← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Oficial do Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha — Matemática 50 questões nesta prova · página 1 de 3 · 49 com gabarito Gabarito disponível x²+y²=5,1²; com x=2,4 então y=4,5 e dy/dt=−48 cm/s. Pelo vínculo x²+y²=5,1², com x=2,4 obtém-se y=4,5. Derivando: x·x' + y·y' = 0, logo y' = −(x/y)·x' = −(2,4/4,5)·0,9 = −0,48 m/s = −48 cm/s. O sinal negativo indica que o topo desce. +48 ignora que o topo desce. 96 e 144 (e −144) resultam de erros na razão x/y ou nas unidades. Referência: Taxas relacionadas; teorema de Pitágoras. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Pelo Teorema de Pappus, V = 2π·a·(πab) = 2π²a²b. A elipse tem área πab e centroide em (0,0). A reta x=a está a distância a do centroide. Pelo Teorema de Pappus-Guldin, V=2π·a·πab = 2π²a²b. As demais trocam os expoentes de a e b ou o fator π. A rotação ocorre em torno de x=a, então o fator multiplicador é a (distância do centroide), não b. Referência: Teorema de Pappus-Guldin. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível rot F=(−2,3,5); o fluxo pela lateral do cilindro é 3π. rot F=(−2,3,5). Na lateral, a normal exterior é (x,y,0) e dS=dz dθ, com z de 0 a y+3. O integrando é (−2x+3y) = −2cosθ+3senθ. Assim o fluxo é ∫₀^{2π}(−2cosθ+3senθ)(senθ+3)dθ. Só sobrevive o termo 3sen²θ, cuja integral é 3π. As demais valores (6π−9, 3π+9, 3π+18, 6π) vêm de somar termos que se anulam por simetria ou de errar o coeficiente de sen²θ. Referência: Teorema de Stokes; fluxo do rotacional. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A parte da esfera dentro do cone é uma semiesfera de raio 2: área 8π. A esfera é (x−2)²+y²+z²=4, de raio 2 e centro (2,0,0). Sobre ela, y²+z²=4x−x². A condição y²+z²≤x² dá 4x≤2x², ou seja, x≥2. Isso é exatamente a metade da esfera, de área ½·4π·2²=8π. 4π, 6π, 10π e 12π não correspondem à semiesfera de raio 2; 4π seria um quarto da esfera. Referência: Área de superfície esférica: 4πr². Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Reta tangente em M é perpendicular ao raio CM: 2X−5Y−24=0. Completando quadrados, o centro é C(1,−3/2), e M(2,−4) pertence à circunferência. O vetor CM é (1,−5/2). A tangente é 1(x−2) − (5/2)(y+4)=0, ou seja, 2x−5y−24=0. As demais retas têm vetor normal diferente de (2,−5) ou não passam por M(2,−4), portanto não são tangentes em M. Referência: Geometria analítica: tangente a circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Área do setor elíptico de u=0 a u=m é abm/2. A área varrida a partir da origem é ½∫(x dy − y dx). Com x=a cos u e y=b sen u, x dy − y dx = ab(cos²u+sen²u)du = ab du. Logo A=½∫₀^m ab du = abm/2. As alternativas A, B, C e D têm fator ou potência errados. Faltam o ½ ou a dependência linear em m, ou aparecem potências indevidas de a, b e m. Referência: Área em coordenadas paramétricas (Green): A=½∮(x dy−y dx). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Área = região do círculo ρ=4 fora da cardioide, para −π/2≤θ≤π/2: 32−4π = 32(1−π/8). A cardioide fica dentro do círculo quando 4(1−cosθ)0, ou seja, θ∈(−π/2,π/2). A área é 2·½∫₀^{π/2}[16−16(1−cosθ)²]dθ = 16∫₀^{π/2}(2cosθ−cos²θ)dθ = 16(2−π/4) = 32−4π = 32(1−π/8). A, B, D e E têm coeficientes ou sinais que não correspondem a 32−4π, em geral por limites de integração errados ou por esquecer a simetria. Referência: Área em coordenadas polares: A=½∫(ρ₂²−ρ₁²)dθ. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Produto seno-cosseno vira soma: 3 sen3x cos4x = (3/2)(sen7x − senx). Pela identidade sen a cos b = ½[sen(a+b)+sen(a−b)], temos 3 sen3x cos4x = (3/2)(sen7x − sen x). Integrando: ∫sen7x dx = −cos7x/7 e −∫sen x dx = +cos x. O resultado é (3/2)(−(1/7)cos7x + cos x)+c. A, C, D e E erram o sinal ou o fator 1/7 na integração de sen7x, ou o coeficiente de cos x. Referência: Identidades de prostaférese; integrais trigonométricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Com g=x⁴+x³−3x−5 negativa em x=0 e x=−1, f'=−g', e o valor é −30. Seja g(x)=x⁴+x³−3x−5, com g'(x)=4x³+3x²−3. Em x=0, g=−5<0, então f=−g e f'(0)=−g'(0)=3. Em x=−1, g=−2<0, então f'(−1)=−g'(−1)=−(−4)=4. Além disso, f(−2)=|16−8+6−5|=9. Logo 2·3−9·4=6−36=−30.
As demais resultam de erro de sinal ao derivar o módulo ou de cálculo errado de f(−2) e f'(−1). Referência: Derivada de função modular: f'=sinal(g)·g'. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Tangente a y=x³ em (1,1) corta a curva em (-2,-8); distância = 3√10. Em M(1,1), y'=3x²=3, então a tangente é y=3x−2. Igualando a x³: x³−3x+2=0, que fatora em (x−1)²(x+2)=0. O outro ponto de interseção é (−2,−8). A distância entre (1,1) e (−2,−8) é √(9+81)=√90=3√10. As demais (√82, 6√2, √58, 5√10) não correspondem à distância √90 entre (1,1) e (−2,−8). Referência: Reta tangente; fatoração de polinômios; distância entre pontos. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — CP-T/2015 (Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha) — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
Tendo em vista as informações contidas no gráfico acima, assinale a opção que apresenta a transformada de Laplace da função F da variável real t.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Qual é a solução da equação diferencial acima?Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere f a função de variável real x, definida pela equação acima. Logo, o domínio e a imagem de f são dados, respectivamente, por:
onde L é o logaritmo natural, é
Onde a>0, é igual a
é uma função F(t) definida para todo t>0. Então, o valor de 
é:
através da superfície S, com vetor normal apontando para fora de S, e assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
e assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
e assinale a opção correta.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Suponha que uma escada de 5,1 metros de comprimento se apoie em um muro vertical. Se a extremidade inferior da escada se afasta do muro à razão de 0,9 metros por segundo, quão rapidamente a extremidade superior se desloca em relação ao topo do muro, no instante em que a inferior dista 2,4 metros do muro?
Analise o gráfico a seguir.
O volume gerado pela região R, limitada pela curva b²x²+a²Y² = a²b², onde a,b ∈ ℝ⁺*, girando ao redor da reta x = a, em unidades de volume, é igual a
O fluxo do rotacional do campo vetorial definido no domínio da função F⃗(x,y,z)=(3z,5x,−2y) através da superfície S do cilindro x²+y²=1, situada abaixo do plano y−z+3=0 e acima do plano xy, com normal exterior, é igual a
A área da parte da superfície esférica x²+y²+z²=4x que é delimitada no interior do cone y²+z²=x², em unidades de área, é igual a
Analise a equação a seguir.
Qual é a equação da reta tangente à circunferência X²+Y²−2X+3Y−4=0, no ponto M(2,−4)?
Analise a função abaixo.
A sequência
Sendo T a amplitude do intervalo [0,T] ⊂ ℝ, então
A transformada inversa de Laplace de
Seja S a porção do cilindro x²+(y−1)²=4 situada entre os planos z=0 e y+z=5. Determine o fluxo do campo vetorial
Calcule a área do setor da elipse x = a cos u, y = b sen u, desde u = 0 até u = m para u ∈ [0,2π], e assinale a opção correta.
Calcule
A área da região R exterior à curva ρ = 4(1−cos θ) e interior à curva ρ = 4, em unidades de área, é igual a
Calcule
A antiderivada mais geral de ∫3 sen 3x cos 4x dx tem por expressão:
O comprimento de arco da curva ρ = b(1 + cos θ), onde b ∈ ℝ⁺*, em unidades de comprimento, é igual a
Uma função f de variável real é definida por f(x)=|x⁴+x³−3x−5|. Sendo assim, o valor da expressão 2f'(0)−f(−2)f'(−1) é
O comprimento do segmento que a tangente à curva y = x³, pelo ponto M(1,1), determina quando intercepta essa mesma curva é igual a