← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível (4−2i)/(−2+i) = −2. Note que 4−2i = −2·(−2+i). Logo, a divisão resulta em −2. Pelo método do conjugado: (4−2i)(−2−i)/((−2)²+1²) = (−8−4i+4i+2i²)/5 = (−8−2)/5 = −2. A, B e C trazem parte imaginária não nula, mas o resultado é real, pois o numerador é múltiplo do denominador. D (2) erra o sinal. E está correta. Referência: Números complexos: divisão na forma algébrica (multiplicação pelo conjugado do denominador). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A PG tem razão 2/(x²+2). Resolvendo, x² = 2, x = ±√2, e a soma das raízes é 0. Seja t = x²+2. A PG tem primeiro termo t e razão 2/t, e sua soma é t/(1−2/t) = t²/(t−2) = 8. Então t²−8t+16 = 0 e t = 4, o que dá x² = 2. As raízes são ±√2, e a razão 1/2 garante a convergência. A soma das raízes é 0. A), C), D) e E) Não podem ser a soma, pois as raízes ±√2 se cancelam, e a soma é nula. Referência: Matemática – PG infinita e equações Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O ângulo de 75° corresponde a 2,5 passos de 30°, o que dá n = 12 lados e 54 diagonais. O ponto O₁ é o centro do polígono, pois a mediatriz de CD e a bissetriz de A passam por ele. O ângulo AÔ₁M₁ percorre 2,5 ângulos centrais (de A a C são 2, e mais metade até M₁). Então 2,5·(360°/n) = 75°, logo n = 12. O número de diagonais é d = n(n−3)/2 = 12·9/2 = 54. A) 35 corresponde a n = 10. B) 44 corresponde a n = 11. D) 65 corresponde a n = 13. E) 77 corresponde a n = 14. Nenhum desses n dá 75°. Referência: Matemática – Polígonos regulares, ângulos e diagonais Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A probabilidade de as três partes formarem um triângulo é 1/4. Sejam x, y, z as partes, com x+y+z = 2. Para formar um triângulo, cada parte deve ser menor que 1. No triângulo de todas as possibilidades, essa condição define o triângulo medial, cuja área é 1/4 da total. A probabilidade é 1/4. A), B), D) e E) Não correspondem à razão de áreas encontrada, que é 1/4. Referência: Matemática – Probabilidade geométrica e condição de existência do triângulo Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação tem 6 soluções em [0, 2π]. cos(3x − π/4) = 0 implica 3x − π/4 = π/2 + kπ, ou seja, x = π/4 + kπ/3. Para x ∈ [0, 2π], valem k = 0, 1, 2, 3, 4, 5, o que dá 6 soluções. Para k = 6, x = π/4 + 2π, que passa de 2π. A), B), C) e D) Contam menos soluções do que as 6 que cabem no intervalo. Referência: Matemática – Trigonometria, equações trigonométricas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A equação x² − 4x − 5 = 0 dá x = 5 (x = −1 é descartada), e 5 ∈ (1, 5]. Temos f(2√x) = 4x + 1, então x² + 1 = 4x + 1 + 5, ou seja, x² − 4x − 5 = 0, com raízes 5 e −1. Como √x exige x ≥ 0, só serve x = 5, que pertence a (1, 5]. A), B) e C) Contêm valores negativos ou até 1, como o −1 descartado. E) (5, +∞) não contém o 5, pois o intervalo é aberto em 5. Referência: Matemática – Função quadrática e equação irracional Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Como |r₁−r₂| < d < r₁+r₂, as circunferências são secantes. λ₁ tem centro (1,2) e raio 2. λ₂ tem centro (−2,5) e raio 4. A distância entre os centros é d = √18 ≈ 4,24. Como |4−2| = 2 < 4,24 < 6 = 4+2, as circunferências são secantes.
A) e B) Exigiriam d 6 ou d = 6. Nenhuma dessas condições vale. Referência: Matemática – Geometria analítica, posições relativas de circunferências Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível As raízes são 1 e 1/2, mais i e −i: uma inteira, uma racional não inteira e duas complexas não reais. Testando, p(1) = 0 e p(1/2) = 0. Logo, p(x) = (x−1)(2x−1)(x²+1), o que dá as raízes 1, 1/2, i e −i. Ou seja: uma inteira, uma racional não inteira e duas complexas não reais. A) Não há raiz irracional. C) Não há 2 irracionais, e as racionais são 2 apenas se contarmos 1 e 1/2, mas as outras duas são complexas. D) Nem todas as raízes são inteiras. E) Só há duas raízes reais, então não há 3 racionais não inteiras. Referência: Matemática – Polinômios e equações recíprocas Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Aplicando as propriedades dos logaritmos, o resultado é 2A + B − C/2. log(a²·b/√c) = log(a²) + log(b) − log(c^(1/2)) = 2log a + log b − (1/2)log c = 2A + B − C/2. A) e B) Trocam o sinal de 2A, que deve ser positivo. D) Troca o sinal de B, que deve ser positivo. E) Troca o sinal de C/2, que deve ser negativo, pois o √c está no denominador. Referência: Matemática – Logaritmos, propriedades operatórias Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx — Concurso de Admissão 2023 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês (2º dia) — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Pode-se afirmar que os conjuntos domínio e imagem de f, respectivamente chamados de D(f) e Im(f), são:
O formato tridimensional desse reservatório foi obtido pelo giro completo da seção reta em torno do eixo de simetria. Desejando-se realizar a pintura da área lateral do reservatório, a Prefeitura Militar da EsPCEx adquiriu uma tinta que tem rendimento de 5 metros quadrados por litro. 
Considerando π = 3, o mínimo número inteiro de litros de tinta necessários para a pintura é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
é igual a:
, é correto afirmar que:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a alternativa que contém o valor, em metros, de a + b :Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Dado o sistema:
Sendo i a unidade imaginária, a correta forma algébrica do número (4 − 2i)/(−2 + i) é:
Sobre uma semicircunferência de diâmetro AB, são dispostos 10 pontos distintos, incluindo A e B.
Qual o valor da soma das raízes da equação (x² + 2) + 2 + 4/(x² + 2) + 8/(x² + 2)² + ⋯ = 8 ?
Em um polígono regular ABCDEFG…, as interseções da mediatriz relativa ao lado CD com a bissetriz interna relativa ao vértice A e com o lado CD são, respectivamente, os pontos O₁ e M₁. Sabendo que o ângulo AÔ₁M₁ é igual a 75º e que o lado BC está contido no interior do ângulo AÔ₁M₁, o número de diagonais do polígono ABCDEFG… é igual a:
Analise o gráfico da função f(x) abaixo:
Uma esfera está inscrita em um tronco de pirâmide quadrangular regular cujas arestas das bases medem 4 cm e 5 cm, respectivamente.
Um depósito de munições no formato retangular será construído em um campo de instrução do Exército Brasileiro. A planta da construção prevê que esse retângulo esteja inscrito em uma área cujo formato é de um triângulo isósceles de base 24m e altura 16m.
Considere as retas r: −x/2 + 2y − 3 = 0 e s: ax + by + c = 0.
Foi construído na EsPCEx um reservatório de água cuja seção reta do sólido que o representa e que passa pelo seu eixo de simetria é mostrada na figura a seguir.
Um segmento de reta de 2 cm deve ser dividido em três partes. Qual a probabilidade dessas três partes formarem um triângulo?
Sabendo que x ∈ [0, 2π], o número de soluções da equação cos(3x − π/4) = 0 é igual a:
Sabendo que x ∈ ℝ, o conjunto solução S da equação 4ˣ + 10ˣ = 25ˣ é:
Sabendo que x ∈ ℝ, o produto dos valores de x que tornam nulo o determinante da matriz
Dados os conjuntos A ⊂ ℝ, B ⊂ ℝ e C ⊂ (A ∪ B). Se A ∪ B, A ∩ C e B ∩ C são, respectivamente, os domínios das funções reais definidas por: log(2x − √π/2), √(−x² + 7x − 12) e
Dada a função real f(x) = x² + 1, a solução de f(x) = f(2√x) + 5 pertence ao conjunto:
Considere as circunferências λ₁: x² + y² − 2x − 4y + 1 = 0 e λ₂: x² + y² + 4x − 10y + 13 = 0. Qual a posição relativa de λ₁ e λ₂ ?
A fim de proporcionar a seus militares melhores condições para a prática de Treinamento Físico Militar, um Batalhão do Exército Brasileiro planeja construir uma pista de corrida. Sabe-se que a pista deverá ser limitada por duas elipses, conforme ilustrado pela figura abaixo. A largura da pista ainda será definida, mas já existe a determinação de que a distância de P1 a P2 seja de 120 metros. Planeja-se também instalar um mastro em cada foco da elipse interior, representados na figura pelos pontos R1 e R2, para que posteriormente o Batalhão possa hastear bandeiras. A ordem é que os mastros possuam a distância de 80 metros entre si. Considere a equação da elipse interior como x²/a² + y²/b² = 1.
Em relação ao polinômio p: ℂ → ℂ dado por p(x) = 2x⁴ − 3x³ + 3x² − 3x + 1, pode-se afirmar que:
Sabendo que log(a) = A , log(b) = B e log(c) = C, temos que o valor de log((a²·b)/√c) é igual a: