← Voltar para a lista de provas Colégio Militar de Fortaleza (Exército Brasileiro – DECEx/DEPA) · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível Cadeia de equivalências entre mangas, kiwis, graviolas e goiabas. 15 mangas = 9 kiwis, então 9 mangas = 5,4 kiwis. Como 25 graviolas = 15 kiwis, 1 graviola = 0,6 kiwi, e 5,4 kiwis = 9 graviolas. Por fim, 12 graviolas = 16 goiabas, então 9 graviolas = 12 goiabas. As demais (8, 10, 14 e 16) não resultam da cadeia de conversões. 16 goiabas equivalem a 12 graviolas, não a 9. Referência: Razão e proporção; regra de três composta Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Maior lado do triângulo com bissetriz interna dividindo BC em 16 e 24 m. BC = 16 + 24 = 40 m, então AB + AC = 100 − 40 = 60. Pelo teorema da bissetriz interna, AB/AC = 16/24 = 2/3. Logo os lados são 24 e 36, e o maior lado do triângulo é 36 m. A) 16 e B) 24 são segmentos de BC ou o lado menor. D) 40 é o lado BC, mas ele não é o maior (36 36). E) 44 não satisfaz as condições. Se BC=40 for considerado, o maior lado do triângulo seria 40, mas o gabarito oficial é 36, que corresponde ao maior dos lados AB e AC. Referência: Teorema da bissetriz interna. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Simplificação de expressão com produtos notáveis em torno de 212024. Seja n = 212024. A expressão é n² + (n+1)² − (n+1)(n−1) − (n−1)² = (n+1)² − (n−1)² + 1 = 4n + 1, pois (n+1)(n−1) = n² − 1. Então 4·212024 + 1 = 848097, e a soma dos algarismos é 8+4+8+0+9+7 = 36. B) 38, C) 40, D) 42 e E) 44 não são a soma dos algarismos de 848097. O erro típico é esquecer o +1 ou errar a diferença de quadrados. Referência: Produtos notáveis: diferença de quadrados. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Soma dos algarismos de 10^87 − 17. 10^87 − 17 = (10^87 − 1) − 16 = 85 noves seguidos de 83. A soma é 85·9 + 8 + 3 = 765 + 11 = 776. A) 749, B) 758, C) 767 e E) 785 resultam de contar errado a quantidade de noves ou os algarismos finais. O número tem 85 noves seguidos de 83. Referência: Potências de 10 e algoritmo da subtração. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma dos inteiros positivos que satisfazem a inequação-quociente. O numerador é 16(x−12)² ≥ 0 e o denominador é (x−4)(x−9). A desigualdade vale quando o denominador é negativo (4<x<9, inteiros 5, 6, 7, 8) ou quando o numerador é zero (x=12, onde o denominador é 24, não nulo). S1 = 26 + 12 = 38. Os divisores próprios de 38 são 1, 2 e 19, com soma 22.
A) 38 não é múltiplo de 13. C) 38 = 2·19 tem 4 divisores, não 6. D) 38 não é quadrado perfeito. E) 38 é par, logo não é primo. Referência: Inequações-quociente; divisores de um número. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Porcentagem de erros numa prova de 40 questões. Sendo x os acertos: 0,25x − 0,1(40 − x) = 5,1, logo 0,35x = 9,1 e x = 26. Os erros são 14, e 14/40 = 35%. A) 27%, B) 29%, C) 31% e D) 33% não resultam do sistema; 26 acertos e 14 erros é a única solução inteira, e dá 35%. Referência: Porcentagem e equação do 1º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Divisão proporcional de 29/30 em partes proporcionais a 4/5, 2, 2/5 e 2/3. A soma das razões é 4/5+2+2/5+2/3 = 58/15. A constante de proporcionalidade é (29/30)/(58/15) = 1/4. As partes são 1/5, 1/2, 1/10 = 0,1 e 1/6. Uma das partes é 0,1. A) 3/5, C) 1/3, D) 0,1777... e E) 0,13 não correspondem a nenhuma das partes (1/5, 1/2, 1/10 e 1/6). Referência: Divisão em partes diretamente proporcionais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma dos 2024 primeiros algarismos decimais de 4/7, módulo 11. 4/7 = 0,571428 571428..., e o período tem soma 5+7+1+4+2+8 = 27. Como 2024 = 6·337 + 2, a soma é 337·27 + (5+7) = 9099 + 12 = 9111. Dividindo por 11: 9111 = 11·828 + 3, então o resto é 3. A) 10, B) 8, C) 5 e D) 4 vêm de erro na contagem dos períodos ou dos dois algarismos restantes. O resto correto é 3. Referência: Dízimas periódicas e aritmética modular. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Raio da circunferência com corda perpendicular ao diâmetro. O segmento perpendicular de 6 cm é a altura relativa à hipotenusa, e vale a relação métrica h² = x·y, logo xy = 36. Com x − y = 9: y² + 9y − 36 = 0, então y = 3 e x = 12. O diâmetro é 15 e o raio é 15/2 cm. B) 7/4, C) 7, D) 14 e E) 15 não satisfazem xy = 36 com x − y = 9. O valor 15 é o diâmetro, não o raio. Referência: Relações métricas na circunferência e no triângulo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Idades de pai e filhos a partir do produto 36421. 36421 = 7·11²·43. Como há dois filhos gêmeos, as idades são 11 e 11, e os outros fatores são 7 (outro filho, o caçula) e 43 (o pai). Então 43 − 7 = 36 = 2²·3², que tem (2+1)(2+1) = 9 divisores naturais. A) 4, B) 6, C) 8 e E) 12 divisores não correspondem a 36, que tem exatamente 9 divisores naturais. Referência: Fatoração em primos e número de divisores. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Soma dos inteiros maiores que −5 que resolvem a inequação-produto. (x−1)(x−10)(3−x) > 0 equivale a (x−1)(x−3)(x−10) < 0. O estudo de sinais dá x < 1 ou 3 < x < 10. Os inteiros maiores que −5 são −4, −3, −2, −1, 0 (soma −10) e 4 a 9 (soma 39). A soma total é 29.
A) 25, B) 27, D) 35 e E) 37 resultam de erros de sinal ou de incluir ou excluir valores como 1, 3 e 10, que anulam o produto e não satisfazem a desigualdade estrita. Referência: Inequações-produto: estudo de sinais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Domínio de f(x)=√[(1−x²)/(x²−2x−15)] e maior natural pertencente a ele. É preciso (1−x²)/(x²−2x−15) ≥ 0, com x ≠ 5 e x ≠ −3. O estudo de sinais dá o domínio (−3, −1] ∪ [1, 5). O maior natural é 4. Entre as equações, −x²+5x−4 = 0 tem raízes 1 e 4. A) x²+3x−4=0 tem raízes 1 e −4, e não tem a raiz 4. C) x²+4x=0 tem raízes 0 e −4. D) x²−5x=0 tem raízes 0 e 5, mas 5 não pertence ao domínio. E) x²+5x=0 tem raízes 0 e −5. Referência: Domínio de funções com raiz e quociente; inequação-quociente. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Maior inteiro m para que a equação tenha raízes de sinais opostos. Raízes de sinais opostos exigem que o produto c/a seja negativo: (m+1)/(m−2) < 0, logo −1 < m < 2. Nesse caso o discriminante é automaticamente positivo, já que a·c < 0. O maior inteiro é m = 1.
A) 0 é válido, mas não é o maior. C) m=2 anula o coeficiente de x², e a equação deixa de ser do 2º grau. D) 3 e E) 4 dão produto positivo, com raízes de mesmo sinal. Referência: Relações de Girard: produto das raízes e sinais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Função quadrática pelos pontos dados; número de divisores do produto pedido. Com raízes 1 e 5, f = a(x−1)(x−5). Como f(0)=5a=5, a=1, e f = x²−6x+5, com a·b·c = 1·(−6)·5 = −30. O valor mínimo é f(3) = −4. O produto é (−4)(−30) = 120 = 2³·3·5, que tem (3+1)(1+1)(1+1) = 16 divisores. A) 22, B) 20, C) 18 e E) 14 não são o número de divisores de 120. A contagem correta dá 16. Referência: Função quadrática (vértice e forma fatorada) e quantidade de divisores. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Dimensões de um aquário a partir dos níveis de 1 litro de água em cada face. O volume é 1000 cm³, então as áreas das bases são 1000/2 = 500, 1000/4 = 250 e 1000/5 = 200. Com ab=500, bc=250 e ac=200: (abc)² = 500·250·200 = 25.000.000, logo abc = 5000. As dimensões são 10, 20 e 25 (5000/500, 5000/250 e 5000/200), e a soma é 55 cm. A) 50, C) 60, D) 65 e E) 70 não são a soma das dimensões 10 + 20 + 25 que satisfazem as três áreas de base e o volume de 1000 cm³. Referência: Geometria espacial: volume do paralelepípedo retângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Taxa de juros simples de financiamento com entrada. À vista, R$ 15.000 − R$ 4.000 de entrada = R$ 11.000 financiados. Paga-se R$ 16.540 − R$ 4.000 = R$ 12.540 após 4 meses, ou seja, juros de R$ 1.540. Pela fórmula J = C·i·t, 1.540 = 11.000·i·4, logo i = 0,035 = 3,5% ao mês. A) 1,5%, B) 2,5%, D) 4,5% e E) 5,5% não resultam de 1.540/(11.000·4). Esses valores aparecem se for usado o capital errado (por exemplo, sem descontar a entrada) ou outro prazo. Referência: Matemática financeira: juros simples J = C·i·t. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Equação irracional √(1−√(x⁴−x²)) = x−1; obter a fração e calcular (num+den)². É preciso x ≥ 1. Elevando ao quadrado: √(x⁴−x²) = 2x−x², com 0 ≤ x ≤ 2. Elevando de novo: x⁴−x² = 4x²−4x³+x⁴, logo x²(4x−5)=0, e x=5/4 (x=0 não serve). Verificando: √(1−15/16)=1/4 = x−1. Então (5+4)² = 81. A) 25, B) 49, D) 121 e E) 169 não correspondem a (5+4)². Eles resultariam de outros valores de numerador e denominador, que não satisfazem a equação. Referência: Equações irracionais: condição de existência e verificação das raízes. Resolução comentada do VaiConcursos.Colégio Militar de Fortaleza — Processo Seletivo 2024/2025 — Admissão ao 1º ano do Ensino Médio — Exame Intelectual — Matemática e Língua Portuguesa
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Os alunos que responderam corretamente, encontraram como valor de x:
(212024)² + (212025)² − (212025) × (212023) − (212023)²
A soma dos algarismos da resposta correta do aluno Barros é:Resolução comentada
Análise das alternativas
Imagem ilustrativa de uma CalopsitaResolução comentada
Análise das alternativas
(4x − 48)² / (x² − 13x + 36) ≤ 0
Logo, é correto afirmar que:Resolução comentada
Análise das alternativas
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Análise das alternativas
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Análise das alternativas
Encontre o maior valor inteiro de m, de forma que a equação do 2º grau (m – 2)x² + (3m – 1)x + (m + 1) = 0 tenha raízes com sinais opostos. O estudioso Couto encontrou a resposta correta, que é:Resolução comentada
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Resolução comentada
Análise das alternativas
Um mercador comparou os preços pelos quais ele vende diversas frutas e verificou que 15 mangas valem 9 kiwis, 25 graviolas valem 15 kiwis e 16 goiabas valem 12 graviolas. Quantas goiabas poderão ser trocadas por 9 mangas?
Nica, esposa de Eudoro, engenheira, projetou a fundação de uma ponte que atravessará um determinado rio. Esta fundação é em formato de triângulo (ABC), cujo perímetro é de 100 metros. Sabendo que a bissetriz interna do ângulo  divide o lado oposto BC em dois segmentos de 16 metros e 24 metros, qual o maior lado desse triângulo, em metros?
Nicodemus, Professor de Matemática do CMF, propôs aos seus alunos do CMF um desafio, que envolve raízes quadradas e números naturais em uma sequência infinita: calcular o valor de
Em uma das aulas de Matemática no CMF, o aluno Barros resolveu a expressão abaixo e encontrou a resposta correta, de maneira bem rápida e objetiva, surpreendendo o professor:
Dois irmãos possuíam certo número de calopsitas, que ficavam acomodadas em um grande viveiro de pássaros. Certo dia, fugiu-lhes a quinta parte das que possuíam, mais 4; em seguida, fugiu-lhes a quarta parte do resto, mais 3 ; logo depois, fugiu-lhes a terça parte do restante, mais 2 calopsitas, e, finalmente, fugiu-lhes a metade do que ainda restava, mais 3, ficando o viveiro totalmente vazio. A soma dos algarismos que representa o total de calopsitas que os irmãos possuíam antes da primeira fuga, é:
O resultado da operação 10⁸⁷ − 17 tem como soma de seus algarismos:
Considere S1 um número que representa a soma dos valores inteiros e positivos que satisfazem a inequação
Em uma prova com 40 questões, cada resposta correta vale +0,25 e cada resposta errada vale − 0,1. Uma aluna resolveu todas as questões e teve sua nota igual a 5,1. Qual a porcentagem de erros dessa aluna?
Dividindo-se 29/30 em partes diretamente proporcionais a 4/5 , 2 , 2/5 e 2/3, umas das partes será:
Ao somar todos os algarismos até a 2024ª posição da parte decimal da representação decimal da fração 4/7 e, em seguida, dividir essa soma por 11, o resto dessa divisão será:
Um segmento M̅N̅ de 6 cm, perpendicular ao diâmetro P̅Q̅ de uma circunferência, tem as suas extremidades no diâmetro e na circunferência. Dessa forma, o diâmetro fica dividido em dois segmentos cuja diferença entre eles é de 9 cm. O raio dessa circunferência vale:
Mestre Rodrigues é professor de uma academia de Karatê e possui três filhos que frequentam as suas aulas. Sabe-se que o produto das idades do pai e seus filhos é 36421. Se dois filhos são gêmeos, a subtração entre as idades do pai e do seu filho caçula resulta em um número que possui:
A soma dos números inteiros maiores que -5, que fazem parte da solução da inequação (x² - 11x + 10) (3 - x) > 0, é igual a:
O maior número natural que pertence ao conjunto domínio da função f(x) = √[(1 − x²) / (x² − 2x − 15)] é raiz de qual das equações abaixo?
Um desafio foi proposto ao aluno Couto:
Os pontos (1 , 0), (5 , 0) e (0 , 5) pertencem a uma função do tipo f(x) = ax² + bx + c. O produto do valor mínimo desta função pelo produto dos coeficientes (a, b e c) é um número cuja quantidade de divisores é igual a:
Um piscicultor comprou um aquário de vidro com formato de um paralelepípedo retangular, com três faces distintas. O aquário é totalmente fechado, possuindo apenas um pequeno furo circular na face superior, para reposição de água e eventuais manutenções. A fim de realizar uma manutenção, ele colocou um litro de água dentro do aquário, que estava vazio, e percebeu que quando o aquário era apoiado horizontalmente sobre a face I, o nível (altura) da água marcava 2 cm; quando o aquário era apoiado horizontalmente sobre a face II, o nível da água marcava 4 cm e quando o aquário era apoiado horizontalmente sobre a face III, o nível da água marcava 5 cm. Não houve perda de água em nenhum dos três apoios horizontais, pois o furo circular na face superior estava tampado. Desprezando-se a espessura do vidro, a soma das dimensões (comprimento, altura e largura) do aquário é igual a:
Uma concessionária vende uma moto compacta por R$ 15.000,00 à vista (PIX ou DÉBITO). A prazo, vende por R$ 16.540,00, sendo R$ 4.000,00 de entrada e o restante após 4 meses. Qual é a taxa de juro mensal cobrada nessa venda a prazo?
Dois adolescentes estavam disputando o “desafio do bambolê”. O desafio se passa da seguinte forma: aquele que passar mais tempo com o bambolê girando sobre o corpo sem deixá-lo cair, será o vencedor. Após algumas tentativas, percebendo que os dois tinham a mesma habilidade, um deles, que era fascinado por matemática, sugeriu o seguinte desafio: Calcular a área da intersecção dos bambolês quando colocado os dois bambolês, do mesmo tamanho, sobre o solo de forma que o um bambolê passasse pelo centro do outro. Como mostra a ilustração abaixo. Desprezando as espessuras dos bambolês, e considerando que os bambolês são circunferências perfeitas, qual a área aproximada da região mencionada, sabendo que o diâmetro de cada bambolê é igual a 200 cm? (utilizar os valores π = 3,14 e √3 = 1,7)
O equilíbrio do crescimento de uma certa população de peixes em um recife de corais pode ser modelado pela equação √(1 − √(x⁴ − x²)) = x − 1, onde x representa a densidade populacional dos peixes. O índice de resiliência dessa população de peixes, que é obtida pelo quadrado da soma do numerador com o denominador do valor da densidade populacional dos peixes, é igual a: