← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Concurso de Formação e Graduação 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 38 com gabarito Questão anulada Gabarito disponível PG de razão −4/(3x), convergente se |x|>4/3, com soma −4/(3x+4); a equação f(x) = −x tem raízes 2/3 e −2, só −2 em B. A razão é q = −4/(3x); a soma finita exige |q|4/3. A soma é f(x) = (−4/(3x))/(1+4/(3x)) = −4/(3x+4). Impondo f(x) = −x: 3x²+4x−4 = 0, cujas raízes são 2/3 e −2. Só −2 pertence a B. A soma das raízes em B é −2. A, C, D e E aparecem se for considerado a soma de ambas as raízes (−4/3) ou outros erros; 2/3 não está em B porque |2/3| < 4/3.
Referência: Série geométrica: convergência e soma infinita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível f(1/3) = 0 e o coeficiente da secante é 3 ln(x²−x+7/12), cujo mínimo é 3 ln(1/3). O discriminante de −x²+x−7/12 é negativo, então o módulo vale x²−x+7/12 e f(x) = (3x−1)·ln(x²−x+7/12). Como f(1/3) = 0, o coeficiente da secante é f(x)/(x−1/3) = 3 ln(x²−x+7/12). O mínimo da quadrática ocorre em x = 1/2 e vale 1/3. Logo o menor coeficiente é 3 ln(1/3) = −3 ln 3. B vem de omitir o fator 3. C usa 13/36, que é o valor da quadrática em x=1/3, não o mínimo. D e E não correspondem ao valor mínimo da expressão. Referência: Funções logarítmicas; coeficiente angular de secantes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível (x−23)(y−23) = 23²; pares inteiros válidos (excluindo x = 0 ou y = 0): 5. Da equação, 23(x+y) = xy, ou (x−23)(y−23) = 529 = 23². Os pares de divisores de 529 são (1,529), (529,1), (23,23), (−1,−529), (−529,−1) e (−23,−23). O último dá x = y = 0, que não é permitido. Restam 5 pares ordenados. 1, 2, 3 e 4 contam menos soluções, esquecendo os divisores negativos (ou a simetria); 6 incluiria (0,0), inválido. Referência: Equações diofantinas; fatoração (x−a)(y−a) = a². Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A expressão é a distância de z₃ à reta que passa por z₁ e z₂; com circunradius 4, vale |z₃−z₁||z₃−z₂|/8. αz₁ − (α−1)z₂ = z₂ + α(z₁−z₂) percorre a reta por z₁ e z₂. O mínimo de |...−z₃| é a distância h de z₃ a essa reta. Os três pontos estão na circunferência de raio R = 4, então a área do triângulo é abc/(4R) = |z₁−z₂||z₃−z₁||z₃−z₂|/16 = ½|z₁−z₂|h. Logo h = |z₃−z₁||z₃−z₂|/8. A, B, D e E não representam a distância de z₃ à reta z₁z₂ (por exemplo, E, |z₃|, é a distância à origem). Referência: Números complexos e geometria; área do triângulo por abc/4R. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível |1−2√2 i| = 3, logo m = 3¹² e 2x = 1 + 3/12 = 5/4. O módulo de 1−2√2 i é √(1+8) = 3, então m = |z| = 3¹². Assim 2x = log_m(27m) = 1 + log_m27 = 1 + 3/12 = 5/4, o que dá x = 5/8. 15/14, 5/14, 15/4 e 3/8 vêm de erros no módulo ou no cálculo de log_m 27 (que é 3·log₃/12·log₃ = 1/4). Referência: Números complexos: módulo de potências e propriedades de logaritmos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Razão soma/produto das raízes = p₁/p₃; maximizada por primos consecutivos grandes: 67, 71, 73. Por Girard, a soma das raízes é −p₁ e o produto é −p₃, logo a razão é p₁/p₃. Isso é maximizado com três primos consecutivos, o mais próximos entre si e grandes. Testando as ternas, 67, 71, 73 dá 67/73 ≈ 0,918, a maior (71/73/79 dá ≈ 0,899; 79/83/89 dá ≈ 0,888). Logo p₂ + p₃ = 71 + 73 = 144. 152, 162, 172 e 196 correspondem a ternas com razão p₁/p₃ menor. Referência: Relações de Girard; números primos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade geométrica: região do triângulo representa 1/4 da região total. O espaço amostral é s>0, t>0, s+t<r, com área r²/2. Para formar triângulo, cada lado deve ser menor que r/2: s<r/2, tr/2. Essa região é o quadrado de lado r/2 menos o triângulo s+t<r/2, com área r²/4 − r²/8 = r²/8. A probabilidade é (r²/8)/(r²/2) = 1/4.
2/3, 1/2, 1/3 e 3/4 não correspondem à razão entre as áreas encontradas. Referência: Probabilidade geométrica; desigualdade triangular. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A = J − D; subtraindo a linha 1 das demais, a matriz fica triangular e det = 1. A primeira linha é toda de 1; nas demais, o elemento é 1 fora da diagonal e 0 na diagonal. Subtraindo a linha 1 de cada linha i ≥ 2, a linha i passa a ter só −1 na posição i. A matriz fica triangular, com diagonal 1, −1, ..., −1 (2020 vezes −1). O determinante é (−1)²⁰²⁰ = 1. −2021, 2021, 0 e −1 resultam de erros na eliminação ou de sinal; o expoente 2020 é par, então o sinal é positivo. Referência: Determinantes: Teorema de Jacobi / operações elementares com linhas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível fₙ = (senⁿx + cosⁿx)/n, e f₆ − f₄ é constante. Como tgⁿ/secⁿ = senⁿ e 1/secⁿ = cosⁿ, fₙ = (senⁿx + cosⁿx)/n. Seja p = sen²x·cos²x. Então sen⁶+cos⁶ = 1−3p e sen⁴+cos⁴ = 1−2p. Assim f₆ − f₄ = (1−3p)/6 − (1−2p)/4 = −1/12. Somando 1/3, g(x) = 1/4. As demais opções dependem de x (cos x + 3, sen x − 2, tg x − 1/3), mas g é constante; 1/12 sai de erro de sinal ou de soma. Referência: Identidades trigonométricas fundamentais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Parametrizando B(0,b), obtém-se x = y(y−2)/4, logo (y−1)² = 4x+1. A reta AB tem inclinação (b−2)/4, e a perpendicular por B tem inclinação −4/(b−2). Ela corta o eixo x em C(b(b−2)/4, 0). O ponto procurado tem abscissa de C e ordenada de B: x = b(b−2)/4 e y = b. Logo 4x = y² − 2y, ou seja, (y−1)² = 4x+1. A, B, C e D são outras cônicas ou retas que não satisfazem x = y(y−2)/4. Por exemplo, B (y² = 4x) esquece o termo −2y. Referência: Geometria analítica: lugares geométricos e retas perpendiculares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O lugar de A é a circunferência de Apolônio, de raio 12, e a maior altura é o raio. Com AB/AC = k = 3 e BC = a = 32, o lugar de A é uma circunferência de Apolônio com raio ka/(k²−1) = 3·32/8 = 12. A altura relativa a BC é a distância de A à reta BC, e seu máximo ocorre quando A está no ponto mais alto da circunferência, igual ao raio: 12. 8, 9, 10 e 11 são menores que o raio e não são o máximo, que é atingido no topo da circunferência. Referência: Circunferência de Apolônio. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Fração iluminada da superfície lateral é 240°/360° = 2/3 da lateral total. A geratriz é g = R√13/2, então a área lateral é πRg = πR²√13/2. Uma geratriz no ângulo φ está iluminada se n·(P−V) > 0, onde V é o vértice e P a fonte. Isso resulta em 2cosφ + 1 > 0, ou seja, φ entre −120° e 120°, um arco de 240°. Assim S = (2/3)·πR²√13/2 = πR²√13/3. A base está no solo e não é iluminada. A, C e E ignoram a fração iluminada (ou usam a lateral inteira ou frações erradas). B dobra o valor correto. Referência: Geometria espacial: cone e área lateral; sombra por planos tangentes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Não há efeito Doppler quando a distância fonte–observador é estacionária (componente radial da velocidade relativa nula). A diferença de posição é Δx = X_A − X_B = cos t + sen t e Δy = 4. A distância d² = (cos t + sen t)² + 16 deve ter derivada nula: 2(cos t + sen t)(cos t − sen t) = 2cos(2t) = 0. Isso dá t = π/4 + kπ/2, e entre as opções só 3π/4 serve. Em t = 0, π/6, π/2 e π, cos(2t) vale 1; 1/2; −1 e 1, nenhum é zero, então há velocidade radial relativa e portanto efeito Doppler. Referência: Efeito Doppler: depende da velocidade relativa ao longo da linha fonte–observador. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Tubo aberto numa extremidade: f₁ = v/4L, com harmônicos ímpares; L = 0,5 m e v = 1007 m/s (hélio). Com oxigênio, f₁ = v/(4L) → 163 = 326/(4L) → L = 0,5 m. O quinto harmônico é f₅ = 5v/(4L) = 5v/2. Igualando a 2517,5 Hz, v = 1007 m/s, que na tabela é o hélio. Argônio (319), criptônio (221), hidrogênio (1270) e xenônio (178) dariam f₅ = 5v/2 de 797,5; 552,5; 3175 e 445 Hz, nenhum igual a 2517,5 Hz. Referência: Acústica: tubos sonoros fechados em uma extremidade. Resolução comentada do VaiConcursos.IME — Concurso de Admissão 2021/2022 — 1ª Fase — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
3x₁² + 3x₂² + 3x₃² = 6x₄ − 1
3x₁² + 3x₂² + 3x₄² = 6x₃ − 1
3x₁² + 3x₃² + 3x₄² = 6x₂ − 1
3x₂² + 3x₃² + 3x₄² = 6x₁ − 1
O valor de 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃ + 1/x₄ é:
−4/(3x), 16/(9x²), −64/(27x³), 256/(81x⁴), ···
assume um valor finito. Define-se a função f : B → ℝ, para cada x ∈ B, tal que
f(x) = −4/(3x) + 16/(9x²) − 64/(27x³) + 256/(81x⁴) − ···
A soma das raízes da equação f(x) = −x, x ∈ B, é:Resolução comentada
Análise das alternativas
f(x) = ln(|−7/12 + x − x²|^(3x−1))
e que passam pelo ponto (1/3, f(1/3)).
O menor valor dentre os coeficientes angulares das retas desse conjunto é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
x³ + p₁x² + p₂x + p₃ = 0
onde p₁ < p₂ < p₃ são números primos menores que 100. Para que a razão entre a soma e o produto das raízes da equação seja a maior possível, o valor de p₂ + p₃ deve ser:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
a_(i,j) =
1, se i = 1 ou i ≠ j
0, se i = j ≠ 1
com i, j ∈ {1, 2, ···, 2021}. O valor do determinante de A é:Resolução comentada
Análise das alternativas
fₙ(x) = ([tg(x)]ⁿ + 1)/(n[sec(x)]ⁿ)
A função g(x) que atende g(x) = f₆(x) − f₄(x) + 1/3 é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Um ponto luminoso está localizado a uma altura 3R do solo e distante, horizontalmente, 2R do centro da base do cone. A área S da região iluminada no cone é:Resolução comentada
Análise das alternativas
A figura mostra uma pequena esfera carregada, interligada por um cabo de comprimento L, inextensível e de massa desprezível, que gira em torno de um eixo vertical com velocidade angular ω.
O movimento da esfera ocorre numa região submetida a um campo elétrico uniforme E⃗, conforme indicado na figura.
Dados:
• massa da esfera: m = 50 g;
• carga elétrica da esfera: q = − 10 C;
• intensidade do campo elétrico: |E⃗| = 0,07 N/C;
• velocidade angular do eixo: ω = 120 rpm;
• comprimento do cabo: L = 30 cm;
• aceleração da gravidade: g = 10 m/s²; e
• π² ≈ 10.
Observação:
• a espessura do eixo vertical é desprezível.
O ângulo θ formado entre o cabo e o eixo é aproximadamente:
Conforme ilustrado na figura, uma fonte localizada na extremidade de um anteparo, que é reflexivo e tem a forma de uma semi-circunferência, emite raios luminosos de comprimento de onda constante, em fase, em todas as direções.
Observações:
• para cada ponto da semi-circunferência, considere apenas o efeito da interferência de uma única reflexão, como exemplificado na figura; e
• considere que, na reflexão, o raio luminoso sofra uma inversão de fase.
Sabendo que a razão entre o raio da semi-circunferência e o comprimento de onda é 30, o número N de máximos locais de interferência que serão observados no anteparo é tal que:
X_A = cos(t) + log(1 + t)
Y_A = 2t + 3
X_B = log(1 + t) − sen(t)
Y_B = 2t − 1
Considerando que a fonte sonora emita um som de frequência constante, a frequência percebida pelo observador, dentre as opções, é desprovida de efeito Doppler quando o instante t for:Resolução comentada
Análise das alternativas
Um prisma possui um ângulo agudo α e índice de refração variável de acordo com a expressão:
n(λ) = A + B/λ²
em que A e B são constantes e λ é o comprimento de onda.
Uma luz branca vinda do ar (n₀ = 1) incide sobre a face vertical do prisma e sofre dispersão cromática no seu interior, voltando para o ar ao sair do prisma. Tal luz, possui componentes espectrais no intervalo: λ₁ ≤ λ ≤ λ₂.
Consideração:
• os ângulos θ₀ e α são tão pequenos que a aproximação sen(x) ≅ x é válida, para x = θ₀ ou x = α.
Diante do exposto, a maior abertura angular Δθ entre as componentes espectrais é aproximadamente:
argônio | 319
criptônio | 221
hélio | 1007
hidrogênio | 1270
oxigênio | 326
xenônio | 178
fonte: https://pages.mtu.edu/∼suits/SpeedofSoundOther.html
A tabela mostra a velocidade v do som, a 20 °C e 1 atm, em seis gases diferentes. Quando um tubo aberto em uma das extremidades é enchido com oxigênio, a frequência do primeiro harmônico do som produzido pelo tubo é 163 Hz. Quando o oxigênio é substituído por um dos cinco gases restantes, a frequência do quinto harmônico do som produzido pelo tubo é 2517,5 Hz. Isso significa que o gás escolhido para o segundo experimento foi o:Resolução comentada
Análise das alternativas
Seja o sistema
Seja B o conjunto de todos os valores de x ∈ ℝ para os quais a soma dos termos da progressão
Considere o conjunto de todas as retas que são secantes ao gráfico da função
Quantos pares ordenados (x, y) de números inteiros satisfazem a equação 1/x + 1/y = 1/23 ?
Seja α ∈ ℝ e z₁, z₂, z₃ números complexos tais que |z₁| = |z₂| = |z₃| = 4 e z₁ ≠ z₂. O menor valor de |αz₁ − (α − 1)z₂ − z₃|, é:
Seja o número complexo z = (1 − 2√2i)¹². Sabe-se que m = |z|. O valor de x na expressão 2x = logₘ(27m) é:
Seja a equação do terceiro grau em x:
Os valores para s e t são escolhidos no intervalo (0, r), tais que s + t < r. Considere três segmentos de reta com comprimentos s , t e r – s – t. Qual a probabilidade desses segmentos formarem um triângulo?
Considere o quadrado de lado L apresentado na Figura A. Ao aplicar uma determinada operação de corte, obtem-se a Figura B e repetindo a operação, em cada quadrado remanescente, obtem-se a Figura C. Qual será a área remanescente, a partir da quadrado da Figura A, ao final de 10 operações?
Considere as propriedades dos coeficientes binomiais. Qual das seguintes identidades está incorreta?
Seja a matriz quadrada A de ordem 2021 cujo o elemento da linha i e coluna j é
Para cada número n natural, seja a função real fₙ(x) definida para cada x ∈ ℝ, tal que x ≠ (k + 1)π/2, ∀k ∈ ℤ, de forma que:
Considere o ponto A(−4, 2) e B um ponto variável sobre o eixo das ordenadas. Traçam-se as retas AB e por B, a perpendicular a AB que intercepta o eixo das abcissas em C. Seja a equação do lugar geométrico do ponto de interseção da perpendicular ao eixo das abcissas traçada por C com a perpendicular ao eixo das ordenadas traçada por B. A equação desse lugar geométrico é:
Considere os triângulos △ABC em que B̅C̅ = 32 e A̅B̅/A̅C̅ = 3. O maior valor possível para a altura relativa ao lado B̅C̅ é:
Seja o cone de revolução de raio de base R e altura 3R/2 com a base apoiada em um solo horizontal.
Uma fonte sonora A, que emite um som de frequência constante, e um observador B estão próximos um do outro e movem-se lentamente de acordo com as equações temporais no Plano XY mostradas abaixo:
Gás | v [m/s]