← Voltar para a lista de provas Escola Preparatória de Cadetes do Exército (EsPCEx) — Exército Brasileiro · Concurso de Admissão à EsPCEx 56 questões nesta prova · página 1 de 3 · 56 com gabarito Gabarito disponível Gabarito disponível Conta pares menores que 4000 com soma dos algarismos 6. Todo elemento de A tem menos de 4000, logo tem no máximo 4 algarismos e está em B̅. Assim A ∩ B̅ = A. Escrevendo abcd com a ≤ 3 e d par, a+b+c = 6−d. Para d=0: 28−6 = 22. Para d=2: 15−1 = 14. Para d=4: 6. Para d=6: 1. Total: 22+14+6+1 = 43. 47, 45, 49 e 41 vêm de erros na contagem, como esquecer a restrição a ≤ 3 ou algum valor de d. Referência: Combinatória: soluções inteiras de equações; conjuntos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Analisa f por partes no intervalo [0, 7]. Para 0 ≤ x ≤ 2, f = 3−2x, que vai de 3 a −1. Para 2 ≤ x ≤ 3, f = 4x−9, que vai de −1 a 3. Para 3 ≤ x ≤ 6, f = 3 (constante). Para 6 ≤ x ≤ 7, f = 2x−9, que vai de 3 a 5. O mínimo é −1 e o máximo é 5, e f é contínua, então Im = [−1, 5]. A, B, D e E erram o mínimo ou o máximo: f(2) = −1 e f(7) = 5 pertencem à imagem, mas não aos outros intervalos. Referência: Função modular; estudo por casos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Compõe as funções e resolve a equação exponencial. f(g(h(x))) = 16^(2^h(x)) = 2 implica 2^(4·2^h) = 2^1, então 4·2^h = 1 e 2^h = 1/4, logo h(x) = −2. Assim (5x−1)/3 = −2, 5x−1 = −6 e x = −1. Para x = 2, −2, 1 e 0, h(x) vale 3, −11/3, 4/3 e −1/3, e nenhum desses é −2. Referência: Função composta; equação exponencial. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Duas PAs (3n−2 e 4m+1) com Bravo passando 3 vezes mais rápido que Alfa. Alfa: a_n = 3n−2. Bravo: b_m = 4m+1. Quando o último de Bravo (M) passa, o índice de Alfa n satisfaz M = 3n−2. A condição dá b_M − a_n = a_N: (12n−7) − (3n−2) = 3N−2, logo N = 3n−1. Como N − n = 19, n = 10, N = 29 e M = 28. Total = 29 + 28 = 57. 76, 114, 95 e 133 são múltiplos de 19 (4, 6, 5 e 7 vezes 19), mas não resultam de N + M = 57. Referência: Progressão aritmética: termo geral. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Acha as raízes de g e testa quais também anulam f. g(2) = 0, então g = (x−2)(6x²+x−2) = (x−2)(3x+2)(2x−1), com raízes 2, −2/3 e 1/2. f(2) = 720 ≠ 0, então 2 não é raiz de f. f(1/2) = 0 e f(−2/3) = 0. As raízes comuns são 1/2 e −2/3, ambas em ]−1, 2[. Nenhuma raiz comum está em ]2,5[, ]5,8[, ]−7,−4[ ou ]−4,−1[. A raiz 2 não é comum, e ainda estaria fora de ]−1,2[ porque o intervalo é aberto. Referência: MDC de polinômios; raízes racionais. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Raízes a e −a: fatora o polinômio como (x²−r²)(x²+px+q). Se a+b = 0, as raízes são r e −r e o polinômio é (x²−r²)(x²+px+q). Comparando coeficientes: p = −15, q−r² = 20 e −p·r² = 240, o que dá 15r² = 240, r² = 16 e q = 36. O outro fator é x²−15x+36, com raízes 3 e 12. As raízes são 4, −4, 3 e 12, e a maior é 12, cujo algarismo das unidades é 2. Os algarismos 1, 0, 3 e 4 não correspondem à maior raiz (12). 3 e 4 são raízes menores, não a maior. Referência: Relações de Girard. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Sistema 3×3 com caminhões (T), ônibus (O) e jipes (J). Ida: T+O+J = 26 e 20T+24O+4J = 420, ou seja, 5T+6O+J = 105. Volta: 22(T−2)+29(O−1)+6J = 420, ou seja, 22T+29O+6J = 493. Substituindo J = 26−T−O, obtém-se 4T+5O = 79 e 16T+23O = 337. Resolvendo, O = 7, T = 11 e J = 8. Ônibus mais jipes = 7+8 = 15. 16, 12, 13 e 14 não coincidem com O + J = 15 obtido da solução única do sistema. Referência: Sistemas lineares. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Usa a relação de Euler com 3 arestas por vértice e faces quadradas = 2 × octogonais. Seja o o número de octógonos. Então s = 2o e h = 26 − 3o. Com 3 arestas por vértice, 2A = 3V. Euler (V − A + F = 2) dá A = 72 e V = 48. Contando lados das faces, 2A = 144 = 8o + 4(2o) + 6h = 16o + 6(26−3o) = 156 − 2o, logo o = 6, s = 12 e h = 8. 6, 4, 3 e 5 hexágonos não fecham as contagens de arestas e vértices com 26 faces. Referência: Relação de Euler para poliedros convexos. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Compara duas distribuições binomiais de 2 tiros cada. Para Alfredo: P(0) = 1/9, P(1) = 4/9, P(2) = 4/9. Para Bernardo: P(0) = 9/64, P(1) = 30/64, P(2) = 25/64. Alfredo acerta mais vezes que Bernardo quando faz 1 e Bernardo 0, ou quando faz 2 e Bernardo 0 ou 1. Isso dá (4/9)(9/64) + (4/9)(39/64) = 192/576 = 1/3. 1/4, 1/5, 3/5 e 5/6 não resultam do cálculo. Elas vêm de somar casos incorretos ou de omitir algum deles. Referência: Distribuição binomial; eventos independentes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Razões das participações em abril e julho, com N = 11k alunos. Em abril cada aluno competiu uma vez, então RJ = 3k, SP = 8k e N = 11k. Em julho, o total de participações passa a ser RJ = 3k+45 e SP = 8k+25. Com a razão 4/9: 9(3k+45) = 4(8k+25), ou seja, 27k+405 = 32k+100 e k = 61. Logo N = 11·61 = 671. 649, 638, 660 e 627 não correspondem a 11k com k = 61. Os três primeiros são múltiplos de 11, mas dão k diferente de 61, e 627 = 11·57 também. Só 671 = 11·61 atende. Referência: Razão e proporção; sistemas de equações. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Cilindros com bases S e 2S e alturas 8 e 7: a diferença dos volumes dá a área da base. Seja S a área da base de A. A base de B mede 2S. V_A = 8S e V_B = 7·2S = 14S. Então 14S − 8S = 6S = 432π, logo S = 72π cm². A base de B mede 2·72π = 144π cm². A, C, D e E não satisfazem V_B − V_A = 432π. Por exemplo, 121π daria S = 60,5π e 6S = 363π. Referência: Volume do cilindro: V = área da base × altura. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponívelEsPCEx — Concurso de Admissão 2026/2027 — Exame Intelectual, 2º Dia (Matemática, Geografia, História e Inglês) — Versão 1
f(x) = { 2x² + (s + 1)x + q se x ≤ 0
{ mx + q se 0 < x < 2
{ ax² + bx + c se x ≥ 2
Considere também o gráfico de f:
O valor de f(10) éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Em certo instante, ambos os pelotões, que correm em sentidos opostos em vias retilíneas e paralelas, aproximaram-se de uma guarita. O primeiro militar de cada um dos pelotões passou pela guarita ao mesmo tempo e, em seguida, para cada 1 militar do pelotão Alfa que passou pela guarita, passaram 3 militares do pelotão Bravo.
No momento em que o último militar do pelotão Bravo passou pela guarita, a diferença entre o número de sua camisa e o número da camisa do militar do pelotão Alfa que passou ao mesmo tempo que ele é igual ao número da camisa do último militar do pelotão Alfa.
Sabendo que, no momento em que esses dois militares estavam passando pela guarita, ainda faltavam passar 19 militares do pelotão Alfa, o número total de militares desses dois pelotões é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Sabendo que tg α = 2,5 e que a área do quadrilátero DEFG é 720 cm², a área do triângulo ABC corresponde a
Sendo mdc(f, g) o máximo divisor comum entre os polinômios f e g, α é uma raiz comum dos polinômios f e g se, e somente se, α é uma raiz do mdc(f, g).
As raízes comuns dos polinômios
f(x) = 6x⁵ + 49x⁴ – 65x² – 6x + 16 e g(x) = 6x³ – 11x² – 4x + 4
estão contidas no intervalo:Resolução comentada
Análise das alternativas
x⁴ – 15x³ + 20x² + 240x – 576 = 0
Sabendo que a + b = 0, o algarismo das unidades da maior raiz dessa equação éResolução comentada
Análise das alternativas
No centro da malha, 9 pontos estão em destaque. O total de caminhos distintos que passam por pelo menos um desses pontos em destaque é igual a
A única raiz real dessa equação é um número múltiplo de
O número total de ônibus e jipes utilizados no transporte de ida até o local de treinamento é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Se em cada vértice do cuboctaedro concorrem 3 arestas, o número de faces hexagonais desse poliedro é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Sabendo que a área do triângulo determinado pelas retas r e s e pelo eixo x é 39, a reta s intersecta o eixo y no ponto de ordenada:Resolução comentada
Análise das alternativas
, o maior elemento da matriz inversa de M é
Sabendo que o comprimento do segmento AB é igual ao dobro do comprimento do segmento AC, a área do triângulo ACD corresponde a:
Sabendo que o lado BC mede 22 cm, que a medida do lado CD excede a medida do lado AB em 14 cm e que tg β = 3/5, a área do triângulo ADE é
O número de alunos dessa academia é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Sabendo que o volume da pirâmide VCDE é igual a 192 cm³ e que a distância entre os pontos H e V é 2,25 vezes a distância entre os pontos H e B, a área da face VCE é:
Considere as constantes reais a, b, c, m, q, r e s e a função real definida pela sentença:
Seja U o conjunto formado por todos os números inteiros pares positivos cuja soma dos algarismos é igual a 6. Considere os seguintes subconjuntos de U: A = {a ∈ U | a < 4 000} e B = {b ∈ U | b tem mais de 4 algarismos}. Seja B̅ = U − B. O número de elementos do conjunto A ∩ B̅ é igual a
Seja A = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x ≤ 7}. O conjunto imagem da função f: A → ℝ, tal que y = f(x) = ||2x − 6| − x| + x − 3, é:
Seja f(x) = 16ˣ, g(x) = 2ˣ e h(x) = (5x − 1)/3. O valor de x tal que, f(g(h(x))) = 2 é
Dois pelotões, Alfa e Bravo, estão fazendo um treino de corrida, ambos mantendo formação em fila, ou seja, com os militares dispostos em coluna, um atrás do outro. No pelotão Alfa, os militares usam camisas numeradas que formam uma progressão aritmética (PA), com o número da camisa do primeiro militar igual a 1, do segundo igual a 4, do terceiro igual a 7, e assim, sucessivamente, até o último militar. No pelotão Bravo, as camisas também são numeradas e formam a PA 5, 9, 13, 17, ….
No interior do triângulo retângulo ABC foram traçados 7 segmentos paralelos ao lado BC, com extremidades nos lados AB e AC, sendo iguais as distâncias entre dois segmentos consecutivos quaisquer e entre o maior desses segmentos e o lado BC, conforme mostra a figura.
Considere o seguinte teorema:
Sejam a, b, c e d as raízes da equação:
Sobre uma malha quadriculada estão dispostos 35 pontos, entre eles os pontos O e F. Um caminho deverá ser traçado do ponto O ao ponto F avançando 10 pontos, um ponto por vez, de maneira que o caminho final tenha avançado 4 pontos para cima (C), 3 pontos para a direita (D) e 3 pontos para a esquerda (E). O caminho pode passar por F antes de avançar os 10 pontos, mas obrigatoriamente deve avançar 10 pontos e terminar em F, o que implica que, em alguns caminhos, um segmento que liga dois pontos consecutivos pode ser percorrido mais de uma vez. A figura ilustra a malha, os 35 pontos e o caminho DDCCCCEEDE.
Considere a equação logarítmica:
Um treinamento foi realizado por 420 soldados de determinado regimento. Para o transporte desses soldados do quartel até o local de treinamento, foi utilizado um total de 26 veículos, entre caminhões táticos, ônibus e jipes, cada tipo de veículo transportando um número de soldados respectivamente igual a 20, 24 e 4. A volta de todos para o quartel foi feita utilizando 2 caminhões táticos a menos, 1 ônibus a menos e o mesmo número de jipes, cada tipo de veículo transportando um número de soldados respectivamente igual a 22, 29 e 6.
O cuboctaedro truncado é um poliedro convexo formado por 26 faces, algumas octógonos regulares, algumas hexágonos regulares e as demais quadrados, sendo o número de faces quadradas igual ao dobro do número de faces octogonais.
A reta r, de equação 3x – 2y + 18 = 0, intersecta perpendicularmente a reta s, conforme mostra a figura.
Alfredo e Bernardo estão em treinamento de qualificação para tiro de 200 m. A probabilidade de Alfredo acertar a área de pontuação é 2/3, e a probabilidade de Bernardo acertar a área de pontuação é 5/8. Cada um desses atiradores irá disparar duas vezes. A probabilidade de Alfredo acertar a área de pontuação mais vezes do que Bernardo é:
Dada a matriz M =
Considere um triângulo ABC e um ponto D sobre o lado BC, conforme mostra a figura.
No plano, um ponto E está sobre o lado BC do quadrilátero ABCD, conforme mostra a figura.
Em 2025, cada aluno de uma academia de artes marciais participou de exatamente dois torneios: um no Rio de Janeiro (RJ) e um em São Paulo (SP), mas esses alunos não participaram, necessariamente, dos mesmos torneios. Em abril, cada aluno participou de um torneio, de maneira que a razão entre o número de alunos que competiram no RJ e o número de alunos que competiram em SP foi igual a 3/8. Em julho, apenas alguns alunos participaram de torneios, sendo que 45 alunos competiram no RJ e 25 em SP, de tal maneira que, após as competições de julho, a razão indicada, considerando o total de participações até aquele momento, passou a ser igual a 4/9. Em outubro, todos os alunos com apenas um torneio realizado no ano participaram de mais um.
Um cilindro B tem 7 cm de altura e a área de sua base mede o dobro da área da base de um cilindro A de altura 8 cm. Sabendo que o volume do cilindro B excede o volume do cilindro A em 432π cm³, a área da base do cilindro B é igual
Os vértices da base de uma pirâmide VCDE estão sobre três vértices do quadrado BCDE. A projeção ortogonal do vértice V sobre o quadrado BCDE é o ponto H ∈ B̅D̅, tal que HD = 3HB, conforme mostra a figura.