← Voltar para a lista de provas Colégio Militar de Belo Horizonte · Admissão ao 1º ano do Ensino Médio 41 questões nesta prova · página 1 de 3 · 40 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível No pior caso, as tentativas erradas somam 9+8+...+0 = 45. O primeiro participante, no pior caso, erra as 9 cartas antes de achar a sua entre as 10. Ao retirar a carta encontrada, sobram 9 cartas, e o segundo erra no máximo 8. Assim por diante, até o último, que acerta de imediato. Total: 9+8+...+1+0 = 45. A) 55 e B) 54 contariam também a tentativa certa ou um erro a mais por jogador. C) e D) não correspondem à soma 9+8+...+0. E) é a correta. Referência: Princípio de contagem; soma de PA. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Como (a+b+c)² ≥ 0, ab+ac+bc ≥ −27, e −27 = (−3)³. Sabe-se que (a+b+c)² = 54 + 2(ab+ac+bc) ≥ 0, logo ab+ac+bc ≥ −27. O mínimo −27 é atingido quando a+b+c=0 (por exemplo, a=b=3 e c=−6). Como −27 = (−3)³, é um cubo perfeito. A) −27 é negativo. B) −27 tem 8 divisores inteiros (±1, ±3, ±9, ±27), não 4. D) não é zero. E) −27 não é múltiplo de 6. Referência: Quadrado da soma de três termos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Substituir u=x/(x−1), resolver para u² e voltar a x. Seja w=u² com u=x/(x−1). Então w+1/w=5/2, o que dá w=2 ou w=1/2, e u=±√2 ou u=±1/√2. De u=x/(x−1) obtém-se x=u/(u−1)=1+1/(u−1). A soma de 1/(u−1) para os quatro valores é (√2+1)+(1−√2)+(−2−√2)+(−2+√2)=−2. Assim a soma das raízes é 4−2=2. A, B, C e E (0, −1, 2√2 e 4) não coincidem com a soma 2. Elas surgem ao esquecer a transformação x=u/(u−1) ou ao somar só parte das raízes. Referência: Equações fracionárias; mudança de variável. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Somando taxas de vazão, o ralo B esvazia sozinho em 5 h. A torneira enche 1/2 do tanque por hora e o ralo A esvazia 1/6 por hora. Com tudo aberto, o tanque enche em 7,5 h, ou seja, 2/15 por hora. Então 1/2 − 1/6 − 1/b = 2/15, o que dá 1/b = 1/5, e B esvazia em 5 h. Só com a torneira e o ralo B: 1/2 − 1/5 = 3/10 por hora, e o tempo é 10/3 h = 3 h 20 min. A, B, C e E não resultam de 10/3 h. Elas decorrem de erro na taxa do ralo B ou de ignorar a torneira. Referência: Problemas de torneiras: soma de taxas de vazão. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível n(n−3)/2 = 7n resulta em n=17; a soma dos ângulos internos é 2700, que tem 36 divisores. d = n(n−3)/2 = 7n dá n−3=14, logo n=17. A soma dos ângulos internos é (17−2)·180 = 2700 = 2²·3³·5², que tem (2+1)(3+1)(2+1)=36 divisores naturais. A) com n ímpar não há diagonal passando pelo centro. B) de cada vértice partem n−3=14 diagonais, não 15. D) 17 não é quadrado perfeito. E) 17+17+119=153, que é divisível por 3, então não é primo. Referência: Geometria plana: número de diagonais e soma dos ângulos internos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Por Girard: a+b=3, ab=1, a²+b²=7, a³+b³=18. Pelas relações de Girard, a+b=3 e ab=1. Então a²+b²=9−2=7 e a³+b³=27−3·1·3=18. A nova equação tem soma 7+18=25 e produto 7·18=126, ou seja, x²−25x+126=0. A, C, D e E têm soma e produto diferentes de 25 e 126. Não correspondem às raízes 7 e 18. Referência: Relações de Girard (soma e produto das raízes). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Série antecipada: a entrada é paga no ato e as outras duas são descontadas. Com a primeira prestação como entrada, o valor presente é 5000 = P + P/(1+i) + P/(1+i)². Multiplicando por (1+i)²: 5000(1+i)² = P[(1+i)² + (1+i) + 1] = P(i²+3i+3). Logo P = 5000(1+i)²/(i²+3i+3). A) o denominador i²+i+1 não corresponde à soma dos três termos. B) e D) usam (1+i)³, que serviria a uma série postecipada com outro denominador, e os denominadores estão errados. E) tem o denominador i²+i−1, que não decorre da equação. Referência: Matemática financeira: séries uniformes antecipadas a juros compostos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Substituição t=√(2x²−x−1) leva a t=2 ou t=3. Seja t=√(2x²−x−1), então 2x²−x = t²+1. A equação vira 5t−(t²+1)−5=0, ou seja, t²−5t+6=0, e t=2 ou t=3. Para t=2: 2x²−x−5=0, com produto −5/2. Para t=3: 2x²−x−10=0, com produto −5. Todas as raízes são reais e válidas, então o produto delas é (−5/2)(−5)=12,5. A, B, D e E não resultam do produto das quatro raízes (−5/2 e −5 em cada equação). São valores obtidos por erro de conta ou por considerar só parte das raízes. Referência: Equações irracionais; mudança de variável; produto das raízes c/a. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Usando a fórmula do número de divisores, obtém-se x=4, y=3 e N=432. N tem (x+1)(y+1) divisores. N/6 = 2^(x−1)·3^(y−1) tem x·y divisores, e a diferença de 8 dá x+y=7. N/9 = 2^x·3^(y−2) tem (x+1)(y−1) divisores, e a diferença de 10 dá 2(x+1)=10, logo x=4 e y=3. Assim N=16·27=432, e a soma dos algarismos é 4+3+2=9. A, C, D e E (8, 10, 11 e 12) não correspondem à soma dos algarismos de 432. Elas só apareceriam com valores errados de x e y. Referência: Número de divisores de um inteiro: produto dos (expoente+1). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível A razão de semelhança é 2/3, então a razão entre as áreas é 4/9. O baricentro divide a mediana em razão 2:1, ficando a 2/3 da altura a partir de A. Como MN é paralela a BC, o triângulo AMN é semelhante a ABC com razão 2/3. A razão entre as áreas é 4/9, então a área é 27·4/9 = 12 cm². As alternativas A, C, D e E (10, 14, 15 e 16) não resultam da razão de áreas (2/3)² aplicada a 27. Elas costumam vir de usar 2/3 ou 1/3 diretamente sobre a área, ou de erros de conta. Referência: Semelhança de triângulos; propriedade do baricentro. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Função afim decrescente exige coeficiente angular negativo. Uma função afim f(x)=ax+b é decrescente quando a<0. Aqui a=3k²−4k+1, e 3k²−4k+1<0 vale entre as raízes k=1/3 e k=1, pois a parábola tem concavidade para cima. Logo k∈]1/3, 1[, com extremos abertos.
A) e B) incluem valores que não tornam a0. Referência: Função afim: a<0 ⇒ função decrescente; sinal da função quadrática. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Isolar x na equação x/y = x − y e testar as alternativas. De x = y(x − y) vem x(1 − y) = −y², logo x = y²/(y − 1) com y ≠ 0 e y ≠ 1. Para y = ∛2: 1/(y − 1) = (1 + y + y²)/(y³ − 1) = 1 + y + y². Então x = y² + y³ + y⁴ = ∛4 + 2 + 2∛2, que é a alternativa E. Tratando y² − xy + x = 0, o discriminante x² − 4x deve ser ≥ 0, o que exige x ≤ 0 ou x ≥ 4. A está errada: x = 2/3 não satisfaz isso. B está errada: x = 0 exigiria y = 0. C está errada: x = −1 é possível e é maior que −2. D está errada: y = 1 é excluído. Referência: Equações com duas incógnitas e discriminante. Resolução comentada do VaiConcursos.CMBH — Processo Seletivo de Admissão 2025/2026 — 1º ano do Ensino Médio — Prova de Matemática, Língua Portuguesa e Produção Textual
O gráfico a seguir apresenta a evolução das médias das notas do CMBH no ENEM ao longo dos últimos anos.
Com base nas informações acima e na análise do gráfico, assinale a alternativa INCORRETA.
Nessas condições, quantas tentativas erradas, no máximo, poderão ocorrer até que não restem cartas na mesa?Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
![K igual a uma fração composta: no numerador, 1 menos a fração cujo numerador é 1/x e cujo denominador é 1 − x; no denominador, a fração x sobre (1 − 1/x), menos 1. Em notação linear: K = [1 − (1/x)/(1 − x)] / [x/(1 − 1/x) − 1].](https://vaiconcursos.com/wp-content/uploads/questoes-v4/imagens/166db5b5255679b2bc8e81d96dacbf71b4230be430e683a7688cfe5cef888801/q005_img_01.png)
com x ≠ 0 e x ≠ 1, é a que se encontra na alternativa
(x/(x − 1))² + ((x − 1)/x)² = 5/2
com x ≠ 0 e x ≠ 1, possui raízes cuja soma é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
n(A ∪ B) = 18
n(A ∩ B) = 9
n(B) = 12
n(A − C) = 11
Podemos afirmar que A e C possui, respectivamente
5√(2x² − x − 1) − 2x² + x − 5 = 0
Podemos afirmar que o produto de suas raízes éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Podemos concluir queResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Em 2024, o Colégio Militar de Belo Horizonte (CMBH) alcançou o melhor resultado no Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) de toda a sua história. Conquistou o 5º lugar entre mais de 20 mil escolas públicas e a 59ª colocação no ranking geral. Além disso, foi a escola pública mais bem colocada de Belo Horizonte e a segunda melhor de Minas Gerais.
Dez pessoas participarão de um jogo de cartas. Cada uma das dez pessoas receberá uma carta com uma figura que difere das demais e, sobre uma mesa, serão dispostas outras 10 cartas idênticas às que cada pessoa recebeu, de forma que as figuras que elas contêm não fiquem visíveis para os participantes. O desafio consiste em desvirar cada carta da mesa até descobrir a carta idêntica à que possui em sua mão. Após a jogada, o participante retira a carta idêntica que encontrou e todas as cartas restantes retornam à condição inicial. Cada participante não verá as tentativas dos outros.
Na figura abaixo, o triângulo ABC é isósceles, onde A̅B̅ ≡ A̅C̅ e cujas medidas são iguais a k. A medida do lado B̅C̅ é igual a k((√6 − √2)/2). Além disso, B̅M̅ é a mediana relativa ao lado A̅C̅ e G é o baricentro desse triângulo. A medida do segmento B̅G̅ é igual a
Sejam a, b e c três números reais tais que a² + b² + c² = 54. Sobre o menor valor que ab + ac + bc pode assumir, a única alternativa que contém uma afirmação correta é
A expressão equivalente a ∛K, sendo
A equação real
A figura abaixo representa um triângulo ABC, retângulo em A, com uma semicircunferência inscrita de centro O. A hipotenusa mede a e os catetos medem b e c. O raio da semicircunferência mede:
Um tanque é abastecido por uma torneira que pode enchê-lo completamente em 2 horas. Há também nesse tanque dois ralos denominados A e B. O ralo A, sozinho, pode esvaziá-lo em 6h. Estando o tanque totalmente vazio, a torneira é aberta e os dois ralos são destampados. Nessas condições, observa-se que o tanque enche completamente em 7 horas e 30 minutos. Se o tanque estiver vazio e apenas o ralo B permanecer aberto, em quanto tempo o tanque ficará totalmente cheio após ser aberta a torneira?
Sobre o polígono regular cujo total de diagonais é sete vezes o total de seus vértices, pode-se afirmar que
Na figura abaixo, o diâmetro A̅B̅ mede 2r. A corda B̅C̅ mede r e a corda A̅D̅, r√3. P̅C̅ e P̅D̅ são segmentos tangentes à circunferência de centro O. Nessas condições, a medida do segmento P̅C̅, em função de r é
A equação x² − 3x + 1 = 0 possui raízes a e b. Assinale a alternativa que apresenta uma equação de raízes a² + b² e a³ + b³.
Um computador é vendido à vista por R$5.000,00 ou a prazo em 3 prestações mensais iguais. Considerando-se a primeira prestação como entrada, assinale a alternativa que contém o valor da prestação se a taxa de juros compostos para o financiamento é de i % ao mês.
Na figura abaixo, ABCD é um trapézio retângulo e A̅D̅ é o diâmetro da semicircunferência que é tangente a B̅C̅. Sabendo que AD = 6 cm, AB = 3√3 cm e que os pontos C, D e E são colineares, podemos afirmar que a área do setor circular pintado, em cm², é
Considerando os conjuntos A, B e C, representados abaixo, e sabendo que
Considere a equação
O número N é da forma 2ˣ × 3ʸ. Dividindo-o por 6 e por 9, o número de divisores positivos diminui de 8 e 10, respectivamente. A soma dos algarismos de N é igual a:
A soma das distâncias do ponto P aos vértices do triângulo da figura abaixo é d cm.
Um triângulo ABC possui área igual a 27 cm². Pelo baricentro do triângulo traça-se uma paralela a B̅C̅ que determina em A̅B̅ e A̅C̅ os pontos M e N. A área do triângulo AMN, em centímetros quadrados, é:
Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = 2 + (3k² − 4k + 1)x, em que k é uma constante real. Todos os valores de k para que a função dada seja decrescente pertencem ao intervalo:
A equação x/y = x − y, com x, y ∈ ℝ e y ≠ 0, possui solução não vazia. A única alternativa que apresenta uma afirmação correta é