áreas 9/16 dá razão de semelhança 3/4. Os triângulos laterais AID e BIC têm áreas iguais, cada uma igual à média geométrica √(9·16) = 12. A área total é 9 + 16 + 12 + 12 = 49 cm², ou seja, (√9 + √16)². A está errada porque os dados bastam. B (63), C (50) e E (45) resultam de somas ou proporções incorretas das áreas. A correta é D (49). Referência: Geometria plana: trapézio e áreas dos triângulos formados pelas diagonais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Volume de líquido em pirâmide invertida e nova altura após virar o copo. O líquido forma uma pirâmide semelhante de altura 8, com volume (8/9)³V = 512V/729. Ao virar o copo, o espaço vazio fica no vértice, com volume 217V/729. Sua altura é x = 9·∛(217/729) = ∛217 ≈ 6,01 cm. Logo h = 9 − 6,01 ≈ 2,99 cm. As faixas das demais alternativas (3,8–4,0; 4,8–4,9; 5,8–6,0; 6,1–6,2) não coincidem com h ≈ 2,99. Resultados como 6,0 e 6,1 surgem se o aluno confunde a altura do vazio com a altura do líquido. A correta é A. Referência: Semelhança de sólidos: razão de volumes = (razão de alturas)³. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Motor de Carnot (η=50%) aciona refrigerador de Carnot (COP=268/32); verifica-se cada afirmativa. Motor: η = 1 − 300/600 = 0,5, então W = 0,5·2400/67 = 1200/67 kJ/min. Com 80% disso (960/67), o refrigerador tem COP = 268/(300−268) = 8,375 e remove Qf = 8,375·960/67 = 120 kJ/min, o que torna a afirmativa 1 correta. Na afirmativa 3, com TH = 500 K, η = 0,4 e W = 960/67 kJ/min. Esse valor é o mesmo trabalho que a afirmativa 1 usa no cálculo de 120 kJ/min. Assim, o calor máximo removido (usando toda a potência disponível) é também 120 kJ/min, e a afirmativa 3 está correta. A afirmativa 2 é falsa: com TC' = 600 K e TH' = 2400 K, η = 1 − 600/2400 = 0,75, que é menor que 1 e igual ao rendimento de Carnot, então não há violação da Segunda Lei. Por isso estão erradas B, E e as demais que incluem a 2. As alternativas A e C omitem uma afirmativa correta (3 e 1, respectivamente). A correta é D. Referência: Termodinâmica: rendimento de Carnot η = 1 − Tf/Tq e COP do refrigerador de Carnot = Tf/(Tq − Tf). Resolução comentada do VaiConcursos.IME — Concurso de Admissão 2020/2021 — 1ª Fase — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
, onde z é o número complexo z = cos(4π/3) + i sen(4π/3), z̄ o seu conjugado e os ângulos estão expressos em radianos. O determinante de M é:
R = {(x, y) ∈ ℝ² | 2 ≤ x ≤ 10 e 0 ≤ y ≤ ln(x)},
então é correto afirmar que:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
7⁴ˣ − 10 · 7³ˣ + 17 · 7²ˣ + 40 · 7ˣ = 12 · 7
Para cada uma das raízes reais não nulas dessa equação, constrói-se um segmento de reta cujo comprimento corresponde ao módulo do valor da raiz. A partir de todos os segmentos obtidos:Resolução comentada
Análise das alternativas
log(−2x + 3y + k) = log(3) + log(z)
logₓ(1 − y) = 1
x + z = 1
onde x, y, e z são variáveis e k é uma constante numérica real. Esse sistema terá solução se:Resolução comentada
Análise das alternativas
x² + y² − 6x − 8y = 11
x² + y² − 8x + 4y = −16
pode-se afirmar que elas são:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Durante a fabricação de cubos de resina com arestas de 4,5 cm, formaram-se cavidades com 50,0 cm³ de ar no interior de cada um deles. Um artesão agrupa oito cubos, gerando um cubo maior. Em seguida, envolve essa peça com uma camada de liga metálica, formando um cubo metálico com arestas de 10,0 cm, conforme mostra o corte da Figura 1.
Dados: massa específica da
• água: 1,0 g/cm³;
• resina: 0,8 g/cm³; e
• liga metálica: 2,0 g/cm³.
Se esse cubo metálico for colocado na água e estiver em equilíbrio, conforme mostra a Figura 2, o valor do comprimento L, em cm, que este ficará submerso será, aproximadamente:
Na experiência de Thomas Young, também conhecida como experiência da fenda dupla, uma luz é difratada por uma fenda F₀ no anteparo A₁. Em seguida, o feixe de ondas difratado é novamente difratado por outras duas fendas, F₁ e F₂ no anteparo A₂, formando no anteparo A₃ um padrão de interferência constituído por franjas claras (interferência construtiva), alternadas por franjas escuras (interferência destrutiva), conforme mostra a figura. A distância y que separa as franjas (claras ou escuras) do ponto central O, vistas sobre o anteparo A₃, pode ser definida em função da distância D entre os anteparos A₂ e A₃, e da distância d entre as fendas F₁ e F₂. Essa distância é dada pela equação:
y = (n/(2d)) D vˣ fᶻ,
em que: n é o número de ordem da interferência; e f é a frequência da luz que se propaga com velocidade v nos percursos ópticos a e b. Para que a equação seja dimensionalmente correta e para que os raios que partem de F₁ e F₂ atinjam o ponto P, os valores de n, x e z são, respectivamente:
Quatro partículas, denominadas A, B, C e D, partem simultaneamente dos vértices de um quadrado de lado unitário. Todas as partículas apresentam velocidades escalares iguais durante suas trajetórias. A partícula A persegue a partícula B, de tal forma que o seu vetor velocidade está sempre na direção e sentido de A para B. O mesmo ocorre entre as partículas B e C, C e D e, finalmente, entre D e A. Tomando o centro do quadrado como origem do sistema de coordenadas, a tangente do ângulo entre vetor unitário do sentido positivo do eixo x e o vetor que une o ponto A ao ponto B, quando A se encontra em um ponto arbitrário (x,y) da sua trajetória, é dada por:
O circuito mostrado acima, emprega um fio de 2 mm² de seção transversal e resistividade de 0,4 Ω mm²/m. A diferença de potencial (ddp) entre os pontos A e B, em volts, é:
1: Levando em conta as temperaturas dos reservatórios térmicos e supondo que 80% da potência disponibilizada do ciclo motor seja empregada para o acionamento do ciclo de refrigeração, a quantidade de calor removida da fonte fria nesse ciclo será 120 kJ/min.
2: Considerando apenas o ciclo motor, se a temperatura da fonte fria for duplicada e, simultaneamente, a temperatura da fonte quente for quadruplicada, o motor térmico violará a Segunda Lei da Termodinâmica.
3: Se a temperatura da fonte quente do ciclo motor for modificada para 500 K, a quantidade máxima de calor removido da fonte fria do ciclo de refrigeração terá o mesmo valor numérico do apresentado na Afirmativa 1.
Dados:
• temperaturas, respectivamente, da fonte quente e da fonte fria do ciclo motor: 600 K e 300 K;
• temperaturas, respectivamente, da fonte quente e da fonte fria do ciclo de refrigeração: 300 K e 268 K; e
• calor adicionado à máquina térmica do ciclo motor: 2400/67 kJ/min.
Considerando que a operação do refrigerador térmico é efetuada pela potência disponibilizada pelo motor térmico, está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s)Resolução comentada
Análise das alternativas
Determine a soma dos coeficientes de x³ na expansão de (1 + x)⁴ (2 − x²)⁵.
Considere que a ≠ 0, b ≠ 0 e (a + b) ≠ 0. Sabendo-se que a/b + b/a = 3, determine o valor de (a² + b²)/(2(a + b)²).
Seja a função f(x) = 2x⁴ − 8x³ + 4x − 7. Considere uma reta qualquer que corta o gráfico dessa função em quatro pontos distintos: (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) e (x₄, y₄). O valor de (x₁ + x₂ + x₃ + x₄)/2 é:
Sejam z₁ e z₂ dois números complexos tais que |z₁| = 4, |z₂| = 3 e |z₁ + z₂| = 6. O valor de |z₁ − z₂| é:
Uma sequência é gerada pelo produto dos termos correspondentes de duas progressões aritméticas de números inteiros. Os três primeiros termos dessa sequência são 3053, 3840 e 4389. O sétimo termo da sequência é:
Seja a matriz
Se A é a área da região R do plano cartesiano dada por
Seja f : D → ℝ uma função onde D = {x ∈ ℝ | x ≠ 0 e x ≠ 1} e que satisfaz a equação f((x − 1)/x) + f(x) − x = 2. O valor de f(2) é:
Há um torneio de xadrez com 6 participantes. Cada participante joga com cada um dos outros uma única partida. Não ocorrem empates. Cada participante tem 50% de chance de vencer cada partida. Os resultados são independentes. O vencedor em cada partida ganha um ponto e o perdedor zero. Deste modo, o total é acumulado para montar o ranking. No primeiro jogo do torneio José vence Maria. Se a probabilidade de José chegar à frente de Maria ao final do torneio é p/q, com p e q primos entre si, o valor de p + q é:
Seja a equação
Considere o sistema de equações:
No que diz respeito à posição relativa das circunferências representadas pelas equações
Seja a equação 2sen²(e^θ) − 4√3sen(e^θ)cos(e^θ) − cos(2e^θ) = 1, θ ∈ ℝ⁺. O menor valor de θ que é raiz da equação é:
Considere um trapézio de bases AB e CD, com o ponto I sendo a interseção de suas diagonais. Se as áreas dos triângulos AIB e CID formados pelas diagonais são 9 cm² e 16 cm², respectivamente, a área do trapézio, em cm², é:
Um copo exótico de vidro, em uma festa, era uma pirâmide invertida de base pentagonal regular de 9 cm de altura. Esse copo continha uma bebida que ocupava 8 cm de altura. Um dos convidados fechou a base pentagonal do copo e o virou de cabeça para baixo. A nova altura h da bebida, em cm, em relação à base pentagonal satisfaz:
Analise as afirmativas abaixo, referentes ao funcionamento de duas máquinas de Carnot, em que uma é ciclo motor e a outra, ciclo de refrigeração.