← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível p(x) é o desenvolvimento de (x−1)^5, então q(x) = (x−2001)^5. Os coeficientes 1, −5, 10, −10, 5, −1 são os do binômio, então p(x) = (x−1)^5. Assim q(x) = p(x−2000) = (x−2001)^5. Logo q(2021) = 20^5 = 3.200.000. A, B, D e E são valores que não correspondem a 20^5; resultam de tentar calcular o polinômio diretamente ou de erro na translação x−2000. Referência: Binômio de Newton. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma de PA (26, 30, 34, ...) igual a 576. Sn = n[2·26 + 4(n−1)]/2 = 2n² + 24n. Fazendo 2n² + 24n = 576 obtém-se n² + 12n − 288 = 0, cujas raízes são n = 12 e n = −24. Logo são necessárias 12 semanas. Com 10 semanas a soma é 440 e com 11 é 506, ambas abaixo de 576. Com 13 a soma é 650 e com 14 é 728, que ultrapassam 576. A meta de 576 km é atingida exatamente com 12 semanas. Referência: Soma dos n primeiros termos de uma PA. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Potência de número complexo na forma trigonométrica e potência de i. 2 − 2i tem módulo 2√2 e argumento −45°. Elevado a 10, fica (2√2)^10 · cis(−450°) = 2^15 · cis(−90°) = −2^15·i. Como 2021 = 4·505 + 1, i^2021 = i. Então o resultado é −2^15·i / i = −2^15. A mantém o i, esquecendo de dividir por i^2021. B, C e E erram o sinal, o módulo ou a unidade imaginária. O módulo correto é 2^15 e o resultado é real e negativo. Referência: Fórmula de De Moivre; ciclo de potências de i. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma infinita de PG complexa de primeiro termo 5i e razão i/2. A razão é q = i/2, com |q| = 1/2 < 1, então a soma converge. S = 5i/(1 − i/2) = 10i/(2 − i) = 10i(2 + i)/5 = 2i(2 + i) = 4i − 2. A parte real é −2 e a parte imaginária é 4.
A, B, C e D trocam os sinais ou invertem as partes real e imaginária. Só (−2, 4) corresponde a −2 + 4i. Referência: Soma dos termos de PG infinita: S = a1/(1 − q). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Inequação exponencial resolvida com a substituição t = 2^x. Com t = 2^x, a inequação fica t² − 10t + 16 < 0, ou seja, 2 < t < 8. Logo 2 < 2^x < 8, isto é, 1 < x < 3. O único inteiro nesse intervalo aberto é x = 2.
A, B e C contam mais inteiros, o que só ocorreria se os extremos 1 e 3 fossem incluídos, mas a desigualdade é estrita. E (0) ignora x = 2. Referência: Inequação exponencial e inequação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Equação modular |x+2| + |x−1| = x+1 analisada por intervalos. Se x ≥ 1: 2x+1 = x+1 dá x = 0, que não pertence ao intervalo. Se −2 ≤ x < 1: 3 = x+1 dá x = 2, que não pertence ao intervalo. Se x < −2: −2x−1 = x+1 dá x = −2/3, que também não pertence ao intervalo. Não há solução real.
As alternativas B, C, D e E indicam 1 ou mais soluções, mas todas as raízes encontradas caem fora dos intervalos em que foram obtidas, portanto são descartadas. Referência: Definição de módulo e análise por casos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Retângulo de área máxima inscrito em triângulo equilátero de lado 8, com a base apoiada em um lado. A altura do triângulo é 4√3. Para um retângulo de altura h, por semelhança, a base é b = 8(1 − h/(4√3)). A área A = b·h é uma parábola em h, com máximo em h = 2√3 (metade da altura). Nesse ponto b = 4, então os lados medem 4 e 2√3. A, B, C e D não atendem à relação b = 8 − 2h/√3 com h = 2√3 (b = 4), que é o ponto de máximo. Por exemplo, 4 e √3 dá área menor que 8√3, e 2 e 2√3 nem satisfaz a relação de semelhança. Referência: Semelhança de triângulos e máximo de função quadrática. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Esfera circunscrita a cone equilátero: o raio da esfera é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo equilátero da seção meridiana. No cone equilátero a geratriz é igual ao diâmetro da base, então g = 2√3 cm. A seção meridiana é um triângulo equilátero de lado 2√3. A esfera circunscrita tem raio R = lado/√3 = 2 cm. Logo V = (4/3)π·2³ = 32π/3 cm³. A (8π/3) corresponde a R = 1. B (4π/3) vem de usar R = √3/… ou R = 1 com erro de fator. C (16π/3) e D (64π/3) vêm de erros no cálculo de R, que daria R³ = 4 e R³ = 16. Só R = 2 dá 32π/3. Referência: Geometria espacial: cone equilátero e esfera circunscrita; V = 4πR³/3. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A probabilidade de acertar ao menos um problema é 1 − (2/5)⁵. Pelo evento complementar, P(ao menos um) = 1 − P(errar todos). A probabilidade de errar um problema é 40% = 2/5, e para errar os 5 é (2/5)⁵. Portanto a resposta é 1 − (2/5)⁵. A) Errada: usa 3/5, a probabilidade de acertar, como se fosse a de errar. B) Errada: é a probabilidade de errar todos. C) Errada: é só a probabilidade de acertar um problema. E) Errada: é a probabilidade de acertar todos os 5. Referência: Probabilidade — evento complementar e eventos independentes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O dodecaedro tem 100 retas entre vértices que não pertencem a uma mesma face. São 20 vértices, logo C(20,2) = 190 retas. Dessas, 30 são arestas e 12 faces pentagonais × 5 diagonais = 60 são diagonais de face. Restam 190 − 30 − 60 = 100 retas que não estão em nenhuma face. A, C, D e E) Erradas: resultam de não subtrair corretamente as 30 arestas e as 60 diagonais de face do total de 190. Referência: Geometria espacial — poliedros e análise combinatória. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O total de alunos pesquisados é 360. Com A∩B∩C = 30: só A∩C = 30, só B∩C = 10, só A∩B = 10. Só C = 90 − 30 − 30 − 10 = 20. Só A = 150 − 30 − 30 − 10 = 80. Só B = 60. Soma dos que leem: 30+30+10+10+80+60+20 = 240. Com os 120 que não leem nada: 360. A, B, D e E) Erradas: resultam de erros ao contar as interseções ou de esquecer os 120 alunos que não leem livro algum. Referência: Teoria dos conjuntos — diagramas de Venn e princípio da inclusão-exclusão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível As três proposições são falsas. I) √(x²) = |x|, e só é igual a x quando x ≥ 0. II) |−x| = |x|, e só é igual a x para x ≥ 0. III) a simplificação exige x ≠ a; para x = a a expressão não existe. Portanto nenhuma é verdadeira para todo x real. A, B, C e E) Erradas: todas afirmam que alguma das proposições é verdadeira, mas as três falham para certos valores reais (por exemplo, x = −1 em I e II; x = a em III). Referência: Módulo, radiciação e simplificação de expressões algébricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível O sistema tem solução apenas para a = 0 ou a = 3, que pertencem a (−1, 4]. Subtraindo a 1ª equação da 2ª, obtém-se y = a. A 1ª fica x + z = 0. A 3ª fica 2(x+z) + 3y = a², ou seja, 3a = a², o que dá a = 0 ou a = 3. Os dois valores estão em (−1, 4]. A, C, D e E) Erradas: nenhum desses intervalos contém simultaneamente os valores 0 e 3 que tornam o sistema possível. Referência: Sistemas lineares — discussão de sistemas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O raio é a distância do centro à reta, igual a 3, e a equação é x²+y²−2x+2y−7=0. A reta é 3x − 4y + 8 = 0. A distância de (1,−1) a ela é |3 + 4 + 8|/5 = 3, que é o raio. Então (x−1)² + (y+1)² = 9, que desenvolvida dá x² + y² − 2x + 2y − 7 = 0. B, C, D e E) Erradas: têm centro diferente de (1,−1) ou termo independente que não corresponde a r² = 9 (E, por exemplo, daria r² = 2). Referência: Geometria analítica — circunferência e distância ponto-reta. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O cubo tem 24 pares de retas reversas formadas por arestas. São 12 arestas, logo C(12,2) = 66 pares. Pares de arestas paralelas: 3 direções × C(4,2) = 18. Pares concorrentes: em cada um dos 8 vértices há C(3,2) = 3 pares, totalizando 24. Reversos: 66 − 18 − 24 = 24. B, C, D e E) Erradas: resultam de contagens que não descontam corretamente os pares paralelos e concorrentes. Referência: Geometria espacial de posição — retas reversas; análise combinatória. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O pé da altura de C sobre AB é I(5,4), logo a+b = 9. A reta AB tem coeficiente angular (6−2)/(9−1) = 1/2, e sua equação é y = x/2 + 3/2. A altura por C tem coeficiente −2: y − 8 = −2(x − 3), ou y = −2x + 14. Igualando, x/2 + 3/2 = −2x + 14, o que dá x = 5 e y = 4. Então a+b = 9. A, B, D e E) Erradas: não correspondem ao valor 5+4 = 9 obtido pela interseção da altura com AB. Referência: Geometria analítica — retas perpendiculares e altura do triângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O ponto de interseção de f e f⁻¹ está sobre y = x e vale I(2,2), com a+b = 4. Os gráficos de f e f⁻¹ são simétricos em relação a y = x, e sua interseção (sendo f crescente no domínio) está sobre essa reta. Então x² + 2x − 6 = x, ou x² + x − 6 = 0, que dá x = 2 ou x = −3. Só x = 2 está em [−1, +∞). Logo I(2,2) e a+b = 4, que pertence a (0,5]. A, C, D e E) Erradas: 4 não pertence a (−∞,0], (5,10], (10,15] nem (15,+∞). Referência: Função inversa — simetria em relação à bissetriz y = x. Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx — Concurso de Admissão 2021 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês (2º dia) — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
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é igual aResolução comentada
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Análise das alternativas
![Produto (log₃ 12) · [log₄(10 elevado a log₁₀ 7)] · [log₁₂(log₁₁ 11⁴)] · (log₇ 81).](https://vaiconcursos.com/wp-content/uploads/questoes-v4/imagens/8f5eb3276a749e3d31219caecabcc20a55d502bf4cee27c386c938619a83809a/q007_img_01.png)
é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
- 30 alunos leem os livros A, B e C;
- 60 alunos leem os livros A e C;
- 40 alunos leem os livros B e C;
- 40 alunos leem os livros A e B;
- 150 alunos leem o livro A;
- 60 alunos leem somente o livro B;
- 90 alunos leem o livro C; e
- 120 alunos não leem livro nenhum.
De posse dessas informações, o número total de alunos que responderam a pesquisa é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
I) √(x²) = x, para todo x real.
II) |−x| = x, para todo x real.
III) [(x − a)(x − b)] / (x − a) = x − b, para todo x real.
Analisando as proposições acima, podemos afirmar queResolução comentada
Análise das alternativas
pertencem ao conjunto
{ x + y + z = a
{ x + 2y + z = 2a
{ 2x + 3y + 2z = a²
os valores do número real a, tais que o sistema linear acima tenha solução, pertencem ao conjuntoResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere a função p: ℝ → ℝ dada por p(x) = x⁵ – 5x⁴ + 10x³ – 10x² + 5x – 1 e a função q: ℝ → ℝ onde q(x) = p(x – 2000). O valor numérico de q(2021) é igual a
O Cap R. Gomes é um autêntico “canga”, isto é, um militar que não apenas coopera com os membros de sua equipe, mas estimula superiores, pares e subordinados ao bom cumprimento das missões. Em particular, ele incentiva um grupo de militares a melhorar o desempenho na corrida. Para tal, criou um programa de treinamento em que é preciso correr exatamente 576 Km no total, começando com 26 Km na primeira semana e, a partir da segunda, acrescentando exatos 4 Km a cada semana, ou seja, cada integrante do grupo deve correr exatamente 26 Km na 1ª semana, 30 Km na 2ª semana, 34 Km na 3ª semana e assim sucessivamente. Após quantas semanas a meta de 576 Km será atingida?
Sejam x um ângulo qualquer, em radianos, e i a unidade imaginária. O determinante da matriz
Simplificando-se a expressão (2 − 2i)¹⁰ / i²⁰²¹, onde i é a unidade imaginária, obtém-se
Considere i a unidade imaginária. A soma infinita 5i − 5/2 − 5i/4 + 5/8 + 5i/16 − 5/32 − 5i/64 + …, onde o n-ésimo termo é dado por 5iⁿ/2ⁿ⁻¹ (n = 1, 2, 3 …), resulta no número complexo cujas partes real e imaginária são, respectivamente, iguais a
O número de soluções inteiras que satisfaz a inequação 4ˣ − 10·2ˣ + 16 < 0 é igual a
O produto
O número de soluções, em ℝ, da equação |x + 2| + |x − 1| = x + 1, é igual a
Quais as medidas, em centímetros, dos lados do retângulo de maior área que está contido em um triângulo equilátero de lado 8 cm, estando a base do retângulo situada num lado desse triângulo?
Calculando-se o volume de uma esfera circunscrita a um cone equilátero cujo raio da base mede √3 cm, obtém-se
Um aluno da EsPCEx tem a probabilidade de 60% de acertar um problema de Matemática ao tentar resolvê-lo. Numa prova de Matemática com 5 problemas, qual a probabilidade desse aluno acertar ao menos um dos 5 problemas?
Dado um dodecaedro regular, exatamente, quantas retas ligam dois de seus vértices mas não pertencem a uma mesma face desse dodecaedro?
Foi realizada em uma escola uma pesquisa que gerou as seguintes informações:
Abaixo temos 3 proposições:
Os valores de x real que satisfazem à equação
Dado o sistema linear
A circunferência que tem seu centro no ponto (1, −1) e é tangente à reta de equação y = (3/4)x + 2 tem equação dada por
Dado um cubo, o número de pares distintos de retas reversas que podemos traçar, de tal forma que cada reta contenha uma aresta desse cubo, é igual a
Considere o triângulo ABC de vértices nos pontos A(1,2), B(9,6) e C(3,8). Sabendo que o ponto I(a, b) pertence ao lado AB e I̅C̅ é o segmento correspondente à altura do triângulo ABC relativa ao lado AB, o valor de a + b é igual a
Considere a função f: [−1, +∞) → [−7, +∞), onde f(x) = x² + 2x − 6. Sabendo que a função f tem uma inversa f⁻¹ e sendo I(a, b) o ponto de interseção dos gráficos de f e f⁻¹, a soma a + b pertence ao intervalo