← Voltar para a lista de provas Marinha do Brasil · Oficial do Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha — Matemática 50 questões nesta prova · página 2 de 3 · 49 com gabarito Gabarito disponível p = (4/3)m − (2/3)n + (11/3)r. Impondo p = αm + βn + γr e igualando os coeficientes: t²: α − β = 2; t: −2α + 3β + γ = −1; constante: 5α − γ = 3. Resolvendo, α = 4/3, β = −2/3 e γ = 11/3. A, B, D e E têm coeficientes que não satisfazem as três equações. Por exemplo, em D e B o coeficiente de n teria sinal incorreto para α − β = 2. Referência: Álgebra Linear – Combinação linear em P₂. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pontos críticos (0,0) é sela e (a,a) é máximo: apenas um máximo. fx = 3ay − 3x² = 0 e fy = 3ax − 3y² = 0 dão os pontos (0,0) e (a,a). O Hessiano é H = 36xy − 9a². Em (0,0), H = −9a² 0 e fxx = −6a < 0, logo é máximo local.
A e E dizem haver dois máximos ou um mínimo, mas só existe um máximo. B está errada porque (a,a) é extremo. C está errada porque não há mínimo. Referência: Cálculo II – Teste da segunda derivada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Trabalho = ∫F·dR = (7/3)(e−1) + 9/(2π). Com R(u) = (u,u²,u³), dR = (1,2u,3u²)du. O integrando é F·dR = e^u + 4u²e^{u³} + 9u³ sen(πu⁴). Integrando de 0 a 1: (e−1) + (4/3)(e−1) + 9/(4π)·[−cos(πu⁴)]₀¹ = (7/3)(e−1) + 9/(2π). B tem (e+1) e D tem sinal negativo no último termo, ambos por erros de sinal. C tem a forma (7e−1)/3, que equivale a (7/3)(e−1) + 2, errando uma constante. E tem 9π/4, de erro na primitiva de sen. Referência: Cálculo III – Integral de linha de campo vetorial. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Distância de C à reta AB: √(474/17). Com AB = (−4,6,4) e AC = (−1,5,−3), AB×AC = (−38,−16,−14), de módulo² 1896. Como |AB|² = 68, d² = 1896/68 = 474/17. Logo d = √(474/17). A e D têm raiz e denominador fora da raiz, o que não corresponde a d² = 474/17. B e E dão d² diferentes (179·16/289 e 179/17), que não coincidem com 474/17. Referência: Geometria Analítica – Distância ponto-reta: |AB×AC|/|AB|. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Volume do sólido gerado por rotação em torno de y=a: (9/20)πa³. A curva é y = x^{3/2}/√a, com x de 0 a a. Girando em torno de y = a, o raio do disco é a − x^{3/2}/√a. V = π∫₀^a (a² − 2√a·x^{3/2} + x³/a)dx = πa³(1 − 4/5 + 1/4) = (9/20)πa³. (3/5), (π/4), (6/5) e 2 vezes πa³ vêm de erros no raio do disco, nos limites ou em termos do desenvolvimento do quadrado. Referência: Cálculo I – Volume de sólidos de revolução (discos). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível F, F, V, V, F, F, V. 1) Falso: nem toda matriz simétrica é inversível (e, quando é, a inversa é simétrica). 2) Falso: o teorema de Gauss exige superfície fechada e orientada. 3) Verdadeiro: (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹. 4) Verdadeiro: é o teorema do núcleo e da imagem. 5) Falso: dim L(V,U) = m·n. 6) Falso: um sistema gerador pode ser LD. 7) Verdadeiro: dim = n+1. A, B e D marcam como verdadeira ao menos uma das afirmações 1, 2 ou 5, que são falsas. C marca a 7 como falsa, mas ela é verdadeira. Referência: Álgebra Linear; Cálculo Vetorial (teorema da divergência). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Massa do cone com densidade 20(5−r) é 630π g. Em coordenadas cilíndricas, o cone vai de z = 0 até z = 3 − r, com r de 0 a 3. M = ∫₀^{2π}∫₀³ 20(5−r)(3−r) r dr dθ = 40π∫₀³(15r − 8r² + r³)dr = 40π(67,5 − 72 + 20,25) = 40π·15,75 = 630π. 495π, 540π, 765π e 1890π resultam de erros de limites, do fator r do jacobiano ou de aritmética. Referência: Cálculo III – Integrais triplas em coordenadas cilíndricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Trapézio com h=1 para ∫x² de 1 a 12: 577,5. Com 11 subintervalos, h = 1. T = h[(f(1)+f(12))/2 + Σ f(2..11)] = (1+144)/2 + (506−1) = 72,5 + 505 = 577,5. A soma de 1² até 11² é 506. O valor exato é 575, e o trapézio superestima por convexidade. 578 e 650 não resultam do cálculo. 1082,5 e 1155 são aproximadamente o dobro, por esquecer o fator 1/2 nos extremos ou a divisão. Referência: Cálculo Numérico – Regra do Trapézio composta. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Simpson com h=1 e 6 subintervalos dá ≈ 1,154 ≈ 0,115×10. Com h = 1, f(0)=0, f(1)=0,2, f(2)=0,25, f(3)=0,2308, f(4)=0,2, f(5)=0,1724 e f(6)=0,15. Simpson: (1/3)[0 + 4(0,2+0,2308+0,1724) + 2(0,25+0,2) + 0,15] = (1/3)(3,4627) ≈ 1,154, isto é, 0,115×10. 0,400 e 0,105×10 não vêm do cálculo correto. 0,130×10 e 0,345×10 superestimam bastante (o valor exato é (1/2)ln10 ≈ 1,151). Referência: Cálculo Numérico – Regra de Simpson (1/3) composta. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Coeficiente de x³ = diferença dividida de ordem 3 = 6 ⇒ y = 4,25. O coeficiente de x³ do interpolador é a diferença dividida f[0; 0,5; 1; 2]. Calculam-se f[0;0,5] = 2y, f[0,5;1] = 6−2y e f[1;2] = −1. Então f[0;0,5;1] = 6−4y e f[0,5;1;2] = (2y−7)/1,5. Impondo que a diferença de ordem 3 seja 6: (2y−7)/1,5 − (6−4y) = 12, o que dá 8y = 34 e y = 4,25. -2,75, -0,75, 1,5 e 12,75 não satisfazem a condição de coeficiente 6 para x³. Referência: Cálculo Numérico – Interpolação, diferenças divididas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Newton para x²−6 com x₀=1: x₁=3,5; x₂≈2,607 ≈ 2,60. A iteração é x_{n+1} = x_n − (x_n² − 6)/(2x_n). Com x₀ = 1: x₁ = 1 + 5/2 = 3,5. Então x₂ = 3,5 − 6,25/7 ≈ 2,607. O valor mais próximo entre as opções, e o gabarito oficial, é 2,60. 0,05, 0,55, 1,00 e 1,75 estão longe da raiz √6 ≈ 2,449 e não resultam de duas iterações corretas. Referência: Cálculo Numérico – Método de Newton-Raphson. Resolução comentada do VaiConcursos.Marinha do Brasil — CP-T/2015 (Quadro Técnico do Corpo Auxiliar da Marinha) — Matemática — Prova Amarela
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
com elementos em ℂ, pode-se dizer que A¹² éResolução comentada
Análise das alternativas
é igual a
são iguais a
em unidades de comprimento é igual a
é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
é igual a
e 
é correto afirmar que:
( ) Toda matriz simétrica tem inversa também simétrica.
( ) Teorema de Gauss pode ser aplicado em qualquer superfície.
( ) Sendo A e B matrizes quadradas de ordem n, não singulares, então (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹.
( ) Em todo operador linear T: V → V, tem-se Dim(V) = Dim(KerT) + Dim(Im T).
( ) Se V e U são espaços vetoriais de dimensão m e n, respectivamente, então a dimensão do homeomorfismo de V e U vale m+n.
( ) Todo sistema gerador de um espaço vetorial é um conjunto de vetores LI.
( ) Espaço vetorial dos polinômios de determinada variável e grau menor ou igual a n tem dimensão (n+1).Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
No espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2, o polinômio p(t) = 2t² − t + 3, quando escrito como combinação linear dos polinômios m(t) = t² − 2t + 5, n(t) = −t² + 3t e r(t) = t − 1, tem por expressão:
Considerando a função f de duas variáveis reais definida por f(x,y) = 3axy − x³ − y³, com a > 0, é correto afirmar, sobre os extremos relativos de f, que:
Sendo
A solução da equação diferencial y‴−8y=3e³ˣ é igual a
Considere que um objeto de peso desprezível se mova sobre a curva γ: R⃗(u) = (u, u², u³), desde o ponto O(0,0,0) até o ponto P(1,1,1), sob a ação de uma força , definida por F⃗(x,y,z) = (eˣ, 2xeᶻ, 3x senπy²). O trabalho realizado pelo objeto para ir desde O até P vale
Seja f a função de variável real definida por f(t) = t sen(t²). Então, a série de MacLaurin de f tem por expressão:
A dimensão do espaço linha da matriz M =
Os autovalores da matriz
O comprimento de arco da curva
O intervalo de convergência da série
Calcule a distância do ponto C(2,1,−2) à reta que passa pelos pontos A(3,−4,1) e B(−1,2,5), e assinale a opção correta.
A rotação da região compreendida pela curva ay²=x³, o eixo das ordenadas e a reta y=a, girando em torno da reta y=a, com a > 0, produz um sólido S. É correto afirmar que o volume de S é igual a:
A curva y = f(x), denominada tratória, é tal que o comprimento de cada segmento da tangente, ou seja, a distância do ponto de tangência à interseção com o eixo x é constante e igual a c, onde c > 0. Pode-se afirmar que a derivada
Com relação às séries
Com relação à Teoria das Matrizes, aos Espaços Vetoriais, às Transformações Lineares e às Integrais de Superfície, coloque V (verdadeiro) ou falso F (falso), e assinale, a seguir, a opção correta.
Um cone circular reto de metal, tendo sua base apoiada no plano xy, possui densidade num ponto qualquer P igual a 20(5 - r)g/dm³, onde r é a distância em dm entre o ponto P e o eixo do cone. Se a altura e o raio do cone medem cada um 3dm, é correto afirmar que a massa do sólido é igual a
A Regra do Trapézio, utilizada para aproximar o cálculo de integrais definidas, quando aplicada em ∫₁¹² x²dx, com 11 subintervalos, apresenta como resultado:
Calculando ∫₀⁶ x/(4 + x²) dx pela Regra de Simpson, considerando uma partição regular constituída de 6 subintervalos e 3 casas decimais, obtém-se, aproximadamente:
Considere um polinômio interpolador de grau 3, P₃(x), para os pontos (0,0), (0.5,y), (1,3) e (2,2). Sabendo que o coeficiente de x³ em P₃(x) vale 6. É correto afirmar que o valor de y é igual a
A equação x² - 6 = 0 possui uma raiz real no intervalo [0,4]. Considerando uma aproximação inicial ρ₀= 1 e adotando duas iterações pelo Método de Newton - Raphson, assinale a opção que apresenta uma nova aproximação com duas decimais para tal raiz.