← Voltar para a lista de provas Instituto Militar de Engenharia (IME) · Concurso de Formação e Graduação 40 questões nesta prova · página 1 de 2 · 40 com gabarito Gabarito disponível (377)₈ = 255 = (11111111)₂; contar palíndromos binários por comprimento. Todos os números de até 8 bits são ≤ 255, e 255 é palíndromo. Com L bits, há 2^(⌈L/2⌉−1) palíndromos que começam por 1. Para L = 1..8: 1, 1, 2, 2, 4, 4, 8, 8, que somam 30. 16 e 26 contam menos comprimentos ou subcontam. 31 e 32 contam a mais, por exemplo incluindo o zero ou números de 9 bits, que passam de 255. Referência: Sistemas de numeração e contagem combinatória. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Área do triângulo escala com |zₖ|² = 2ᵏ. O triângulo formado por zₖ, zₖ₊₁, zₖ₊₂ é o triângulo de vértices 1, w, w² (com w = 1 + i) multiplicado por zₖ. Esse triângulo-base tem vértices (1,0), (1,1), (0,2), com área 1/2. A área fica multiplicada por |zₖ|² = 2ᵏ. O maior k possível é 18, então a área máxima é 2¹⁸·(1/2) = 2¹⁷. 2¹⁸, 2¹⁹ e 2²⁰ ignoram o fator 1/2 ou usam k maior que 18, o que sairia da sequência. 2¹⁶ corresponde a k = 17. Só B é a área máxima. Referência: Números complexos: módulo, potências e área por multiplicação (semelhança). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Escrever a⁴ + b⁴ a partir de a² + b² = p² − 2q. Por Girard, a + b = p e ab = q, logo a² + b² = p² − 2q. Então a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² − 2a²b² = (p² − 2q)² − 2q² = p⁴ − 4p²q + 2q². A e E têm o termo −2p²q, mas o correto é −4p²q. B e D trazem 4q² em vez de 2q². D ainda tem −4p⁴q, que não aparece. C é a correta. Referência: Relações de Girard e identidades algébricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Usar (α+β)(β+γ)(γ+α) = P(−6) com S = −6. Pelas relações de Girard, α + β + γ = −6. Cada fator vale S − raiz, então o produto é (−6−α)(−6−β)(−6−γ)·(−1)³·(−1)³, que se reduz a P(−6) para P(x) = x³ + 6x² − 6x − 3. Calculando: −216 + 216 + 36 − 3 = 33. 12, 18, 27 e 42 não resultam de P(−6) = 33 e vêm de erros de sinal nas relações de Girard. Referência: Relações de Girard para equação do 3º grau. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Probabilidade geométrica pelo ângulo de C no arco maior. A corda AB = r subtende 60°, então o arco maior mede 300° e o centro está do mesmo lado de C. Área > r²√3/4 equivale a altura de C em relação a AB maior que r√3/2, que é a distância do centro a AB. Isso ocorre quando C está no arco de 180° centrado no ponto mais afastado de AB. A probabilidade é 180/300 = 3/5. 1/5, 2/5, 1/2 e 4/5 não correspondem à razão 180°/300°. Só 3/5 resulta da altura mínima exigida. Referência: Probabilidade geométrica (razão de medidas de arcos). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Estudar o sinal do produto em u = x². Com u = x², o produto (u − 100)(u − 150)(u − 200) é negativo para u < 100 ou 150 < u < 200. Em u < 100, |x| ≤ 9 dá 19 inteiros. Em 150 < x² < 200, x = ±13 e ±14 dão 4 inteiros (12² = 144 e 15² = 225 ficam fora). Total: 19 + 4 = 23.
24, 25, 26 e 27 superestimam a contagem, por incluir valores como ±10, ±12 ou ±15, ou por contar errado os extremos. Os valores x² = 100, 150 e 200 anulam o produto e não são soluções. Referência: Inequação-produto e estudo de sinais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Substituição t = sen x + cos x fatora a equação. Seja t = sen x + cos x e p = sen x·cos x. Então cos³x + sen³x = t(1 − p), e a equação vira t(1 − p) + p = 1, isto é, (t − 1)(1 − p) = 0. Como p ≤ 1/2, p = 1 é impossível. Resta sen x + cos x = 1, cujas soluções em [0, 2π) são x = 0 e x = π/2, ou seja, 2 soluções. 0 e 1 desconsideram uma das raízes. 3 e 4 incluiriam soluções que não satisfazem sen x + cos x = 1, pois p = 1 não ocorre. Referência: Soma de cubos e identidade (sen x + cos x)² = 1 + 2 sen x cos x. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Bissetriz pela soma dos vetores unitários dos lados AB e AC. AB = 1 com direção (1,0). AC = √13 com direção (3,−2)/√13. A soma dos unitários é proporcional a (√13 + 3, −2). A reta por A(1,2) é 2(x − 1) + (3 + √13)(y − 2) = 0, isto é, 2x + (3 + √13)y − (2√13 + 8) = 0. A tem sinais trocados em √13. C e D têm coeficientes de x e y incompatíveis com a direção encontrada. E inverte os coeficientes de x e y. Só B passa por A com a inclinação correta. Referência: Bissetriz interna: direção da soma dos vetores unitários dos lados. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Teorema de Ptolomeu no quadrilátero ABLC. L é o ponto médio do arco BC, então BL = LC. Por Ptolomeu em ABLC: AB·LC + AC·BL = AL·BC, ou seja, BL(AB + AC) = AL·BC. Logo BL/AL = BC/(AB + AC) = BC/(2BC) = 1/2. B, C, D e E contradem a razão BC/(AB + AC) = 1/2 obtida com a condição dada. A é a correta. Referência: Teorema de Ptolomeu; teorema do incentro/arco médio (LB = LC = LI). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Lado do polígono = 2r e R = 2r levam a n = 6. Círculos tangentes externamente têm centros a distância 2r, então o lado do polígono é 2r. O lado vale 2R·sen(π/n) = 4r·sen(π/n). Igualando a 2r, sen(π/n) = 1/2, logo π/n = π/6 e n = 6 (hexágono, com R = lado). Para n = 3, 4, 5 e 8 o valor de sen(π/n) é diferente de 1/2, e a relação R = 2r não é satisfeita. Só n = 6 serve. Referência: Polígonos regulares: lado = 2R·sen(π/n). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponívelIME — Concurso de Admissão 2024/2025 — 1ª Fase — Prova Objetiva (Matemática, Física e Química)
Observação: Considere que todo número não nulo na base 2 começa por 1.Resolução comentada
Análise das alternativas
onde B = {f(a) | a ∈ [3, ∞)}.
A soma das coordenadas do ponto pertencente ao gráfico da função inversa de f(x) mais próximo do eixo das abscissas é
A maior área possível do triângulo formado pelos afixos de três números consecutivos dessa sequência éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O valor de (α + β)(β + γ)(γ + α) éResolução comentada
Análise das alternativas
de ordem 2024.
A soma das raízes do polinômio dado por p(x) = det(A), x ∈ ℝ, é
Então o valor da a + b éResolução comentada
Análise das alternativas
(x² − 100)(x² − 150)(x² − 200) < 0
A quantidade de números inteiros que a satisfazem éResolução comentada
Análise das alternativas
. Sobre a inequação √(2025 + √t) + √(2025 − √t) ≤ √(2025r) pode-se afirmar que a mesmaResolução comentada
Análise das alternativas
A equação da reta que é a bissetriz interna do triângulo referente ao vértice A éResolução comentada
Análise das alternativas
Dado que AB + AC = 2BC, o valor de BL/AL éResolução comentada
Análise das alternativas
O valor de n quando R = 2r éResolução comentada
Análise das alternativas
A área do triângulo B₁D₁H₁ é
Cinco discos A, B, C, D e E, de centros fixos, giram solidariamente conforme a geometria da figura. Duas partículas de massas m e 2m enrolam ou desenrolam fios inextensíveis às mesmas velocidades escalares das bordas de seus respectivos discos.
Dados:
• aceleração da gravidade: g;
Observações:
• os cinco discos estão inicialmente em repouso;
• os cinco centros dos discos estão na mesma horizontal;
• o disco A está engrenado ao disco B;
• ao girar, o disco B faz o disco C girar à mesma velocidade angular, pois B e C são concêntricos;
• o disco C está engrenado ao disco D;
• ao girar, o disco D faz o disco E girar à mesma velocidade angular, pois D e E são concêntricos;
• a partícula de menor massa está associada ao disco A e a de maior massa ao disco E;
• despreze as massas dos discos e desconsidere quaisquer deslizamentos.
Pelo princípio da conservação da energia, a aceleração (módulo e sentido) da partícula de maior massa, após o início de seu movimento, é:
Na figura, são mostradas três partículas fixadas e uma quarta partícula pendurada por um fio inextensível. As quatro partículas estão carregadas eletricamente e em equilíbrio nos vértices de um quadrado de lado L.
Dado:
• constante elétrica do meio: k.
Observação:
• as cargas de cada partícula estão indicadas na figura.
A tração no fio é:
Na Figura 1, é apresentado um manômetro de Hg, graduado em cm, que aprisiona uma certa massa de gás ideal em equilíbrio. Adiciona-se uma nova quantidade de Hg pela extremidade aberta do manômetro e, após o novo equilíbrio, obtém-se a configuração da Figura 2.
Sabendo que a temperatura ambiente se manteve constante, desprezando-se qualquer vazamento de gás e sendo 70 cmHg a pressão atmosférica, o valor da graduação x, em cm, é:
Considere um sistema de carga de bateria hipotético, mostrada na Figura 1, no qual, os gráficos da corrente I(t) e da tensão V(t) são mostradas nas Figuras 2a e 2b. Ao longo do período de carga, que é de 5 h, a energia fornecida pelo carregador, em kJ, é:
Para simular o protótipo de um navio, um engenheiro constrói um prisma reto, com seção reta no formato de um triângulo equilátero, a partir de quatro chapas metálicas (duas triangulares de lado L, duas retangulares 6L × L) e uma chapa retangular superior de massa desprezível e dimensões 6L × L. A estrutura encontra-se bem vedada e contém ar em seu interior. Uma carga cúbica de aresta 0,5L é fixada simetricamente sobre o prisma e em conformidade com as figuras. Em seguida, a estrutura (prisma + carga) é colocada numa piscina, afundando h.
Dados:
• massa específica superficial das chapas metálicas: 8 kg/m²;
• massa específica volumétrica da carga cúbica: 240 kg/m³;
• massa específica da água: 1000 kg/m³;
• L = 20 cm;
• √3 ≃ 1,7;
• 6/(5√3) = (2√3)/5 ≈ 0,68.
Supondo que a estrutura flutue de forma equilibrada, o valor de h, em centímetros, pode ser arredondado para:
Números palíndromos na base b são números cuja representação nesta base é simétrica, ou seja, se os seus algarismos forem lidos de trás para frente obtém-se o mesmo número. A quantidade de números naturais positivos menores ou iguais a (377)₈ que são palíndromos na base dois é
Seja f : [3, ∞) → B a função definida por
Considere a sequência de números complexos z₁ = (1 + i), z₂ = (1 + i)², ..., z₂₀ = (1 + i)²⁰, onde i² = −1.
Seja a equação x² − px + q = 0, na variável x, com raízes a e b. Então o valor de a⁴ + b⁴ é
Sejam α, β e γ as raízes da equação x³ + 6x² − 6x − 3 = 0.
Considere a matriz quadrada
Seja y = a^(bx−10), a e b reais , onde os valores de x e log(y) são relacionados pelo gráfico abaixo.
São dados os pontos A e B sobre uma circunferência de raio r, de forma que a corda AB mede r. Escolhe-se ao acaso um ponto C sobre o maior arco AB. A probabilidade da área do triângulo ABC ser maior que (r²√3)/4 é
Considere a inequacão
Seja
O número de soluções da equação cos³(x) + sen³(x) + (1/2)sen(2x) = 1 no intervalo [0,2π) é
Considere um triângulo com vértices em A(1,2), B(2,2) e C(4,0).
Seja I o incentro do triângulo ABC e L a interseção da semi-reta AI com a circunferência circunscrita ao triângulo ABC, com A e L distintos.
São dados n círculos de mesmo raio r, cujos centros são os vértices de um polígono regular P de n lados, de forma que cada círculo tangencia externamente dois outros círculos. Seja R o raio do círculo circunscrito a P.
No cubo ABCDEFGH, a aresta mede l. Conforme a figura, o ponto B₁, sobre a aresta AB, é tal que AB₁ = l/3; o ponto D₁, sobre a aresta AD, é tal que AD₁ = l/3 e o ponto H₁, sobre a aresta GH, é tal que GH₁ = l/3.