← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Resto da divisão por (x−1)(x²−4) com as condições dadas: r(−1) = −4. Como r(x) tem grau ≤ 2 e o resto de r por x²−4 é x+3, então r(x) = a(x²−4) + x + 3. O resto por (x−1) é −2, logo r(1) = −3a + 4 = −2 e a = 2. Assim r(−1) = 2(1−4) + (−1) + 3 = −4. B) −3, C) 0, D) 3 e E) 4 vêm de erros no cálculo de a ou na substituição. Só −4 satisfaz r(1) = −2 e r ≡ x+3 mod (x²−4). Referência: Teorema do resto e divisão de polinômios. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Polinômio com raízes 2, −2, 1±√3: c/d = −2 − √3. Testando, p(2) = 0 e p(−2) = 0, então p(x) = (x²−4)(x²−2x−2). As raízes irracionais são 1±√3, com c = 1+√3 e d = 1−√3. Assim c/d = (1+√3)²/(1−3) = (4+2√3)/(−2) = −2 − √3. A) −2+√3, B) 2+√3, C) 1−√3 e E) 1+√3 têm sinal ou forma incorretos. A razão (1+√3)/(1−√3) é negativa e igual a −2−√3, o que torna D a única possível. Referência: Polinômios: pesquisa de raízes racionais e fatoração. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Só as afirmações I e III são corretas. I é verdadeira: x² de ℝ₊ em ℝ₊ é injetora e sobrejetora. II é falsa: √(x²) = |x| nunca assume valores negativos, então não é sobrejetora em ℝ. III é verdadeira: se f(g(x)) = x, então g(a) = g(b) implica a = b, logo g é injetora. IV é falsa porque a expressão não existe em x = a. V é falsa porque √4 = 2 (a raiz é o valor não negativo). A) inclui a II, que é falsa. C) e D) incluem a V (e a IV, em C), falsas. E) inclui a IV, falsa. Só I e III estão corretas. Referência: Funções: injetividade, sobrejetividade, função composta e definição de raiz quadrada. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível cos a + cos 3a = 0 em [0,2π] tem raízes cuja soma é 6π. Transformando em produto, cos a + cos 3a = 2·cos 2a·cos a = 0. Se cos 2a = 0, então a = π/4 + kπ/2, que dá π/4, 3π/4, 5π/4 e 7π/4, com soma 4π. Se cos a = 0, então a = π/2 e 3π/2, com soma 2π. A soma total é 6π. A) 2π, B) 3π, C) 4π e D) 5π omitem raízes de um dos dois grupos (por exemplo, C considera só as raízes de cos 2a = 0). Só 6π inclui todas. Referência: Trigonometria: prostaférese (soma de cossenos em produto). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Seis pessoas em fila, com E e M juntos e A e B separados: 144 maneiras. Tratando E e M como um bloco (2 ordens internas), há 5!·2 = 240 arranjos com os dois juntos. Desses, subtraímos os arranjos em que A e B também ficam juntos: dois blocos mais C e D formam 4! · 2 · 2 = 96 arranjos. Logo 240 − 96 = 144. A) 24 e B) 96 são valores intermediários ou parciais. C) 120 esquece a permutação interna do casal. E) 240 não retira os casos em que A e B ficam juntos. Só 144 está correta. Referência: Análise combinatória: permutações com elementos juntos e separados (princípio da exclusão). Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Probabilidade de escolher o grupo B e, nele, uma menina: 5/24. Cada grupo tem probabilidade 1/3 de ser escolhido. Dentro do grupo B, a probabilidade de sortear uma menina é 5/8. Pela regra do produto, 1/3 · 5/8 = 5/24. A) 13/25 e B) 13/75 não decorrem do cálculo. C) 5/8 ignora a escolha do grupo. E) 5/16 não corresponde a 1/3 · 5/8. Só 5/24 está correta. Referência: Probabilidade: eventos sucessivos e regra do produto. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Dado x + 1/x = 5, x³ + 1/x³ = 110. Pelo cubo da soma, (x + 1/x)³ = x³ + 1/x³ + 3(x + 1/x). Logo 125 = x³ + 1/x³ + 15, e x³ + 1/x³ = 110. B) 120 e D) 140 não resultam da identidade. C) 125 esquece de subtrair 3(x + 1/x). E) 250 vem de uma conta incorreta. Só 110 está certo. Referência: Produtos notáveis: cubo da soma. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Inequação quociente: x ≤ 0 ou x > 1, logo p + q = 1. O denominador fatora como x³ − x² + x − 1 = (x−1)(x²+1), e x²+1 é sempre positivo. A desigualdade equivale a x/(x−1) ≥ 0 com x ≠ 1, que dá x ≤ 0 ou x > 1. Então p = 0, q = 1 e p + q = 1. A) 0, C) 2, D) 3 e E) 4 vêm de identificar errado os pontos críticos ou o sentido dos intervalos. Só a soma 0 + 1 = 1 está correta. Referência: Inequações: estudo do sinal de quociente e fatoração por agrupamento. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Sistema com as somas dois a dois: x − y + z = 859. Somando as três equações, 2(x+y+z) = 4634, logo x+y+z = 2317. Com x < y < z, as somas são x+y = 1380, x+z = 1588 e y+z = 1666. Então z = 2317 − 1380 = 937, y = 2317 − 1588 = 729 e x = 2317 − 1666 = 651. Assim x − y + z = 651 − 729 + 937 = 859.
As alternativas A, B, D e E não correspondem a x = 651, y = 729 e z = 937. Só 859 é o valor de x − y + z. Referência: Sistemas lineares: soma das equações. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Interseção de y = x com y = |x²−1|: a soma das abscissas é √5. Precisamos de x = |x²−1| com x ≥ 0. Se x² ≥ 1, então x² − x − 1 = 0, e a raiz válida é (1+√5)/2. Se x² < 1, então 1 − x² = x, ou seja, x² + x − 1 = 0, e a raiz válida é (−1+√5)/2. A soma é √5.
A) −1, B) 0 e C) 1 não aparecem como soma das duas raízes válidas. D) (1+√5)/2 é só uma das abscissas. E) √5 é a soma correta. Referência: Função modular: resolução por casos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Área do quadrilátero DBEF no triângulo 12-16-20 com circunferência inscrita: 136/5 cm². A hipotenusa mede 20 e o raio inscrito é r = (12 + 16 − 20)/2 = 4. Com B na origem, A(0,16) e C(12,0), temos D(0,4) e E(4,0). Como AF = AD = 12, F = (7,2; 6,4). A fórmula de Shoelace para B, E, F, D dá área = ½·(25,6 + 28,8) = 27,2 = 136/5 cm². B) 216/5, C) 480/5 e D) 128/5 não decorrem do cálculo. E) 96/5 também não: nem o quadrado BDOE (área 16) nem outra combinação simples dá esse valor. Só 136/5 confere com as coordenadas de B, E, F e D. Referência: Geometria plana: circunferência inscrita, tangentes de mesmo comprimento a partir de um ponto externo, área de polígono por coordenadas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Triângulo retângulo isósceles com hipotenusa AB: o vértice C é (4,1) e a reta CM é y = −x + 5, logo m + n = 4. O ponto médio de AB é M(1,4), e AB tem inclinação 1. Como o triângulo é isósceles com hipotenusa AB, C está na mediatriz de AB a uma distância de M igual à metade da hipotenusa, ou seja, 3√2. Isso dá C = (1,4) ± (3,−3), isto é, (4,1) ou (−2,7). Com abscissa positiva, C = (4,1). A reta por C e M tem m = −1 e n = 5, então m + n = 4. As alternativas A (2), B (3), D (5) e E (6) não correspondem à reta y = −x + 5, cuja soma m + n é 4. Referência: Geometria analítica: ponto médio, mediatriz e equação da reta. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Reta s perpendicular a r, com área do triângulo formado com os eixos igual a 10: a + b = −15/4. A reta r tem coeficiente angular −4/5, então s, perpendicular a r, tem a = 5/4. A reta s corta o eixo y em b e o eixo x em −b/a = −4b/5, de modo que a área é ½·|b|·(4|b|/5) = 2b²/5 = 10. Logo b² = 25 e, como b < 0, b = −5. Assim a + b = 5/4 − 5 = −15/4.
A) −21/5, B) 25/4 e C) −25/4 não resultam de a = 5/4 e b = −5. D) 15/4 tem o sinal trocado, o que só ocorreria com b = +5, mas o enunciado diz b < 0. E) −15/4 é o valor correto.
Referência: Geometria analítica: retas perpendiculares (m₁·m₂ = −1) e área do triângulo formado pelos interceptos com os eixos. Resolução comentada do VaiConcursos.EsPCEx — Concurso de Admissão 2025 — Provas de Matemática, Geografia, História e Inglês (2º dia) — Modelo D
- 170 (cento e setenta) não gostavam de nenhuma das 3 disciplinas;
- 100 (cem) gostavam das 3 disciplinas;
- 170 (cento e setenta) gostavam de Química;
- 180 (cento e oitenta) gostavam de Matemática;
- 300 (trezentos) gostavam de Física;
- 80 (oitenta) gostavam somente de Física; e
- Nenhum aluno gostava somente de Química.
De posse dessas informações, o número de alunos que 
é igual a:
é igual a:
Sabe-se que o perímetro do triângulo ABC mede 30 cm, o lado B̅C̅ mede 10 cm e o segmento D̅E̅ mede 24 cm. O valor, em cm, do módulo da diferença entre as medidas dos lados A̅B̅ e A̅C̅ é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. A função f: ℝ₊ → ℝ₊ definida por f(x) = x² é bijetora.
II. A função f: ℝ → ℝ definida por f(x) = √(x²) é sobrejetora.
III. Sejam f e g funções de ℝ em ℝ. Se f(g(x)) = x, então g é injetora.
IV. Para todo número real x, (x − a)(x − b)/(x − a) = x − b.
V. No conjunto dos números reais, temos que √4 = ±2.
Dentre as afirmativas feitas acima, estão corretas apenas:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
, do lado desse triângulo é igual a:
, tal que |z + 50| ≤ 30, é igual a:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
O 
que satisfaz a equação det(A) = −log₃ 27 pertence ao conjunto:Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Determine, em cm³, o volume do prisma.Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Em uma escola, foi realizada uma entrevista com 500 (quinhentos) alunos, que deveriam declarar se gostavam das disciplinas de Física, Matemática e Química. Verificou-se que:
Seja f uma função real definida por f(x) = log₂(x² − x − 2) − log₂(x² − x − 6). O valor da soma de todos os números inteiros para os quais f
Em um triângulo ABC, traçam-se as bissetrizes interna A̅D̅ e externa A̅E̅ em relação ao vértice A, conforme figura abaixo.
O resto da divisão do polinômio p(x) por (x − 1)(x² − 4) é o polinômio r(x). Sabendo-se que os restos das divisões de p(x) por (x − 1) e (x² − 4) são, respectivamente, −2 e (x + 3), o valor de r(−1) é igual a:
O polinômio p(x) = x⁴ − 2x³ − 6x² + 8x + 8 possui duas raízes racionais, a e b, e duas raízes irracionais, c e d (com c > d). O valor de c/d é igual a:
Considere as seguintes afirmações:
A soma de todas as raízes em [0,2π] da equação cos a + cos(3a) = 0 é igual a:
Os valores, em cm, do lado, da altura e, em cm², da área de um triângulo equilátero estão, nessa ordem, em PA. A medida,
O módulo do número complexo z de
Alex, Bruno, Carla, Daniela, Eduardo e Mônica vão ao cinema e pretendem se sentar em uma única fileira. Eduardo e Mônica estão namorando e querem se sentar juntos. Alex e Bruno brigaram e não desejam se sentar juntos. O número de maneiras diferentes que todos podem se sentar de modo que a configuração acima ocorra é igual a:
Um professor dividiu sua turma em três grupos de alunos. No grupo A existem 5 (cinco) meninos e 3 (três) meninas. No grupo B existem 3 (três) meninos e 5 (cinco) meninas. No grupo C existem 4 (quatro) meninos e 5 (cinco) meninas. O professor resolveu escolher aleatoriamente um grupo e, deste grupo, escolher, ao acaso, uma pessoa para responder a uma pergunta. A probabilidade de ter sido escolhida uma menina do grupo B é igual a:
Uma matriz A = (aᵢⱼ)₃ₓ₃ tem seus elementos fornecidos pela seguinte expressão:
Sabendo que x é um número real e que (x + 1/x) = 5, o valor de x³ + 1/x³ é igual a:
Os possíveis valores reais de x que validam a desigualdade x/(x³ − x² + x − 1) ≥ 0 são tais que x ≤ p ou x > q. O valor de p + q é igual a:
Adicionando-se três números inteiros x, y, z, dois a dois, em que x < y < z, obtemos os valores 1380, 1588 e 1666. O valor de x − y + z é igual a:
Considere as funções reais f(x) = x e g(x) = |x² − 1|. A soma das abscissas dos pontos em comum aos gráficos dessas funções é igual a:
Considere ABC um triângulo retângulo em B e uma circunferência λ a ele inscrita, sendo D ∈ A̅B̅, E ∈ B̅C̅ e F ∈ A̅C̅ os pontos de tangência entre os lados do triângulo e a circunferência. Sabendo-se que os catetos A̅B̅ e B̅C̅ medem, respectivamente, 16 cm e 12 cm, calcule, em cm², a área do quadrilátero DBEF.
Considere o prisma hexagonal regular de altura 12 cm e o segmento D̅M̅ que une os vértices D e M formando um ângulo de 60° com o plano da base, como indicado na figura abaixo.
No plano cartesiano, A(−2, 1) e B(4, 7) são dois vértices de um triângulo retângulo isósceles ABC. Sabendo que A̅B̅ é a hipotenusa, que a abscissa do ponto C é um número positivo, e que y = mx + n é a reta que passa pelo vértice C e pelo ponto médio de A̅B̅, a soma m + n é igual a:
Considere as retas r: 4x + 5y = 0 e s: y = ax + b. Sabendo-se que b < 0, r é perpendicular a s e que a reta s forma com os eixos coordenados um triângulo de área 10 u.a. (unidade de área), o valor de a + b é igual a: