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EsFCEx — Concurso de Admissão 2021 — Oficial do Quadro Complementar do Exército — Área: Estatística — 006. Prova Objetiva — Versão A

Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) · Oficial do Quadro Complementar do Exército

Fundação VUNESP2021

60 questões nesta prova · página 2 de 3 · 60 com gabarito

Estatística Variáveis Aleatórias Discretas — Valor Esperado

Fundação VUNESP 2021

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O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória X, com a seguinte função de probabilidade:
Tabela da função de probabilidade de X. Valores de X: –2%, –1%, 0%, 1%, 2% e 3%. P(X=x): 0,3; 0,1; 0,2; 0,2; 0,1 e 0,1.

Tabela da função de probabilidade de X. Valores de X: –2%, –1%, 0%, 1%, 2% e 3%. P(X=x): 0,3; 0,1; 0,2; 0,2; 0,1 e 0,1.

É correto afirmar que o retorno esperado é

Estatística Probabilidade Condicional

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Depois de um longo tempo de testes, verificou-se que o procedimento A de recuperação de informação tem uma probabilidade 0,02 de não oferecer uma resposta satisfatória, e o procedimento B de recuperação tem probabilidade 0,01 de não oferecer uma resposta satisfatória. Verificou-se também que a probabilidade de ambos os procedimentos não apresentarem simultaneamente resposta satisfatória é 0,003. A probabilidade de o procedimento A não apresentar resposta satisfatória, dado que o procedimento B apresentou resposta satisfatória, é

Resolução comentada

P(A falha | B não falha) = [P(A falha) − P(ambos falham)] / P(B não falha).

P(A falha e B satisfatório) = 0,02 − 0,003 = 0,017. P(B satisfatório) = 1 − 0,01 = 0,99. Logo, a probabilidade pedida é 0,017/0,99 ≈ 0,0172.

Análise das alternativas

B, C, D e E) Resultam de usar probabilidades ou denominadores errados, por exemplo 0,02/… ou 0,0195 e 0,0198, que ignoram a subtração da interseção ou o complementar.

Referência: Probabilidade condicional: P(A|B) = P(A∩B)/P(B).

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Distribuição Normal — Soma de Variáveis Aleatórias

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O peso das pessoas da população que utiliza determinado elevador segue uma distribuição normal, com média 72 kg e variância 9 kg². O limite de peso que deve ser estabelecido para que a probabilidade de quatro pessoas dessa população, que entrem neste elevador de forma aleatória, exceda esse limite seja de, no máximo, 0,01 é:
Tabela da normal padrão. Zc: 2,33; 2,05; 1,88; 1,75; 1,64. Prob(Z ≥ Zc): 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05.

Tabela da normal padrão. Zc: 2,33; 2,05; 1,88; 1,75; 1,64. Prob(Z ≥ Zc): 0,01; 0,02; 0,03; 0,04; 0,05.

Nota: Z ~N(0,1)

Estatística Aproximação Normal da Distribuição de Poisson

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No horário de maior movimento, um sistema de dados recebe, em média, 50 requisições por minuto, segundo uma distribuição de Poisson. A probabilidade de que nos próximos dois minutos ocorram, pelo menos, 120 requisições é, aproximadamente, utilizando a aproximação da Normal à Poisson:
Tabela da normal padrão. Zc: 1,34; 1,41; 1,50; 1,95; 2,00. Prob(Z ≥ Zc): 0,090; 0,079; 0,068; 0,026; 0,023.

Tabela da normal padrão. Zc: 1,34; 1,41; 1,50; 1,95; 2,00. Prob(Z ≥ Zc): 0,090; 0,079; 0,068; 0,026; 0,023.

Nota: Z ~N(0,1)

Estatística Distribuição Uniforme Contínua — Valor Esperado

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Uma pane pode ocorrer em qualquer ponto de uma rede elétrica de 15 quilômetros, com mesma probabilidade. O custo de reparo da rede depende da distância do centro de serviço ao local da pane. Considere que o centro de serviço está na origem da rede e que o custo é de R$ 300,00 para distâncias até 4 quilômetros, de R$ 750,00 entre 4 e 10 e de R$ 1.200,00 para distâncias acima de 10 quilômetros. O custo esperado do conserto de uma pane é:

Resolução comentada

Valor esperado do custo com a pane uniforme em [0,15].

As probabilidades são: até 4 km, 4/15; de 4 a 10 km, 6/15; acima de 10 km, 5/15. O custo esperado é (4·300 + 6·750 + 5·1200)/15 = 11.700/15 = R$ 780.

Análise das alternativas

B, C, D e E) Não resultam da ponderação correta pelos comprimentos dos trechos. D) 750 é apenas o custo do trecho intermediário.

Referência: Distribuição uniforme contínua e esperança de função de v.a.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Estimação por Máxima Verossimilhança — Variância da Normal

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Uma amostra aleatória de 10 elementos de uma população para a estimação da média e da variância de uma variável com distribuição normal forneceu 500 e 25 844 para a soma dos valores e dos quadrados dos valores, respectivamente. É correto afirmar que a estimativa de máxima verossimilhança para a variância é

Resolução comentada

O EMV da variância da normal é σ̂² = Σx²/n − x̄².

A média amostral é 500/10 = 50. O EMV da variância é σ̂² = 25.844/10 − 50² = 2.584,4 − 2.500 = 84,4.

Análise das alternativas

B, C, D e E) São valores que resultam de erros de cálculo ou de usar o divisor n−1, o que daria 93,8 (E), que é a variância amostral não viciada, e não o EMV.

Referência: Estimador de máxima verossimilhança da variância da distribuição normal.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Regressão Linear Múltipla — Variáveis Indicadoras e Interação

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Uma amostra aleatória de n pessoas com 40 ou mais anos foi obtida para o estudo da relação entre Y, o peso em kg, com X₁, altura em metros, e X₂, o hábito alimentar da pessoa, com X₂=0 para hábito alimentar saudável, e X₂=1 para hábito alimentar não saudável. Considerando-se a natureza da variável dependente Y, optou-se pela utilização do modelo de regressão linear com os erros independentes e com distribuição normal com média 0 e variância σ².
Modelo: Yi = B0 + B1*(X1i – 1,70) + B2*X2i + B3*(X1i – 1,70)*X2i + Erroi, i=1,2,...n; onde B0, B1, B2, B3 e σ² são os parâmetros do modelo e B0, B1, B2, B3 e σ2 (em negrito) seus respectivos estimadores de máxima verossimilhança. O negrito distingue os estimadores dos parâmetros.

Modelo: Yi = B0 + B1*(X1i – 1,70) + B2*X2i + B3*(X1i – 1,70)*X2i + Erroi, i=1,2,...n; onde B0, B1, B2, B3 e σ² são os parâmetros do modelo e B0, B1, B2, B3 e σ2 (em negrito) seus respectivos estimadores de máxima verossimilhança. O negrito distingue os estimadores dos parâmetros.

É correto afirmar que

Selecione uma alternativa A) o estimador de máxima verossimilhança do valor esperado do peso de pessoas com mais de 1,70 m e hábito alimentar saudável é B0 (em negrito, estimador).

o estimador de máxima verossimilhança do valor esperado do peso de pessoas com mais de 1,70 m e hábito alimentar saudável é B0 (em negrito, estimador).

o estimador de máxima verossimilhança do valor esperado do peso de pessoas com 1,70 m e hábito alimentar não saudável é B0 + B2 + B3 (em negrito, estimadores) *(X1i – 1,70).

o estimador de máxima verossimilhança do valor esperado do peso de pessoas com mais de 1,70 m e hábito alimentar saudável é B0 + B2 + B3 (em negrito, estimadores) *(X1i – 1,70).

D) não é possível obter o estimador de máxima verossimilhança de cada um dos parâmetros do modelo. E)

o estimador de máxima verossimilhança do valor esperado do peso de pessoas com 1,70 m e hábito alimentar não saudável é B0 + B2 (em negrito, estimadores).

Estatística Métodos de Estimação — Máxima Verossimilhança e Momentos

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Sobre os métodos de máxima verossimilhança e o de momentos, é correto afirmar que

Selecione uma alternativa A) o método de máxima verossimilhança e o de momentos fornecem diferentes estimadores para a variância de uma distribuição normal. B) o método de máxima verossimilhança sempre fornece um estimador, independentemente da distribuição e do parâmetro a ser estimado. C) o método de momentos fornece dois estimadores para o parâmetro λ da distribuição de Poisson. D) o estimador do método de momentos para o parâmetro Θ da distribuição da variável aleatória contínua Uniforme X em [0, Θ] é igual à média amostral. E) na distribuição exponencial não é possível obter estimador pelo método de momentos.

Resolução comentada

No método dos momentos, o parâmetro λ da Poisson pode ser estimado pelo 1º momento (média) ou pelo 2º momento (variância), resultando em dois estimadores.

Na Poisson, E(X) = λ e Var(X) = λ. Igualar a média teórica à amostral dá λ̂ = X̄. Usar o segundo momento dá outro estimador, baseado em ΣXᵢ²/n − X̄². Assim, o método fornece dois estimadores.

Análise das alternativas

A) Para a variância da normal, os dois métodos dão o mesmo estimador (1/n)Σ(Xᵢ−X̄)². B) O estimador de máxima verossimilhança nem sempre existe ou é obtido de modo geral. D) Na Uniforme[0,Θ], E(X) = Θ/2, logo o estimador é 2X̄. E) Na exponencial o método dos momentos funciona (λ̂ = 1/X̄).

Referência: Métodos de estimação: momentos e máxima verossimilhança.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Teste Qui-Quadrado de Aderência

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Um processo produz peças com três tipos de característica. Tem-se por hipótese que a quantidade da característica tipo três é o dobro das outras duas (hipótese nula). Em uma amostra aleatória de 300 peças produzidas, obteve-se os seguintes resultados:
Tabela. Tipo de Característica: 1, 2, 3, Total. Frequência Observada: 60, 80, 160, 300.

Tabela. Tipo de Característica: 1, 2, 3, Total. Frequência Observada: 60, 80, 160, 300.

É correto afirmar que, ao nível de significância de 0,05 e com a tabela de valores críticos da distribuição Qui-quadrado:
Tabela de valores críticos do qui-quadrado. Graus de liberdade: 1, 2, 3. Valores críticos: 3,84; 5,99; 7,81.

Tabela de valores críticos do qui-quadrado. Graus de liberdade: 1, 2, 3. Valores críticos: 3,84; 5,99; 7,81.

Selecione uma alternativa A) com base nos dados observados não é possível testar a hipótese nula. B) a hipótese nula não é rejeitada porque o valor qui-quadrado observado é menor do que 5,99. C) a hipótese nula não é rejeitada porque o valor qui-quadrado observado é maior do que 3,84. D) a hipótese nula é rejeitada porque as frequências observadas não são, respectivamente, 75, 75 e 150. E) a hipótese nula é rejeitada porque o valor qui-quadrado observado é maior do que 7,81.

Estatística Teste Qui-Quadrado de Independência

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O resultado de uma pesquisa com 500 eleitores, selecionados aleatoriamente da população de eleitores, para estudar associação entre faixa etária e preferência em relação aos candidatos Um e Dois a presidente de um país, está apresentado a seguir:
Tabela de contingência Candidato × Faixa Etária. Um: 18 a 30 anos 160; 31 a 50 anos 60; mais de 50 anos 20; Total 240. Dois: 140; 90; 30; Total 260. Total: 300; 150; 50; 500.

Tabela de contingência Candidato × Faixa Etária. Um: 18 a 30 anos 160; 31 a 50 anos 60; mais de 50 anos 20; Total 240. Dois: 140; 90; 30; Total 260. Total: 300; 150; 50; 500.

A partir dos valores críticos da tabela da distribuição de qui-quadrado, para o nível de significância de 0,05, é correto afirmar ao nível de significância de 0,05 que:
Tabela de valores críticos do qui-quadrado. Graus de liberdade: 2, 3, 6. Valores críticos: 5,99; 7,81; 12,59.

Tabela de valores críticos do qui-quadrado. Graus de liberdade: 2, 3, 6. Valores críticos: 5,99; 7,81; 12,59.

Selecione uma alternativa A) não existe associação entre preferência e faixa etária, porque o valor da estatística qui-quadrado encontrado é menor do que 12,59. B) não existe associação entre preferência e faixa etária, porque o valor da estatística qui-quadrado encontrado é menor do que 7,81. C) existe associação entre preferência e faixa etária, porque o valor da estatística qui-quadrado encontrado é maior do que 12,59. D) existe associação entre preferência e faixa etária, porque o valor da estatística qui-quadrado encontrado é maior do que 5,99. E) não existe associação entre preferência e faixa etária, porque o valor da estatística qui-quadrado encontrado é menor do que 5,99.

Estatística Medidas de Dispersão — Variância

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Alunos de uma turma realizaram cinco provas de uma disciplina. Entretanto, o professor divulgou as notas das quatro provas e a variância populacional das cinco notas. João é aluno desta turma e deseja saber qual é a sua nota na 5ª prova, as notas dele foram:
Tabela de notas. 1ª Prova: 4; 2ª Prova: 6; 3ª Prova: 8; 4ª Prova: 6.

Tabela de notas. 1ª Prova: 4; 2ª Prova: 6; 3ª Prova: 8; 4ª Prova: 6.

Sabendo que a variância populacional das suas notas foi 1,6, a nota do João na 5ª Prova é

Estatística Análise Gráfica — Gráfico de Barras Empilhadas

Fundação VUNESP 2021

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O gráfico abaixo apresenta os resultados de uma pesquisa de opinião com os clientes de operadoras de telefonia móvel no estado Açaí.
Gráfico de barras empilhadas de 0% a 100% intitulado “Opinião sobre operadoras no estado Açaí”, com três barras (ATCHIM, SINFÔNICA, MORTO) divididas nas categorias Péssima, Ruim, Regular, Boa e Ótima, conforme a legenda.

Gráfico de barras empilhadas de 0% a 100% intitulado “Opinião sobre operadoras no estado Açaí”, com três barras (ATCHIM, SINFÔNICA, MORTO) divididas nas categorias Péssima, Ruim, Regular, Boa e Ótima, conforme a legenda.

É correto afirmar sobre o gráfico que

Selecione uma alternativa A) a operadora ATCHIM é a mais bem avaliada entre as três operadoras, pois a soma dos percentuais de “Ótima” e “Boa” é a maior entre as três operadoras. B) as opiniões dos clientes sobre as operadoras são semelhantes no estado Açaí, porque os percentuais são aproximadamente iguais. C) as opiniões dos clientes sobre as operadoras são positivas no estado Açaí, porque a soma dos percentuais de “Ótima” e “Boa” é superior a 50% para todas. D) a opinião dos clientes da operadora SINFÔNICA no estado Açaí é bastante negativa, porque a soma dos percentuais de “Ruim” e “Péssima” é cerca de 60%. E) o maior percentual de respostas dos clientes está concentrado na categoria “Boa” para todas as operadoras.

Estatística Medidas de Posição — Assimetria (Média, Mediana e Moda)

Fundação VUNESP 2021

Exército Brasileiro — Escola de Formação Complementar do Exército (EsFCEx) · Oficial do Quadro Complementar do Exército · Caderno 006. Prova Objetiva — Modelo de prova (Versão) A

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O gráfico a seguir representa a distribuição de renda (em salários mínimos) em uma determinada região do Brasil.
Histograma com eixo horizontal “Número de salários mínimos” (marcas 0, 1, 2, 3, 5, 10 e 20) e eixo vertical “Densidade de frequência relativa (freq.rel/amplitude)” de 0.0 a 0.3. Classes de amplitudes diferentes; a barra mais alta está entre 0,5 e 1 salário mínimo e as densidades diminuem à direita, com cauda longa até 20.

Histograma com eixo horizontal “Número de salários mínimos” (marcas 0, 1, 2, 3, 5, 10 e 20) e eixo vertical “Densidade de frequência relativa (freq.rel/amplitude)” de 0.0 a 0.3. Classes de amplitudes diferentes; a barra mais alta está entre 0,5 e 1 salário mínimo e as densidades diminuem à direita, com cauda longa até 20.

Indique a posição em relação à média, à mediana e à moda nesta distribuição.

Selecione uma alternativa A) A média, a mediana e a moda são coincidentes em valor. B) A moda apresenta o maior valor, e a média se encontra abaixo da mediana. C) A média apresenta o menor valor, e a mediana se encontra abaixo da moda. D) A média apresenta o maior valor, e a mediana se encontra abaixo da moda. E) A moda apresenta o menor valor, a média o maior valor, e a mediana se encontra abaixo da média.

Estatística Medidas de Posição — Média Aritmética Ponderada

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O salário médio pago aos 50 funcionários de uma empresa é de R$ 2.000,00, sendo que, dentre os 50 funcionários, 10 são chefes de seções. Se desconsiderarmos os chefes de seções do cálculo, o salário médio cai para R$ 1.500,00. Qual é o salário médio pago somente aos chefes de seções?

Resolução comentada

Média ponderada: o total de salários menos o total dos não chefes dá o total dos chefes.

O total de salários é 50×2000 = 100.000. Os 40 não chefes somam 40×1500 = 60.000. Os 10 chefes somam 40.000, e a média deles é 40.000/10 = R$ 4.000.

Análise das alternativas

A) 2.000 é a média geral. C) 1.500 é a média dos não chefes. D) e E) não resultam do cálculo.

Referência: Média aritmética ponderada.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Análise de Variância (ANOVA) — Coeficiente de Determinação

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Um estudo teve como objetivo comparar a satisfação no trabalho de professores no Ensino Médio entre professores de 4 áreas. No estudo, com base em uma amostra aleatória de 27 professores, mediu-se a satisfação por meio do escore de um questionário que professores das áreas de Educação Física, Português, Matemática e Ciências responderam. Para comparar a satisfação no trabalho com a área de atuação, utilizou-se a Análise de Variância (ANOVA), e os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Quadro da ANOVA. Colunas: Fontes de Variação, gl, SQ, QM, F, p-valor. Áreas: 3; 250; 83,3333; 19,1667; <0,0001. Erro: 23; 100; 4,3478. Total: 26; 350.

Quadro da ANOVA. Colunas: Fontes de Variação, gl, SQ, QM, F, p-valor. Áreas: 3; 250; 83,3333; 19,1667; <0,0001. Erro: 23; 100; 4,3478. Total: 26; 350.

Considerando os resultados da ANOVA, o coeficiente de determinação R² é, aproximadamente:

Estatística Análise de Variância (ANOVA) — Somas de Quadrados

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Um estudo, com o objetivo de avaliar o desempenho dos alunos submetidos a três diferentes métodos de ensino (A, B, C), selecionou aleatoriamente cinco alunos em cada um dos métodos e aplicou uma prova de conhecimentos específicos, em que a nota zero indica pior desempenho, e a nota 10, melhor desempenho. As notas dos alunos na prova estão apresentadas na tabela a seguir.
Tabela Método de Ensino × Notas. A: 3, 4, 6, 5, 7. B: 6, 1, 7, 3, 8. C: 0, 9, 3, 5, 8.

Tabela Método de Ensino × Notas. A: 3, 4, 6, 5, 7. B: 6, 1, 7, 3, 8. C: 0, 9, 3, 5, 8.

Ao realizar uma análise de variância (ANOVA) para comparar os métodos de ensino, é correto afirmar que

Selecione uma alternativa A) o Quadrado Médio do Erro é zero. B) existe diferença entre os três métodos, ao nível de significância 0,05. C) a Soma de Quadrados do Total é zero. D) o Quadrado Médio do Método é zero. E) a Soma de Quadrados do Total é maior do que a Soma de Quadrados do Erro.

Estatística Análise de Variância (ANOVA) — Pressupostos

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Ao realizar uma análise de variância (ANOVA), estamos interessados em fazer algumas comparações. Quanto aos pressupostos dessa análise, é correto afirmar que:

Selecione uma alternativa A) os erros são variáveis aleatórias independentes de uma distribuição Normal com média zero e variância desconhecida. B) a hipótese nula do modelo da ANOVA é de que as variâncias entre os grupos sejam iguais. C) no modelo da ANOVA, a variável dependente (resposta) pode ser qualitativa ou quantitativa. D) para a estimação do modelo da ANOVA, deveremos utilizar somente os estimadores de máxima verossimilhança. E) no quadro da ANOVA, o “quadrado médio entre” representa a variância residual.

Resolução comentada

A ANOVA pressupõe erros independentes, normais, com média zero e variância constante (σ² desconhecida).

No modelo da ANOVA, os erros são variáveis aleatórias independentes, com distribuição Normal de média zero e variância σ² comum e desconhecida. A alternativa A descreve esse pressuposto.

Análise das alternativas

B) A hipótese nula da ANOVA é a igualdade das médias; a igualdade de variâncias é pressuposto. C) A variável resposta deve ser quantitativa. D) Também se usam mínimos quadrados, que coincidem com a máxima verossimilhança sob normalidade. E) O quadrado médio dentro (resíduo) é que representa a variância residual.

Referência: Pressupostos do modelo de análise de variância.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Análise de Variância (ANOVA) — Estatística F

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Um estudo com 12 atletas de 3 equipes diferentes, com 4 atletas em cada equipe, visou a avaliar a distância percorrida por eles em um período de 12 minutos. Deseja-se saber, a um determinado nível de significância, se a distância média percorrida pelos atletas nas 3 equipes é a mesma. Considere as informações do quadro de análise de variância:
Quadro. Fonte de Variação / Soma de Quadrados: Equipes 20; Erro X; Total 20 + X.

Quadro. Fonte de Variação / Soma de Quadrados: Equipes 20; Erro X; Total 20 + X.

Se o valor da estatística F, utilizado para testar a igualdade da distância percorrida entre as equipes, é igual a 10, então X é igual a

Estatística Séries Temporais — Estacionariedade

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Uma das suposições mais frequentes que se faz a respeito de uma série temporal é a de que ela seja estacionária. É correto afirmar, em relação à estacionariedade de uma série temporal, que a série

Selecione uma alternativa A) apresenta oscilação que aumenta ao longo do tempo em torno de uma reta. B) apresenta uma tendência flutuando ao redor de uma reta. C) se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média constante. D) se desenvolve no tempo aleatoriamente ao redor de uma média que oscila com o tempo. E) é constante somente no tempo inicial.

Resolução comentada

Série estacionária oscila de forma aleatória em torno de uma média constante.

Uma série estacionária tem média e variância constantes e autocovariância dependente apenas da defasagem. Ela se desenvolve aleatoriamente ao redor de uma média constante.

Análise das alternativas

A) Oscilação crescente indica variância não constante. B) Tendência em torno de uma reta indica média variando no tempo. D) Média que oscila com o tempo viola a estacionariedade. E) Não faz sentido: a estacionariedade vale para todos os instantes.

Referência: Estacionariedade fraca em séries temporais.

Resolução comentada do VaiConcursos.

Estatística Séries Temporais — Teste de Dickey-Fuller (Raiz Unitária)

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Gabarito disponível

Em Séries Temporais, existem diversos testes que são usados para realizar a análise dos dados. A estatística de Dickey-Fuller é utilizada para testar

Selecione uma alternativa A) memória longa. B) autocorrelação residual. C) periodicidade. D) autocorrelação cruzada. E) raiz unitária.

Resolução comentada

O teste de Dickey-Fuller verifica a presença de raiz unitária (não estacionariedade).

A estatística de Dickey-Fuller testa H₀: a série possui raiz unitária (é não estacionária, como um passeio aleatório). Rejeitar H₀ indica estacionariedade.

Análise das alternativas

A) Memória longa é investigada por outras técnicas, como a estatística R/S e modelos ARFIMA. B) Autocorrelação residual usa Ljung-Box ou Durbin-Watson. C) Periodicidade usa o periodograma. D) Autocorrelação cruzada usa o correlograma cruzado.

Referência: Séries temporais: teste de Dickey-Fuller.

Resolução comentada do VaiConcursos.