← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Com y = 3ˣ a inequação vira 3y²−10y+3<0, então 1/3<y<3 e −1<x<1. 3²ˣ⁺¹ = 3y² e (10/9)·3ˣ⁺² = 10y. A inequação fica 3y² < 10y − 3, isto é, 3y²−10y+3 < 0, com raízes 1/3 e 3. Logo 1/3 < 3ˣ < 3 e, como a base é maior que 1, −1 < x < 1.
A, C, D e E apresentam intervalos que não correspondem a 1/3<3ˣ<3. Provavelmente vêm de confundir y com x ou de erro na mudança de variável.
Referência: Inequação exponencial; mudança de variável e inequação do 2º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível PG infinita de primeiro termo d e razão 4/5 tem soma 5d. As distâncias formam a PG d, 4d/5, 16d/25, ... com razão q = 4/5. A soma é S = d/(1−4/5) = 5d. A (5d/4) e B (5d/2) usam a razão errada. D (7d) e E (9d) não resultam de d/(1−q) com q = 4/5. Referência: Soma dos termos de uma PG infinita, S = a₁/(1−q), com |q|<1. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Passar tudo para base 2 e obter log₂x = 6, então x = 64 e ∛x = 4. log₄x = (1/2)log₂x e log₁₆x = (1/4)log₂x. A equação fica (1/2 + 1/4 − 1)log₂x = −3/2, ou seja, −(1/4)log₂x = −3/2, então log₂x = 6 e x = 64. A raiz cúbica de 64 é 4. 8, 16, 32 e 64 não são ∛64. O valor 64 é o de x, não o de ∛x. Referência: Mudança de base de logaritmos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Fatorar o denominador como (2x−5)(x+1)(x−2) e conferir o numerador. O denominador vale 2x³−7x²+x+10 = (2x−5)(x²−x−2) = (2x−5)(x+1)(x−2). Multiplicando (−3x³−x²+5x−10) por (x²−x−2), obtém-se −3x⁵+2x⁴+12x³−13x²+20, que é o numerador. Logo a expressão equivale a (−3x³−x²+5x−10)/(2x−5). A, B, C e E têm sinais ou denominadores diferentes. Ao multiplicar cada uma pelo denominador, o resultado não reproduz o numerador dado. Referência: Divisão e fatoração de polinômios. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Sistema com T+S=1900, C+S=1700 e T+C=2000; o celular custa R$ 900. Somando as três equações, 2(T+S+C) = 5600, então T+S+C = 2800. O celular custa C = 2800 − (T+S) = 2800 − 1900 = R$ 900,00. A (850), C (950), D (1000) e E (1050) não satisfazem as três equações juntas. Por exemplo, com C = 1000 teríamos T = 1000 e S = 700, e T+S seria 1700, não 1900. Referência: Sistemas lineares 3x3. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível √(u²)=|u|, então |x²−x−1|=1 gera dois casos e as quatro raízes somam 2. √((x²−x−1)²) = |x²−x−1| = 1. Se x²−x−1 = 1, então x²−x−2 = 0 e x = 2 ou x = −1. Se x²−x−1 = −1, então x²−x = 0 e x = 0 ou x = 1. A soma é 2 + (−1) + 0 + 1 = 2. A, B, C e D resultam de perder alguma raiz ou de considerar só um dos dois casos do módulo. Só a E (2) é a soma das quatro raízes. Referência: Equação modular; propriedade √(a²)=|a|. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Fatorar o polinômio, achar as raízes reais 1, −1 e 2 e calcular o módulo da diferença das raízes complexas 1±i. Testando valores, 1, −1 e 2 são raízes. Dividindo o polinômio por (x−1)(x+1)(x−2) = x³−2x²−x+2, o quociente é x²−2x+2, cujas raízes são 1+i e 1−i. A diferença é 2i, e seu módulo é 2. A) 1, C) 3, D) 4 e E) 5 não correspondem a |(1+i)−(1−i)| = |2i| = 2. Só a B está correta. Referência: Teorema das raízes e fatoração de polinômios; números complexos (módulo). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Somente as afirmações I e III são corretas. I é correta: planos distintos que se intersectam são secantes. III é correta: dois planos não coincidentes com um ponto em comum se intersectam em uma reta. II é falsa porque retas sem ponto em comum podem ser reversas. IV é falsa porque uma reta paralela a um plano pode ser reversa a outras retas do plano. A) omite a III, que é verdadeira. B) e C) incluem a IV, que é falsa. D) omite a I, que é verdadeira. Referência: Matemática — Geometria espacial de posição Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível A reta s é y=-x+5, que não corta a hipérbole e cruza o eixo y em 5. O centro é (3,2) e r tem coeficiente angular 1, então s tem coeficiente -1: y-2=-(x-3), ou seja, y=-x+5. Substituindo na hipérbole, (x-3)²/2-(x-3)²/2=0≠1, então não há interseção, pois s é uma assíntota. O intercepto no eixo y é 5. B), D) e E) afirmam que há interseção, o que é falso. C) e D) trazem intercepto -1, mas o correto é 5. Referência: Matemática — Geometria analítica, hipérbole Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível C(n-4,2)=378 leva a n=32. Descontados os 4 impedidos, restam m=n-4 capitães, e C(m,2)=378 dá m(m-1)=756. Como 28·27=756, m=28 e n=32. A) 28 é o número de capitães disponíveis, sem somar os 4 impedidos. B), C) e D) não satisfazem C(n-4,2)=378. Referência: Matemática — Combinação simples Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O cosseno é par e log(1/y) = -log(y). Como log((x²+7)/(x⁴+5)) = -log((x⁴+5)/(x²+7)) e cos(-t)=cos(t), a expressão equivale a cos(log((x⁴+5)/(x²+7))). B) e D) trocam cosseno por seno, o que é incorreto. C) inverte o sinal sem justificativa. E) altera os termos da fração (x⁴+7 e x²+5). Referência: Matemática — Trigonometria e logaritmos Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os inteiros que satisfazem a inequação são 1, 2 e 3. O domínio exige x≥1, x≠0 e x≠4. Em x=1 o numerador é zero, e a fração vale 0, que satisfaz ≤0. Para x>1 o numerador é positivo, então é preciso x²-4x<0, ou seja, 0<x<4. Os inteiros possíveis são 1, 2 e 3, num total de 3.
A) e B) erram ao desconsiderar o x=1 ou parte do intervalo. D) e E) incluem valores fora do domínio ou fora do intervalo, como 4, que anula o denominador. Referência: Matemática — Inequações quociente Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível P(1)=0 e Q(1)=0 dão a=2 e b=-1, logo a+b=1. P(1)=0 dá (3a+b)-(4a+2b)-(a-1)+2=0, ou seja, 2a+b=3. Q(1)=0 dá 2a+2b+b-1=0, ou seja, 2a+3b=1. Subtraindo as equações, 2b=-2, então b=-1 e a=2. Portanto a+b=1. As demais alternativas (-3, -1, 0, 3) não correspondem aos valores a=2 e b=-1 obtidos pelo sistema. Referência: Matemática — Polinômios, teorema do resto Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx — Concurso de Admissão 2024 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês (2º dia) — Modelo D
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
- R$ 1.900,00 por uma TV e um aparelho de som;
- R$ 1.700,00 por um celular e um aparelho de som; e
- R$ 2.000,00 por uma TV e um celular.
Rafael decidiu comprar somente o celular, pagando por esta compra o valor de:Resolução comentada
Análise das alternativas
, 2 figurinhas. A probabilidade de que essas 2 figurinhas retiradas sejam de jogadores do Flamengo é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. Dois planos distintos que se intersectam são chamados de planos secantes.
II. Se duas retas não têm ponto em comum, então elas só podem ser paralelas.
III. Se dois planos não coincidentes têm um ponto em comum, então eles têm uma reta em comum.
IV. Se uma reta é paralela a um plano, ela é paralela a qualquer reta desse plano.
Destas, é(são) correta(s) apenas:Resolução comentada
Análise das alternativas
, é igual a:
é:
O triângulo ABC representa o terreno, com a base A̅B̅ medindo 35 m e a altura correspondente igual a 15 m; o quadrado DEFG representa o futuro lago. Sabendo que D̅E̅ é parte de A̅B̅ e que os vértices F e G do quadrado pertencem, respectivamente, aos lados B̅C̅ e C̅A̅ do triângulo, a medida l dos lados do lago deverá ser igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
é equivalente a:
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sabendo que o segmento de reta A̅D̅ é a bissetriz do ângulo do vértice A, que o perímetro do triângulo ABC é igual a 54 cm e que as medidas dos segmentos de retas B̅D̅ e D̅C̅ valem, respectivamente, 8 cm e 16 cm, o produto das medidas dos lados A̅B̅ e A̅C̅, em cm², é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
No universo dos números reais, o conjunto solução da inequação 3²ˣ⁺¹ < (10/9) · 3ˣ⁺² − 3 é o conjunto:
Um determinado objeto se desloca horizontalmente por uma distância d e para. Em seguida, volta a se mover na mesma direção e sentido, desta vez percorrendo uma distância igual a 4/5 da distância anterior, até parar. Depois, começa a se mover na horizontal novamente, percorrendo 4/5 da distância imediatamente anterior. Supondo que esse padrão continue infinitamente, a distância total percorrida pelo objeto será de:
Sendo x a solução da equação log₄ x + log₁₆ x − log₂ x = −3/2, o valor de ∛x é:
Para todo x ∈ ℝ − {−1, 5/2, 2}, a expressão (−3x⁵ + 2x⁴ + 12x³ − 13x² + 20)/(2x³ − 7x² + x + 10) equivale a:
Rafael fez uma pesquisa de preços para a aquisição de uma TV, de um aparelho de som e de um celular. Terminada a pesquisa, constatou que pagaria:
Alex coleciona figurinhas de jogadores de futebol. Ele possui 10 figurinhas de jogadores do Palmeiras, 15 figurinhas de jogadores do Flamengo e 20 figurinhas de jogadores do Grêmio. Como ele é desorganizado, as figurinhas estão todas misturadas em uma caixa. Alex quer presentear um amigo com 2 figurinhas. Para isso, ele retira
A soma dos números reais que satisfazem a equação √((x² − x − 1)²) = 1 é igual a:
O valor do módulo da diferença entre as duas raízes complexas não-reais da equação x⁵ − 4x⁴ + 5x³ − 6x + 4 = 0 é igual a:
Sabendo que os pontos, as retas e os planos estão no espaço, considere as afirmações:
Um quadrilátero ABCD tem as diagonais perpendiculares entre si medindo 5 cm e 7 cm. A área do quadrilátero,
Um paralelepípedo reto tem como seção reta um paralelogramo ABCD, cujos lados A̅B̅ e B̅C̅ medem, respectivamente, 20 cm e 10 cm, e o ângulo DÂB mede 30º. Sabendo que a altura do paralelepípedo é igual a dois terços do perímetro da seção reta, o seu
Um fazendeiro possui, dentro de sua área, um terreno triangular disponível. Pretende-se utilizá-lo para a construção de um lago, que deverá ter o formato quadrado (de lado l). A figura a seguir ilustra a situação:
A reta r dada pela equação y = x − 1 não intersecta a hipérbole cuja equação reduzida é (x − 3)²/2 − (y − 2)²/2 = 1. Seja s a reta que passa pelo centro dessa hipérbole e é perpendicular a r. É correto inferir que s:
Sejam A, B e C subconjuntos de um conjunto universo U, e B̄ o complementar de B com relação a U.
Considerando o gráfico abaixo, a alternativa que contém a lei de uma possível função a ele correspondente é:
Uma determinada guarnição do Exército Brasileiro possui n Capitães de Infantaria. Do universo possível, 2 serão escolhidos para a realização de um curso no exterior, sendo que 4 destes estão impedidos por já estarem envolvidos em outra missão. Existem 378 maneiras de se formar a dupla que será designada para o curso (já excluídos os militares impedidos). Marque a opção que contém o número de Capitães de Infantaria que integram a guarnição:
Para todo x ∈ ℝ, a expressão cos(log((x² + 7)/(x⁴ + 5))) equivale a:
A quantidade de números inteiros que satisfazem a inequação √(x − 1)/(x² − 4x) ≤ 0 é igual a:
Observe o triângulo ABC abaixo:
Considere os polinômios P(x) = (3a + b)x⁵ − (4a + 2b)x³ − (a − 1)x + 2 e Q(x) = (2a)x⁴ + (2b)x² + bx − 1. Sabendo que ambos são divisíveis por (x − 1), assinale a alternativa que contém o correto valor de a + b: