← Voltar para a lista de provas Exército Brasileiro — Escola de Saúde e Formação Complementar do Exército (ESFCEx) · Oficial do Quadro Complementar do Exército 60 questões nesta prova · página 3 de 3 · 60 com gabarito Gabarito disponível Arquimedes: esfera inscrita em cilindro reto. Com cilindro de raio r e altura 2r, a esfera tem área 4πr² e volume 4πr³/3, e o cilindro tem área total 6πr² e volume 2πr³. Ambas as razões são 2/3, resultado demonstrado por Arquimedes. B, C, D e E: nesses sólidos as razões entre áreas e entre volumes não coincidem, e não são o resultado clássico de Arquimedes. Referência: Arquimedes, Sobre a esfera e o cilindro. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Plano tangente paralelo ao dado: 2x + 3y − z − 2 = 0. Para ser paralelo ao plano dado, o plano tangente exige f_x = 2 e f_y = 3. Como f_x = 2xy e f_y = x²+2, temos x² = 1, logo x = 1, e então 2y = 2, logo y = 1. Isso dá z = 3. O plano é z−3 = 2(x−1) + 3(y−1), isto é, 2x + 3y − z − 2 = 0. As demais opções são planos paralelos com termos independentes diferentes de −2 e não tangem a superfície no ponto (1,1,3). Referência: Cálculo de várias variáveis: plano tangente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Reta normal a C em P(1,2): y = −10x + 12. Derivando implicitamente, y' = −(3x²−2y)/(3y²−2x). Em (1,2), y' = −(3−4)/(12−2) = 1/10. A normal tem inclinação −10, então y−2 = −10(x−1), ou seja, y = −10x + 12. As demais retas têm inclinações diferentes de −10 ou não passam por (1,2). A) 8 e E) 10 têm inclinação errada; B) −1 e C) −8 também. Referência: Cálculo: derivação implícita e reta normal. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Pelo Pequeno Teorema de Fermat, p = 17. Para p primo que não divide 385, 385^(p−1) ≡ 1 (mod p). Com p = 17, p−1 = 16, e o resultado vale diretamente. 17 não divide 385 = 5·7·11. 11 divide 385, então o resto é 0. Para 29, 23 e 19, a ordem de 385 não divide 16. Por exemplo, mod 29, 385 ≡ 8 e 8^16 ≡ 23, não 1. Referência: Pequeno Teorema de Fermat. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Contagem de senhas com elementos distintos: 4.590. O 2º elemento é uma vogal, com 10 opções (maiúscula ou minúscula). O 3º é ímpar distinto do 1º: se o 1º é 3, há 4 opções; se é 6, há 5, somando 9 combinações. O 4º é qualquer das 52 letras menos a vogal já usada, ou seja, 51. Total: 9 × 10 × 51 = 4.590. As demais opções resultam de ignorar a distinção entre elementos ou de contar errado as opções do 3º e do 4º elementos. Referência: Princípio fundamental da contagem. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Valores 8, 16, 18, 18 (em mil), com desvio padrão ≈ 4,1. A soma é 60. Com mediana 17, a soma dos dois centrais é 34. Com moda 18, os dois maiores são 18 e 18, então o segundo é 16 e o menor é 8. Os desvios em relação à média 15 são −7, 1, 3, 3, com soma dos quadrados 68. A variância populacional é 17 e o desvio padrão é √17 ≈ 4,12. A, B, D e E não correspondem a √17 ≈ 4,1. O valor 4,76 (amostral) também não aparece entre as opções, então vale o populacional. Referência: Estatística descritiva: média, mediana, moda e desvio padrão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível F leva uma base de ℝ² em vetores LI, logo é injetora, mas não sobrejetora em ℝ³. Os vetores (1,1) e (0,−1) formam base de ℝ². As imagens (1,1,3) e (2,0,4) são linearmente independentes, então o núcleo é {0} e F é injetora. A imagem tem dimensão 2 < 3, logo F não é sobrejetora.
B) Não é bijetora, pois dim ℝ² ≠ dim ℝ³. C) É injetora. D) Não é sobrejetora. E) É possível determinar, pois F fica unicamente definida pela base. Referência: Transformações lineares: núcleo e imagem. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Autovetor associado ao maior autovalor (6) tem b = c (na verdade b = c = 0). A matriz de F tem linhas (6,−1,1), (0,1,−1), (0,−3,−3). Os autovalores são 6 e as raízes de λ²+2λ−6=0 (−1±√7), então o maior é 6. Em (F−6I)v=0 temos −y+z=0 e −5y−z=0, o que dá y=z=0. Logo v=(a,0,0) e b=c. A, B, C e E impõem relações que só valeriam por acaso (por exemplo, a = c exigiria a = 0). Com b = c = 0 e a qualquer, apenas D vale sempre. Referência: Álgebra Linear: autovalores e autovetores. Resolução comentada do VaiConcursos.EsFCEx — Concurso de Admissão 2023 — Curso de Formação de Oficiais do Quadro Complementar — Área: Magistério em Matemática — 013. Prova Objetiva — Versão A
Resolução comentada
Análise das alternativas
que ela é
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
primeiro membro é uma soma de infinitos termos em que, a partir do segundo, há uma regularidade. O produto das raízes dessa equação resulta emResolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
o vetor rotacional é dado pelas componentes
–9x² + 4y² + 72x + 8y – 284 = 0. A excentricidade desta hipérbole é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Um dos feitos de Arquimedes foi demonstrar que, em certas condições, a razão entre a medida da área de superfície de certo sólido geométrico e a medida da área de superfície de um segundo sólido geométrico é igual à razão entre a medida do volume do primeiro sólido e a medida do volume do segundo sólido. Estes sólidos, assim como as condições, são
A equação do plano tangente à superfície dada pela função z = f(x,y) = x²y + 2y, com x ≥ 0 e y ≥ 0, que é paralelo ao plano de equação 2x + 3y – z + 1 = 0 é
Considerando-se y = f(x) dada na forma implícita pela equação da curva C: x³ + y³ – 2xy – 5 = 0, a equação da reta normal à curva C, no ponto P(1,2), é dada por
Dada a equação y’x – 6y = 0, com x ≠ 0 e y ≠ 0, a solução particular para y(4) = 128 é
Sabendo-se que a potência 385¹⁶, quando dividida por um número primo p deixa resto 1, é correto afirmar que p pode corresponder a
Em um grupo contendo 21 militares há 11 cabos e 10 sargentos. Deseja-se formar, aleatoriamente, grupos com 3 militares, de modo que não exista grupo formado somente por cabos e não exista grupo formado somente por sargentos. Após a formação dos grupos, escolhido, aleatoriamente, um deles, a probabilidade de que o grupo escolhido seja formado por dois sargentos é de
O conjunto A da função f: A → ℝ dada por
Pretende-se elaborar uma senha composta por quatro elementos distintos. Para tanto, serão utilizados números de 1 a 9 e letras, dentre as 26 letras do nosso alfabeto, sendo que há distinção entre letras no formato maiúsculo e no formato minúsculo. Para o primeiro elemento da senha, pretende-se que seja o número 3 ou o número 6; para o segundo elemento, que seja uma vogal; para o terceiro elemento, pretende-se que seja um número ímpar; e para o último elemento, pretende-se que seja uma letra qualquer. O número total de possibilidades distintas para elaborar esta senha é
Sobre os valores de quatro orçamentos, sabe-se que a média aritmética simples é igual a R$ 15 mil, que a mediana é de R$ 17 mil, e que a moda é de R$ 18 mil. Das alternativas a seguir, a que contém o valor que mais se aproxima do desvio padrão dos valores destes orçamentos é
No o campo vetorial:
Um sólido geométrico é limitado pelo triângulo com vértices de coordenadas (0,0), (2,2) e (4,0) e pela função z = f(x,y) = xy². O volume deste sólido é de
Dados os números reais distintos, x₀, x₁, x₂, x₃, x₄, e fixados, arbitrariamente, os valores y₀, y₁, y₂, y₃, y₄, existe um, e somente um, polinômio p(x), de grau menor ou igual 4, tal que y₀ = p(x₀), y₁ = p(x₁), y₂ = p(x₂), y₃ = p(x₃), y₄ = p(x₄). Neste caso, uma possibilidade para identificar as raízes deste polinômio, é resolver a equação
Uma hipérbole é dada pela equação:
Seja F: ℝ² → ℝ³ uma transformação linear tal que F(1,1) = (1,1,3) e F(0,–1) = (2,0,4). Sobre esta transformação linear, é correto afirmar que
Em um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas no plano, considere os pontos de coordenadas A(2,5), B(3,–7), C(1,4) e D(8,2). Sobre o ângulo θ formado pelos segmentos orientados AB e CD, é correto afirmar que
Calculando-se I = ∫ xsen(x)cos(x)dx tem-se como um resultado possível
Sobre o autovetor v = (a,b,c), associado ao maior auto valor do operador linear F: ℝ³ → ℝ³ dado por F(x,y,z) = (6x – y + z, y – z, –3y – 3z), é correto afirmar que