← Voltar para a lista de provas Colégio Militar de Belo Horizonte · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível 4,999... é uma dízima periódica igual a 5, que pertence a ℕ. A dízima 4,9̅ é igual a 5 (9/9 = 1, logo 4 + 1 = 5), e 5 é número natural. Portanto 4,9̅ ∈ ℕ é verdadeira. A) {a} é subconjunto, não elemento, de {a,b}; o correto seria {a} ⊂ {a,b}. C) {a} é elemento de {{a},b}, então seria {a} ∈, não ⊂. D) √2 + (−√2) = 0, que é racional. E) A representação decimal é finita se b tiver apenas fatores 2 e/ou 5 (ex.: 1/5 = 0,2), não somente potências de 2. Referência: Conjuntos numéricos; dízimas periódicas; pertinência e inclusão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A urna com bolas brancas tem 17 bolas, e a razão é 17/92. O total é 16+17+18+19+22 = 92. Retirando a urna branca, restam bolas azuis e pretas na proporção 2:1, então o restante deve ser múltiplo de 3. Como 92 deixa resto 2 na divisão por 3, a urna branca deve deixar resto 2: só 17 serve (92−17=75). Razão = 17/92. Retirando 16, 19 ou 22 sobram 76, 73 ou 70, que não são múltiplos de 3. Retirando 18 sobram 74, também não múltiplo de 3. Só o 17 deixa 75, divisível por 3. Referência: Razão e divisibilidade por 3. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Da igualdade segue 3(x²+y²)=2xy, logo x/y+y/x=2/3. Expandindo, x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶ = x⁶+2x³y³+y⁶, o que dá 3x²y²(x²+y²) = 2x³y³. Como xy≠0, divide-se por x²y²: 3(x²+y²)=2xy. Então x/y + y/x = (x²+y²)/(xy) = 2/3. 5/4, 1/3, 1/2 e 2/9 não resultam da relação 3(x²+y²)=2xy; são valores que surgem de erros de manipulação algébrica ao expandir os cubos e quadrados. Referência: Produtos notáveis: (a+b)³ e manipulação algébrica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Pelas relações de Girard, a⁶+b⁶ = 6346. Pelas relações entre coeficientes e raízes, a+b=5 e ab=3. Então a²+b²=25−6=19 e a³+b³=125−3·3·5=80. Portanto a⁶+b⁶=(a³+b³)²−2(ab)³=6400−54=6346. 6.436, 6.364, 6.463 e 6.634 são permutações dos mesmos algarismos e não resultam do cálculo; apenas 6.346 corresponde a 6400−54. Referência: Relações de Girard; identidades de soma de potências. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A segunda parcela é (1+i)(A+iA−P). Após o primeiro mês, a dívida passa a A(1+i). Paga-se P, restando A(1+i) − P = A + iA − P. No segundo mês esse saldo rende juros e vira a segunda parcela: (1+i)(A + iA − P). A e B usam o sinal incorreto dos juros no saldo (A − iA). C e E elevam (1+i) ao quadrado, o que capitalizaria o saldo por dois meses. Além disso, C e E também usam o saldo incorreto A − iA. Referência: Juros compostos; amortização de empréstimo em duas parcelas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Média dos homens = 49 anos. A soma das idades dos 8 professores é 8·45,625 = 365. A soma das idades das 4 mulheres é 4·42,25 = 169. A soma das idades dos homens é 365−169 = 196, e a média deles é 196/4 = 49. B, C, D e E (50, 51, 52, 53) não satisfazem a relação entre as somas das idades; apenas 49 fecha o total de 365. Referência: Média aritmética simples e ponderada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Soma de quadrados igual a zero implica os dois termos nulos; resulta (a,b)=(1,2), a+b=3. A soma de dois quadrados só é zero se ambos forem zero: 3x−y−1=0 e x²−2xy+3=0. Substituindo y=3x−1 na segunda, obtém-se −5x²+2x+3=0, ou seja, 5x²−2x−3=0, com raízes x=1 e x=−3/5. Como a,b>0, x=1 e y=2, logo a+b=3. A raiz x=−3/5 dá y negativo, portanto é descartada. Os valores 5, 6, 7 e 10 não correspondem ao único par positivo (1,2). Referência: Soma de quadrados nula; sistemas não lineares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O hexágono formado pelos pontos médios tem lado a√3/2 e área 9a²√3/8. Os pontos médios dos lados estão a uma distância do centro igual ao apótema do hexágono original, a√3/2. Eles formam um hexágono regular cujo raio é a√3/2, e o lado de um hexágono regular é igual ao seu raio. A área é (3√3/2)·(a√3/2)² = (3√3/2)·(3a²/4) = 9a²√3/8. A) é a área do hexágono original com lado a... na verdade 3a²√3/2 é a área do hexágono original, não a do segundo. B, C e D resultam de erros na razão entre os lados (usar a/2, a/√2 etc.). Apenas E corresponde ao lado a√3/2. Referência: Área do hexágono regular: 3L²√3/2; apótema = L√3/2. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Rendimento conjunto com queda de 10 blocos/h, em 5 horas, dá B = 50xy/(5x+5y−xy). Seja B o número de blocos. Sozinhos, os pedreiros rendem B/x e B/y blocos por hora. Juntos, rendem B/x + B/y − 10 = B/5, pois levam 5 horas. Então B(1/x + 1/y − 1/5) = 10, ou seja, B(5y + 5x − xy)/(5xy) = 10. Daí B = 50xy/(5x+5y−xy). As demais alternativas não surgem da equação de rendimento: ignoram o fator 10 blocos/h ou o tempo de 5 h, ou combinam x e y com sinais incorretos. Referência: Problemas de rendimento (trabalho em conjunto). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Propriedades das desigualdades: se x<0, então x²>x. Se x0), e todo número positivo é maior que qualquer número negativo. Logo x² > 0 > x, e a alternativa A é verdadeira. B) x² > 0 vale também para x0. C) x² > x vale para x0. D) x² > x vale também para x>1 (ex.: x=2), então não implica x<0. E) Para x=-1 x=-1, o que contraria a afirmação. Referência: Propriedades das desigualdades; sinal do quadrado de um número real. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Vazamento no tanque durante o tempo parado e antes do deslocamento. Sem furo, a viatura consome 60/6 = 10 L/h. Com o furo, o tanque cheio dura 3,6 h, o que dá 60/3,6 = 50/3 L/h de perda total, e o vazamento é de 50/3 − 10 = 20/3 L/h. Em 36 min (0,6 h) parada, perde 4 L. Inicia com 60 − 4 = 56 L. A, B, C e E) Não correspondem ao vazamento de 4 L ocorrido em 36 min. Subtraindo-o de 60 L, restam 56 L. Referência: Regra de três e problemas de vazão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Cálculo de R − r em um triângulo de lados 5, 6 e 7. O semiperímetro é 9, e a área (Heron) vale √(9·4·3·2) = 6√6. Então r = A/p = 2√6/3 e R = abc/(4A) = 210/(24√6) = 35√6/24. Logo, R − r = 35√6/24 − 16√6/24 = 19√6/24 cm. A, B, D e E) Não coincidem com a diferença 35√6/24 − 16√6/24. Referência: Fórmula de Heron; raios das circunferências inscrita e circunscrita. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Equação com expoentes fracionários, resolvida por substituição de variável. Seja t = x^(1/3). A equação vira 3t² − 5t + 2 = 0, com raízes t = 1 e t = 2/3. Então x = t³ vale 1 ou 8/27. A soma das raízes é 1 + 8/27 = 35/27. A, C, D e E) Não resultam da soma 1 + 8/27 das raízes reais. Referência: Equações exponenciais e potências de expoente racional. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponívelCMBH — Processo Seletivo de Admissão 2024/2025 — 1º ano do Ensino Médio — Prova de Matemática e Língua Portuguesa
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Analisando o gráfico, verifica-se que o carro que partiu primeiro foi alcançado pelo outro. Quanto tempo, após esse encontro, a distância entre os dois carros foi de 15km?
Qual a distância entre os alvos?Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Considere que, numa apresentação de robótica, existam 3 bolinhas (A, B e C) dispostas sobre um sistema cartesiano ortogonal nos pontos (2, 1), (3, 2) e (4, 1) respectivamente. Um robô, que inicialmente encontra-se na origem do sistema, deve caminhar em linha reta até a bolinha A e capturá-la. Em seguida, deve ajustar sua trajetória para deslocar-se sobre um arco parabólico, a fim de apanhar as bolinhas B e C. Dessa forma, o robô deve ser programado a fim de deslocar-se sobre o gráfico da função
Nesse caso, a + b + c − m é igual a
(3x − y − 1)² + (x² − 2xy + 3)² = 0
Então, o valor de a + b éResolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
onde a ≠ 0 e a ≠ ± 1. A razão x/y é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Assinale a alternativa verdadeira.
Numa casa de apostas, há 5 urnas contendo 16, 17, 18, 19 e 22 bolas. Uma urna possui apenas bolas brancas e as restantes possuem bolas azuis ou pretas, tal que, no total, o número de bolas azuis é o dobro do número de bolas pretas. Qual a razão entre o número de bolas brancas e o total de bolas que há nessas cinco urnas?
Sabendo que (x² + y²)³ = (x³ + y³)² e que xy ≠ 0, o valor de x/y + y/x é igual a:
A equação x² − 5x + 3 = 0 possui raízes a e b. O valor de a⁶ + b⁶ é igual a
Dois carros partem de uma cidade, deslocando-se pela mesma estrada. O gráfico abaixo representa as distâncias percorridas pelos carros em função do tempo.
Numa competição de tiro ao alvo, um atirador encontra-se no ponto O e realiza dois disparos. O primeiro atinge o alvo que está no ponto A e o segundo, o alvo que está no ponto B, conforme representado no plano cartesiano (figura abaixo).
Uma pessoa recebeu um empréstimo bancário no valor de A reais. Ele foi dividido em duas parcelas mensais, a serem pagas, respectivamente, ao final do primeiro e do segundo mês, sendo cobrados juros compostos à taxa de i ao mês. Sabendo que o valor da primeira parcela foi P reais, podemos concluir que o valor da segunda parcela foi de:
Na seção do 9º Ano do Colégio Militar de Belo Horizonte, trabalham 8 professores, sendo 4 homens e 4 mulheres. Se a média das idades dos 8 professores é 45,625 anos e a média das idades das mulheres é 42,25 anos, qual a média das idades dos homens?
Um dos grandes diferenciais do Colégio Militar de Belo Horizonte é a quantidade de atividades extraclasse que são oferecidas no contraturno. Uma delas é a robótica, na qual o aluno aprende conceitos básicos de programação.
Considere que o par ordenado (a, b), com a, b > 0, é solução da equação
Maria está estudando as figuras geométricas planas. Ela desenhou um hexágono regular numa folha e, curiosa, decidiu marcar os pontos médios de cada lado desse hexágono e conectar esses pontos para formar um novo hexágono. Qual a área do segundo hexágono desenhado por Maria, sabendo que o lado do primeiro hexágono mede a?
Dois pedreiros irão construir um muro de blocos. Trabalhando isoladamente, o primeiro gasta x horas para construí-lo, enquanto o segundo gasta y horas. Sabendo que, trabalhando juntos, o rendimento cai 10 blocos por hora e, mesmo assim, levam cinco horas para construir o muro, o número de blocos que possui o muro é:
Assinale a alternativa correta, considerando que x é um número real.
Na figura abaixo, os pontos B, C e D são colineares, assim como os pontos A, C e E. A̅B̅ e D̅E̅ são perpendiculares a B̅D̅, e A̅B̅ ≡ B̅D̅. O segmento A̅C̅ mede 3 cm e o segmento C̅E̅ mede 1 cm. Nessas condições o cosseno do ângulo BÂC é igual a
Uma viatura militar pode trafegar, sem parar, durante 6 horas se o seu tanque de combustível estiver completo. Num determinado dia, a viatura foi completamente abastecida para cumprir uma missão, porém, sem que ninguém percebesse, havia um furo no tanque, o que reduziu o tempo de operação dessa viatura para 3 horas e 36 minutos, ininterruptos. A capacidade do tanque dessa viatura é de 60 litros. Antes de iniciar o deslocamento, a viatura foi abastecida e permaneceu parada durante 36 minutos. Nessas condições, pode-se afirmar que a viatura iniciou o deslocamento com a seguinte quantidade de combustível no tanque:
Uma roda gigante foi instalada no CMBH como parte das comemorações dos 69 anos de sua criação. A roda gigante possui apenas seis cabines posicionadas ao longo da roda, de forma que cada uma esteja à mesma distância angular da cabine subsequente, como mostra a figura. O raio da circunferência que representa a roda é dado por r e a menor altura alcançada por uma cabine em relação ao solo e dada por h. As cabines foram nominadas por cabine A, cabine B, ..., cabine F. Quando a cabine A encontra-se no ponto mais baixo em relação ao solo, a altura da cabine C, em relação ao solo e em função de r e h é dada por
Um triângulo, cujos lados medem 5 cm, 6 cm e 7 cm, está inscrito em uma circunferência cujo raio mede R e está circunscrito a uma circunferência cujo raio mede r. A diferença R − r é igual a
Seja o sistema com incógnitas x e y e coeficientes reais
A equação 3x²ᐟ³ + 2 = 5x¹ᐟ³ possui raízes reais tais que a soma delas é igual a
Na figura abaixo, os pontos M e N são os pontos médios dos lados C̅D̅ e A̅D̅, respectivamente, do retângulo ABCD. Considerando que a área desse retângulo é S, a área do quadrilátero EFGM, em função de S é dada por