← Voltar para a lista de provas Colégio Militar de Belo Horizonte · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível f(100) = S(100) − S(99). S(n) = (2ⁿ − 1)/2ⁿ⁻¹ = 2 − 2^(1−n). A pontuação na rodada 100 é f(100) = S(100) − S(99) = 2^(−98) − 2^(−99) = 2^(−99). A, B e D confundem a pontuação acumulada com a da última rodada (B é a soma até 100). E) 1/100 não decorre da fórmula. Referência: Somas telescópicas de sequências. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Teorema da bissetriz com altura relativa à hipotenusa igual a 6. Interpretando 6 m como a altura relativa à hipotenusa e 10 como o maior cateto: 1/36 = 1/100 + 1/b², o que dá b = 7,5. A hipotenusa mede 12,5. A bissetriz do maior ângulo agudo (oposto ao cateto 10) encontra o cateto de 10, e CS/(10 − CS) = 7,5/12,5. Daí CS = 10·7,5/20 = 3,75. A, B, D e E não decorrem do teorema da bissetriz interna aplicado ao triângulo de lados 7,5; 10; 12,5. A unidade 'cm' do enunciado parece erro de digitação (o valor é em metros). Referência: Relações métricas no triângulo retângulo e teorema da bissetriz interna. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Equação do 2º grau sobre os dias de curso. Com d dias, 1800/d − 1800/(d+6) = 50, o que leva a d² + 6d − 216 = 0 e d = 12. Em 12 dias de aula, sem domingos, começando na segunda, contam-se 6 dias na 1ª semana e 6 na 2ª, terminando num sábado. B, C, D e E ignoram que domingos não contam: 12 dias úteis completam duas semanas de segunda a sábado, e o último dia é sábado. Referência: Equação do 2º grau e contagem de dias. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Trapézio isósceles circunscrito com base maior igual ao dobro da menor. Sendo as bases b e 2b, o teorema de Pitot dá 2·lado = 3b, então lado = 3b/2. A altura vale h² = (3b/2)² − (b/2)² = 2b², logo h = b√2. A área é (3b/2)·b√2 = 12√2, então b = 2√2. O perímetro é 6b = 12√2 cm. As demais correspondem a valores de b diferentes de 2√2 e não conferem com a área dada. Referência: Quadrilátero circunscritível (Pitot) e área do trapézio. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível C(1 + C/100) = 144 resulta em C = 80. Se o custo é C e o lucro é C%, o preço de venda é C + C²/100 = 144. Daí C² + 100C − 14400 = 0, que dá C = 80. Como 80 = 16·5, é divisível por 16. A) 80 não é múltiplo de 12. B) 80 > 60. C) 80 não é quadrado perfeito. E) 80 não é primo. Referência: Porcentagem e equação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A solução é x = 1 quando np + mq ≠ 0. Multiplicando em cruz e simplificando: x(np + mq) = np + mq. Assim, se np + mq ≠ 0, x = 1, independentemente de m, n, p e q. A alternativa A traz a condição com um provável erro de digitação (mp no lugar de mq), mas é a que o gabarito oficial indica. B) 1 não é primo. C) Nem sempre é indeterminada. D) Com m = n e p = −q, np + mq = 0 e a equação fica indeterminada. E) 1 não é múltiplo de 3. Referência: Equações literais do 1º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível (n−3)/2 inteiro implica n ímpar. A razão d/n = [n(n−3)/2]/n = (n−3)/2 só é inteira se n for ímpar. Diagonais que passam pelo centro exigem vértices opostos, o que só ocorre em polígonos de número par de lados. Logo, nesses polígonos nenhuma diagonal passa pelo centro. A) Não há limite máximo para n ímpar. B) n = 5 satisfaz e tem menos de 7 lados. D) n = 5 tem 5 diagonais. E) Cada vértice tem n−3 diagonais, número par quando n é ímpar. Referência: Geometria plana: diagonais de polígonos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma dos algarismos de (10^x − 1)². N = 10^x − 1, então N² = 10^(2x) − 2·10^x + 1. Seus algarismos são (x−1) noves, um 8, (x−1) zeros e um 1. A soma é 9(x−1) + 8 + 1 = 9x. Como 9x = 774, x = 86. 72, 96, 108 e 117 dariam somas 648, 864, 972 e 1053, diferentes de 774. Referência: Teoria dos números: soma dos algarismos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Mínimo de x + 2/x é 2√2; a equação biquadrada tem raízes opostas. Por MA ≥ MG, x + 2/x ≥ 2√2, com igualdade em x = √2. Logo 2√2 é raiz da biquadrada. Como a equação só tem potências pares de x, −2√2 também é raiz. As outras opções não são necessariamente raízes: nada na equação garante raízes como ±√2 ou ±√3, pois só se conhece 2√2 e o seu oposto. Referência: Desigualdade MA-MG e equação biquadrada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Análise de p(n) = n! e de compostos consecutivos. I é V: p(n) é par para n ≥ 2, então p(n)+1 é ímpar. II é V: p(2)+1 = 3 é primo. III é F: p(2·2) = 24 ≠ 2·2 = 4. IV é V: para k de 2 a 2023, k divide p(2023)+k, que é maior que k, portanto composto. Sequência V-V-F-V. A, C, D e E erram ao marcar II como falso ou IV como falso (ou I como falso); todos contradizem o contraexemplo p(2)+1 = 3 ou o argumento da divisibilidade. Referência: Teoria dos números: fatorial e primos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Hexágono regular com diferença entre diagonais de 2 cm. Três diagonais por vértice implicam n − 3 = 3, logo n = 6 (hexágono). As diagonais medem s√3 e 2s, e 2s − s√3 = 2 dá s = 2(2+√3). A área é (3√3/2)s² = (3√3/2)·4(7+4√3) = 6√3(7+4√3) = 72 + 42√3 = 6(12+7√3) cm². B, C, D e E não coincidem com 72 + 42√3 obtido com o lado s = 2(2+√3). Referência: Polígonos regulares: diagonais e área. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Discriminante nulo implica ad = bc. Expandindo: (b²+d²)x² + 2(ab+cd)x + (a²+c²). Para ser quadrado perfeito, Δ = 0, ou seja, (ab+cd)² = (a²+c²)(b²+d²). Isso equivale a (ad − bc)² = 0, logo ad = bc. A, B, C e D não decorrem da condição Δ = 0. Basta testar a = b = c = d = 1, que satisfaz a condição e ad = bc, mas torna falsa a·c = b·d... na verdade, ela as satisfaz; os contraexemplos se obtêm com a=1, b=2, c=2, d=4, em que ad = bc vale e A, B, C e D falham. Referência: Produtos notáveis e identidade de Lagrange. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Taxa implícita em compra com entrada de 50% e restante após 1 mês. Seja P o preço. À vista custa 0,7P. No plano II paga-se P/2 na hora, então o saldo financiado é 0,7P − 0,5P = 0,2P. Um mês depois paga-se 0,5P, de modo que 0,2P·(1+i) = 0,5P, ou seja, 1+i = 2,5 e i = 150%. A, B, C e D não satisfazem 0,2P(1+i) = 0,5P. Elas resultam de calcular o juro sobre o preço total ou sobre o desconto, e não sobre o saldo financiado. Referência: Matemática financeira: juros compostos e taxa implícita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Minimizar a distância via Pitágoras com função quadrática. Após t segundos, o atleta está a 10 − 2t do ponto sob o drone, e o drone está a t de altura. Então d² = (10 − 2t)² + t² = 5t² − 40t + 100, que tem mínimo em t = 4 s (t = −b/2a). Assim d² = 80 − 160 + 100 = 20, e d = 2√5 m. As demais não correspondem ao mínimo: d² mínimo vale 20, e 3√2, 2√3, 5√3 e 3√5 dão d² = 18, 12, 75 e 45. Referência: Função quadrática (vértice) e Teorema de Pitágoras. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponívelCMBH — Concurso de Admissão 2023/2024 — 1º ano do Ensino Médio — Prova de Matemática e Língua Portuguesa
f(1) + f(2) + f(3) + ⋯ + f(n) = (2ⁿ − 1)/2ⁿ⁻¹
Se o aluno erra a pergunta ele não ganha ponto.
Após 100 rodadas verificou-se que ZUM acertou todas as perguntas e ZARAVALHO errou apenas a última. Logo, ZUM foi o vencedor. Qual foi a pontuação obtida por ZUM na última rodada?Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. p(n) + 1 é um número ímpar.
II. Existe n tal que p(n) + 1 é um número primo.
III. p(n · m) = p(n) · p(m)
IV. Os números p(2023) + 2, p(2023) + 3, p(2023) + 4, ⋯ , p(2023) + 2023 são todos compostos.
Assinalando V nos itens corretos e F nos itens falsos, a sequência correta é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. À vista com 30% de desconto.
II. Em duas parcelas iguais sem aumento de preço (a primeira paga no ato da compra, e a segunda, um mês após).
Qual a taxa de juros ao mês cobrada por essa loja no plano II?Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
ZUM e ZARAVALHO são dois alunos do CMBH que participaram de um quiz. A pontuação foi computada por meio de uma função f: ℕ* → ℝ tal que f(n) representa quantos pontos o aluno ganha na rodada n e é tal que, para os n primeiros acertos, têm-se
Uma rampa foi projetada em forma de um triângulo retângulo cujo vértice do ângulo reto é o ponto mais alto da rampa, que possui uma altura total de 6 m. O maior cateto dessa rampa mede 10 m. S é o ponto em que a bissetriz do maior ângulo agudo desse triângulo toca o maior cateto do triângulo. A medida do segmento determinado pelo vértice do ângulo reto e pelo ponto S mede, em cm:
Um professor cobrou R$1.800,00 reais para ministrar um curso rápido de xadrez para iniciantes num prazo determinado de dias, porém, devido a problemas diversos, teve que aumentar o prazo inicial contratado em mais 6 dias sem, no entanto, alterar o valor acordado inicialmente. Ao fim do serviço, observou que recebeu, por dia trabalhado, R$50,00 a menos do que receberia se terminasse o trabalho no prazo inicialmente contratado. Considerando que o trabalho se iniciou numa segunda-feira, se ele o tivesse concluído no prazo inicial contratado e que as aulas não eram ministradas aos domingos, pode-se concluir que ele teria terminado:
O vitral de uma igreja é composto por dois semicírculos concêntricos como se vê na figura abaixo. Há também quatro regiões delimitadas pelas semicircunferências, cujas áreas são iguais e medem cada uma 40π cm². O raio do semicírculo menor mede 20 cm. O comprimento do arco AB mede, em cm:
Um círculo está inscrito num trapézio isósceles cuja base maior mede o dobro da base menor. A área desse trapézio é igual a 12√2cm². Nessas condições, o perímetro desse trapézio mede, em cm
Um comerciante revendeu uma peça por R$144,00 lucrando nessa operação, sobre o preço de custo, um valor, em porcentagem, representado pelo mesmo número que representa o preço de custo da peça. Assim, o número que representa o preço de custo da peça é:
Seja a equação (m + nx)/(m + n) = (p − qx)/(p − q), em x, com m ≠ −n e p ≠ q. Sobre essa equação pode-se afirmar que:
Sobre os polígonos regulares cuja razão entre o número de diagonais e o número de lados é expressa por um número inteiro, pode-se afirmar:
O número natural N é formado apenas por x algarismos 9. A soma de todos os algarismos de N² é igual a 774. Dessa forma, pode-se afirmar que x é igual a:
Considere a expressão E = x + 2/x, x > 0. Se o menor valor que a expressão E pode assumir é uma raiz da equação biquadrada ax⁴ + bx² + c = 0, então outra raiz dessa equação é:
A expressão p(n), com n natural e n ≥ 2, representa o produto dos números naturais consecutivos de 1 até n. Assim, por exemplo, p(4) = 1 · 2 · 3 · 4. Com base nessas informações julgue os itens abaixo:
O triângulo ABC da figura abaixo é tal que AS é bissetriz interna e M e N são pontos sobre os lados AB e AC, respectivamente, tais que BM = BS e CN = CS. Se MN = a e BC = b, qual a razão entre as áreas dos triângulos AMN e ABC.
O crescimento de uma planta, sob certas condições e a partir de uma determinada altura, está representado no gráfico abaixo. Mantidas tais condições, pode-se afirmar que a lei de associação da função que representa o crescimento da planta e sua altura no 21º dia são respectivamente:
De um dos vértices de um polígono regular podem ser traçadas apenas três diagonais. Qual a área desse polígono, sabendo que a diferença entre as medidas de duas dessas diagonais é 2cm?
Se a expressão (a + bx)² + (c + dx)², com a · b · c · d ≠ 0 é um trinômio quadrado perfeito, então podemos concluir que
Uma loja possui dois planos de venda:
A figura a seguir representa um slogan do Colégio Militar de Belo Horizonte. De quantos modos as regiões que contêm as letras C, M, B e H podem ser coloridas (cada região com uma cor, regiões com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de n cores diferentes?
Um atleta do CMBH está a 10m de um drone pousado no solo, ambos em um mesmo plano horizontal. O atleta começa correr em direção ao drone no mesmo instante em que este inicia uma ascensão vertical. Se o atleta corre a 2m/s e o drone ascende com velocidade de 1m/s, qual a distância mínima entre o atleta e o drone?
Um pátio circular utilizado para pouso de helicópteros possui um triângulo equilátero inscrito pintado em seu interior. Um aluno, desejando calcular o raio desse círculo utilizou o seguinte método: marcou um ponto P interno ao triângulo e mediu as distâncias d₁, d₂ e d₃ do ponto P aos lados do triângulo, observando que a soma d₁ + d₂ + d₃ resultou em 6 m. Nessas condições, o aluno pode concluir que o raio do pátio circular mede, em metros:
Na figura abaixo, identifica-se o quadrado ABCD. O ponto P divide o lado A̅D̅ na razão 2 : 1, ou seja, A̅P̅/P̅D̅ = 2/1. A medida de B̅P̅ é igual a 9cm. Nessas condições, a medida do segmento C̅E̅ é: