← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Concurso de Formação e Graduação 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 39 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Após simplificar os fatores comuns, resta (x−3)(x−7) < 0 com x ≠ ±1, o que dá os inteiros 4, 5 e 6. Fatorando: x⁹−1 = (x−1)(x²+x+1)(x⁶+x³+1) e x⁶−1 = (x−1)(x+1)(x²+x+1)(x²−x+1). Os fatores (x+1), (x−1), (x²+x+1), (x²−x+1) e (x⁶+x³+1) cancelam entre numerador e denominador. Os que sobram, x²−x+1 e x⁶+x³+1, são sempre positivos. Resta (x−3)(x−7) < 0, ou seja, 3 < x < 7, com x ≠ ±1 (que já está fora do intervalo). Os inteiros são 4, 5 e 6, ou seja, 3 soluções.
B, C, D e E) Erradas: contariam 3 e 7 (que anulam o numerador) ou valores fora do intervalo 3 < x < 7.
Referência: Inequações racionais; fatoração de x⁹−1 e x⁶−1. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível g(x) = (x+2)(x−1)(x³+b); com b = 8, x³+8 também tem o fator (x+2), e o maior k é 2. Agrupando, g(x) = x³(x²+x−2) + b(x²+x−2) = (x²+x−2)(x³+b) = (x+2)(x−1)(x³+b). Para elevar a multiplicidade de −2, é preciso x³+b ter raiz −2, o que exige b = 8. Então x³+8 = (x+2)(x²−2x+4), e o fator x²−2x+4 não tem raiz −2. Assim g tem (x+2)², e o maior k é 2. A) Errada: k = 1 é só o caso geral; com b = 8 o expoente sobe. C, D e E) Erradas: exigiriam multiplicidade 3 ou mais de −2, mas x²−2x+4 não se anula em −2 e (x−1) não contribui, então o máximo é 2. Referência: Polinômios: fatoração, divisibilidade e raízes múltiplas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Os termos da diagonal são 505i − 495; o traço é 2.500.750, e a soma dos algarismos é 19. O elemento a(i,i) ocupa a posição k = 100(i − 1) + i = 101i − 100 na PA. O termo é 10 + 5(k − 1) = 5k + 5 = 505i − 495. O traço é Σ(i=1 a 100)(505i − 495) = 505·5050 − 49500 = 2.500.750. A soma dos algarismos é 2+5+0+0+7+5+0 = 19. A, C, D e E) Erradas: resultam de erros na posição dos elementos da diagonal ou na soma, e não correspondem a um traço de 2.500.750. Referência: Progressão aritmética e traço de matriz. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Gabarito disponível A probabilidade de o D12 superar a soma dos dois dados é 180/432 = 5/12. Se a soma dos dois dados é s, o dodecaedro supera s com probabilidade (12 − s)/12. Com w(s) maneiras de obter a soma, Σ w(s)(12 − s) = 10+18+24+28+30+30+20+12+6+2 = 180. O total de casos é 36 × 12 = 432. Logo P = 180/432 = 5/12. A, B, C e E) Erradas: não coincidem com a contagem 180/432 = 5/12. Referência: Probabilidade: espaço amostral equiprovável e distribuição da soma de dois dados. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Somando os arcos pela fórmula da tangente da soma, arctg(1/3)+arctg(1/4)+arctg(1/5) = arctg(23/24), e então 1/n = 1/47. arctg(1/3)+arctg(1/4) = arctg[(7/12)/(1 − 1/12)] = arctg(7/11). Somando arctg(1/5): (7/11+1/5)/(1−7/55) = (46/55)/(48/55) = 23/24. Então arctg(1/n) = π/4 − arctg(23/24) = arctg[(1 − 23/24)/(1 + 23/24)] = arctg(1/47). Logo n = 47. A, B, C e E) Erradas: com esses valores a soma dos quatro arcos não dá π/4, pois o único valor que fecha a igualdade é n = 47. Referência: Trigonometria: tg(a+b) e tg(a−b); funções trigonométricas inversas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A tangente interior é perpendicular à reta dos centros (y = x) e passa pelo ponto de tangência: x + y + 6(√2 − 2) = 0. A distância entre os centros é 6√2, então o raio da circunferência na origem é 6√2 − 6. A tangente interior comum passa pelo ponto de tangência e é perpendicular à reta y = x, logo tem a forma x + y = k. O ponto de tangência está a r₀ da origem sobre y = x, com soma das coordenadas r₀√2 = 12 − 6√2 = −6(√2 − 2). Assim, x + y + 6(√2 − 2) = 0. A, B e E) Erradas: têm coeficientes diferentes de x e y, então a inclinação não é −1 e a reta não é perpendicular a y = x. D) Errada: tem a inclinação certa, mas o sinal do termo constante está trocado, o que a coloca do lado oposto, em x + y positivo. Referência: Geometria analítica: circunferências tangentes e retas tangentes comuns. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O ângulo é máximo quando a distância ao muro é d = (√3/2)L, o que dá tg = 1/√3, ou seja, 30°. Vista do observador, a barra vai de altura L/2 até 3L/2. O ângulo é AOB = arctg(3L/2d) − arctg(L/2d). Daí tg(AOB) = (L/d)/(1 + 3L²/(4d²)) = L·d/(d² + 3L²/4). Esse valor é máximo quando d² = 3L²/4, e então tg(AOB) = L/(2d) = 1/√3. Portanto o ângulo máximo é 30°. B, C, D e E) Erradas: nenhum desses ângulos tem tangente igual ao valor máximo 1/√3 encontrado. Referência: Trigonometria: tangente da diferença de arcos e maximização do ângulo de visão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível ABCD é a projeção ortogonal de A′B′C′D′ sobre α, então a razão das áreas é cos(π/6) = √3/2. Os pontos A′, B′, C′, D′ estão em β e ABCD é a projeção ortogonal deles sobre α. A área da projeção é a área original multiplicada pelo cosseno do ângulo diedro. Assim, [ABCD] = [A′B′C′D′]·cos(π/6), e a razão pedida é √3/2. A) Errada: só valeria se os planos fossem paralelos. B) Errada: 3/2 é maior que 1, mas a projeção reduz a área. D) Errada: √3/3 não é cos 30°. E) Errada: 1/3 não corresponde ao cosseno de 30°. Referência: Geometria espacial: área da projeção ortogonal e ângulo diedro. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A bola preta para em b ∈ {0..m−1} e a branca em w ∈ {0..n−1}, ambas uniformes; P(w < b) = (m−1)/(2n). Lançada do degrau m, a bola preta para em cada degrau de 0 a m−1 com probabilidade 1/m. A branca, lançada de n, para em cada degrau de 0 a n−1 com probabilidade 1/n. Para a preta parada em b, a branca fica abaixo com probabilidade b/n, pois há b degraus menores que b. Logo P = Σ(b=0 a m−1) (1/m)(b/n) = (1/(mn))·m(m−1)/2 = (m−1)/(2n). A, B, C e D) Erradas: não resultam da soma Σ b/(mn). Ignoram o fator (m−1) ou tratam mal a contagem dos degraus abaixo de b, que inclui o degrau 0. Referência: Probabilidade condicional e total; soma de PA. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A energia interna mínima para fundir o chumbo é m(c·ΔT + L), e ela equivale a 25% da energia cinética, o que dá v = 600 m/s. Para fundir totalmente é preciso aquecer de 175 °C a 327 °C (ΔT = 152 °C) e depois fundir: Q = m(125·152 + 26000) = 45000·m J. Isso corresponde a 25% da energia cinética: 0,25·(½mv²) = 45000·m, ou seja, v²/8 = 45000. Então v² = 360000 e v = 600 m/s. A, B, C e D) Erradas: não satisfazem v² = 360000. Resultam de esquecer a parcela do calor latente, de ignorar o fator de 25% ou de errar a conta da energia cinética. Referência: Calorimetria: calor sensível e calor latente; conversão de energia cinética em energia interna. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponívelIME — Concurso de Admissão 2023/2024 — 1ª Fase — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
• |A| = |B| = |C|
• 
• |A ∩ B| < |A ∩ C| < |B ∩ C|
O menor valor possível para a soma dos elementos de A ∪ B ∪ C é:
[(x+1)(x⁹−1)(x²−x+1)(x²−10x+21)] / [(x⁶−1)(x⁶+x³+1)] < 0
é:Resolução comentada
Análise das alternativas
é:Resolução comentada
Análise das alternativas
O maior valor de α real para o qual 0 < |x − 1| < α ⇒ |f(x) − 1| < 1 é:
seja ortogonal é:Resolução comentada
Análise das alternativas
![0,09 elevado a (4+x) vezes o colchete [(1/√0,3) elevado a x²] elevado ao quadrado, menor que x² − (x + 1)(x − 1).](https://vaiconcursos.com/wp-content/uploads/questoes-v4/imagens/e61f7805dc5c2025fb8835260fc827e3400fa165c68a2a8a362fc82ce4d4c899/q008_img_01.png)
é:
![A igual ao somatório de n = 1 a 1000 de [(i) elevado a (2n−2) vezes ln((n+1)/(n+2)) elevado a (−1) elevado a (n−1)].](https://vaiconcursos.com/wp-content/uploads/questoes-v4/imagens/e61f7805dc5c2025fb8835260fc827e3400fa165c68a2a8a362fc82ce4d4c899/q009_img_01.png)
0 valor de e⁻ᴬ é:Resolução comentada
Análise das alternativas
arctg(1/3) + arctg(1/4) + arctg(1/5) + arctg(1/n) = π/4
é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Dados:
• calor específico do chumbo: 125 J/(kg.°C);
• temperatura de fusão do chumbo: 327 °C;
• calor latente de fusão do chumbo: 26.000 J/kg.
Se a energia interna que permanece após o projétil atingir a parede é justamente a mínima para que ocorra a fusão total do chumbo, a velocidade do projétil imediatamente antes da colisão, em m/s, é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Um recipiente vazio de formato cônico está parcialmente imerso na água e em equilíbrio, como geometria apresentada na figura. Insere-se no interior do recipiente uma partícula de massa m = Kρπh³, onde K é uma constante, ρ é a massa específica da água e h está indicado na figura. Após essa inserção, o recipiente sofre um pequeno deslocamento, afundando uma altura Δh.
Dado:
• aceleração da gravidade: g.
Observações:
• a espessura do recipiente é muito pequena;
• Δh ≪ h;
• para |α| ≪ 1, (1 + α)ⁿ ≈ 1 + nα.
A altura Δh que o recipiente irá afundar até o novo ponto de equilíbrio é:
A figura mostra dois raios paralelos de luz que viajam em fase no vácuo até que um deles encontra uma película.
Dados:
• espessura da película: d;
• índice de refração da película: n;
• frequência dos raios de luz: f;
• velocidade da luz no vácuo: c.
Observação:
• a medida de diferença de fase entre os raios tem como referência um plano ortogonal a eles.
A condição necessária e suficiente para que os raios continuem viajando em fase após o raio de baixo deixar a película é:
O sistema da figura é montado com o objetivo de determinar a resistência elétrica de uma espira condutora de área A. O centro dessa espira descreve uma trajetória circular de raio R e período t, à velocidade angular constante, ao redor de um fio também condutor com uma corrente elétrica contínua I. A corrente elétrica na espira é medida e seu valor oscila harmonicamente entre +i e −i.
Dados:
• área da espira: A = 1 cm²;
• raio da trajetória do centro da espira: R = 10 cm;
• período da trajetória circular do centro da espira: t = 2 s;
• corrente elétrica contínua do fio condutor: I = 50 A;
• amplitude da corrente elétrica induzida medida na espira: i = 1 mA;
• permeabilidade magnética no vácuo: μ= 4π.10⁻⁷ T.m/A.
Observações:
• o sistema segue a orientação dos eixos xyz desenhados na figura;
• o fio condutor é paralelo ao eixo z;
• o eixo da espira está sempre paralelo ao eixo y;
• o plano da espira é sempre paralelo ao plano xz;
• o plano da trajetória do centro da espira é paralelo ao plano xy;
• considere que as linhas de campo magnético que atravessam a espira estejam paralelas;
• para toda frequência f, considere Δsen(2πft)/Δt = 2πf cos(2πft).
A resistência da espira, em μΩ, é:
Dois gases perfeitos, G₁ e G₂, estão contidos em recipientes rígidos, separados por um êmbolo que se move sem atrito por um tubo longo de área de seção transversal S, conforme a figura. Cada um dos gases possui volume inicial V, a uma temperatura de 27 °C. Considere a seguinte transformação isobárica do conjunto: a temperatura de G₁ aumenta 100 °C e a de G₂ diminui 100 °C. A expressão que representa o deslocamento x do êmbolo até o novo ponto de equilíbrio é:
A, B e C são conjuntos não vazios de inteiros positivos e |X| representa a cardinalidade de um conjunto X. Sabe-se que:
O número de soluções inteiras da inequação
Seja i tal que i² = −1. O valor do número real α que satisfaz à equação
Seja o polinômio g(x) = x⁵ + x⁴ − 2x³ + bx² + bx − 2b. O valor do maior inteiro k para o qual g(x) é divisível por (x + 2)ᵏ para algum b inteiro é:
Considere a função real
Uma matriz quadrada M é dita ortogonal se M × Mᵀ = I, em que I é a matriz identidade. O conjunto solução S contendo os valores de a, b e c para que a matriz
Seja uma matriz com 100 linhas e 100 colunas. O elemento da linha i e coluna j é denotado por aᵢ,ⱼ. Os elementos da matriz formam uma progressão aritmética (PA) de razão 5. O primeiro termo da progressão é o elemento a₁,₁ e tem seu valor igual a 10. Para formar essa PA, percorrem-se os elementos de uma mesma linha e concluída uma linha, passa-se para a próxima. Se n é o traço da matriz, a soma dos algarismos de n é:
O intervalo que contém os valores de x tais que
Seja i tal que i² = −1. Seja A dado pela equação:
Sejam dois dados cúbicos (com faces numeradas de 1 a 6) e um dado na forma de dodecaedro (com faces numeradas de 1 a 12). Em cada tipo de dado, todas as faces possuem mesma probabilidade de ocorrência. Com um único lançamento de cada dado, a probabilidade de se obter maior pontuação com o dodecaedro do que com os dois dados cúbicos somados é:
O valor de n ∈ ℕ tal que
Considere duas circunferências no plano cartesiano Oxy, uma de raio igual a 6 e centro no ponto (6,6) e outra de centro na origem e tangente exteriormente à primeira. A equação da tangente interior comum às circunferências é:
Considere uma barra AB de comprimento L fixada na posição vertical sobre um muro de altura L/2, que está assentado sobre um plano horizontal. Desprezando a altura do observador O, o ângulo máximo AOB enquanto o observador O caminha sobre o plano horizontal é:
Sejam α e β dois planos não paralelos que se interceptam na reta r e cujo ângulo diedro é π/6 radianos. Tome pontos A,B,C,D de α e, por cada um destes pontos, trace retas ortogonais a α que interceptam β nos pontos A′,B′,C′,D′, respectivamente. Sabendo que o quadrilátero ABCD é um trapézio cuja diagonal AC é paralela a r, a razão entre as áreas de ABCD e A′B′C′D′ é:
Em uma escada, uma bola lançada do i-ésimo degrau irá parar em qualquer degrau mais baixo com probabilidade 1/i. Por exemplo, ao lançarmos uma bola do 3º degrau, a bola tem 1/3 de chances de parar no 2º degrau, 1/3 de chances de parar no 1º degrau e 1/3 de chances de parar no degrau 0. Nessa escada lançamos uma bola preta do degrau m, m > 0, e uma bola branca do degrau n, n > m. A probabilidade de a bola branca parar em um degrau mais baixo do que a bola preta é:
Um projétil de chumbo está a uma temperatura de 175 °C quando atinge uma parede e nela se aloja. Considere que 25% da energia cinética do projétil imediatamente antes da colisão permaneça nele como energia interna.