← Voltar para a lista de provas Instituto Tecnológico de Aeronáutica (ITA) · Vestibular 2026 — 1ª Fase (Matemática, Física, Química e Inglês) 48 questões nesta prova · página 1 de 3 · 47 com gabarito Gabarito disponível z, w e a diferença z − w = −2√3 formam um triângulo cujo ângulo de w é conhecido. Se z = w − 2√3, com w = r·e^{iπ/6}, então |z|² = r² − 2√3·r·√3 + 12 = r² − 6r + 12, que deve valer 12. Logo r = 6 (r ≠ 0) e w = 3√3 + 3i. Então z = w − 2√3 = √3 + 3i, e Re(z) = √3. A, B, C e E não correspondem a Re(z) = 3√3 − 2√3 = √3. Referência: Números complexos: módulo, argumento e operações. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Escrever os logaritmos dados em função de log₄₅7 e log₄₅5. 13,72 = 7³/5² (pois 1372/100 = 4·7³/(4·25)). Então, com a = log₄₅7 e c = log₄₅5, 3a − 2c = 0,6880. Além disso, 6125 = 5³·7², então 3c + 2a = 2,2908. Resolvendo, c = (3a − 0,688)/2 e 6,5a = 3,3228, logo a ≈ 0,5112. A, C, D e E são valores próximos, mas não satisfazem o sistema. Referência: Logaritmos: propriedades e sistema linear nas incógnitas log₄₅7 e log₄₅5. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Os elementos aij = 1 + (1−i)(1−j) dão matriz simétrica, de linhas em PA e de posto no máximo 2. I) aij = aji, pois o produto é simétrico. II) Em cada linha i, aij é função afim de j, logo é uma PA. III) A = 1·1ᵀ + uuᵀ, com u_i = 1 − i, tem posto ≤ 2 e ordem 100, portanto det = 0 (singular). As três afirmações são verdadeiras. A, B, C e D omitem alguma afirmação verdadeira. Referência: Matrizes: simetria, progressões e posto/determinante. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A equação iz² = 2z̄ tem três raízes não nulas de módulo 2, formando um triângulo equilátero. Tomando módulos, |z|² = 2|z|, então |z| = 2 (z ≠ 0). Com z = 2e^{iθ}, a equação vira e^{i(π/2 + 3θ)} = 1, que dá 3 valores de θ, espaçados de 120°. Os vértices formam um triângulo equilátero inscrito em círculo de raio 2, de área (3√3/4)·4 = 3√3. A, B, D e E não correspondem à área de um triângulo equilátero de circunraio 2. Referência: Números complexos: forma polar e raízes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A área do hexagrama é √3·R², sendo R o raio da circunferência. O triângulo equilátero ACE tem área (3√3/4)R². O hexagrama é esse triângulo mais 3 triângulos pequenos, cada um com 1/9 da área, ou seja, 4/3 do triângulo, que dá √3R². Então √3R² = 25√3, logo R² = 25. O quadrado inscrito tem diagonal 2R e área 2R² = 50 cm². A) 10, B) 25, C) 40 e E) 75 vêm de relações erradas entre a área do hexagrama e R². Referência: Geometria plana: polígonos regulares inscritos. Resolução comentada do VaiConcursos. Questão anulada Gabarito disponível Gabarito disponível A simetria p(2+x) = −p(2−x) fixa o centro de simetria em (2, 0). A condição indica que 2 é raiz e que as outras raízes são 2 ± a. Logo p(x) = (x − 2)[(x − 2)² − a²], com a² ≥ 0 para as raízes serem reais. Então p(0) = −2(4 − a²) = −8 + 2a², cujo mínimo ocorre com a = 0, dando −8. A) −10 exigiria a² < 0 (raízes complexas). C, D e E são maiores que o mínimo e correspondem a valores de a² não nulos.
Referência: Polinômios: simetria e relações entre raízes. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Encontrar a tangente de coeficiente angular −7 e calcular a área com coordenadas. A reta r tem coeficiente −3/4. O ângulo de 45° exige m = 1/7 ou m = −7, e a tangente com coeficiente negativo é m = −7. Em P, 2x + 1 = −7 dá A = (−4, 18) e t: y = −7x − 10. Em r ∩ t, B = (−1, −3). O vértice é V = (−1/2, 23/4). Então B − A = (3, −21), V − A = (7/2, −49/4), e a área é ½|3(−49/4) + 21(7/2)| = 147/8. A, B, C e E não coincidem com o valor calculado. Referência: Geometria analítica: ângulo entre retas, tangência à parábola e área de triângulo. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível A segunda equação força sen y = cos x; a primeira dá y = π/3 e x = π/6. Em t + 1/t = 2 com t > 0, t = 1, então sen y = cos x e y = π/2 − x. Na primeira equação, sen y·tan(y/2) = 2sen²(y/2) = 1 − cos y, que deve ser igual a cos2x. Com cos2x = −cos2y, fica 1 − c = 1 − 2c², com c = cos y, logo c = 1/2. Então y = π/3 e x = π/6, e o produto é π²/18. A, B, C e D não correspondem ao produto (π/6)(π/3) = π²/18. Referência: Trigonometria: arco metade, desigualdade de médias e equações trigonométricas. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Contagem por proporção das ordens exigidas entre os valores de F. Há 8! = 40320 bijeções. Entre F(1), F(5), F(3), apenas 1 das 3! = 6 ordens é a pedida, e entre F(7), F(2), apenas 1 das 2 ordens. Os dois grupos são disjuntos e independentes, então o total é 40320/(6·2) = 3360. B, C, D e E resultam de cálculos incorretos, como dividir só por 6 ou por 8, ou de ignorar a independência das condições. Referência: Análise combinatória: permutações com restrições de ordem. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Centros alinhados em y = mx e tangência externa implicam distância = soma dos raios. Os centros (r_k, m·r_k) estão na reta y = mx, então a distância entre centros consecutivos é (r_{k+1} − r_k)√(1+m²). Para tangência externa, ela vale r_k + r_{k+1}. Com r_{k+1} = q·r_k, (q − 1)s = q + 1, onde s = √(1+m²), e q = (s+1)/(s−1) = (s+1)²/m² = ((√(m²+1) + 1)/m)². A) esquece o quadrado. C e D usam (s − 1), o que daria q < 1, contrariando PG crescente. E) não decorre da relação de tangência.
Referência: Geometria analítica: circunferências tangentes e PG. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível I = ρ·A·v por análise dimensional e definição de corrente. A carga que atravessa a seção em um tempo dt é ρ·A·v·dt, então I = ρAv. Dimensionalmente, (C/m³)·m²·(m/s) = C/s. Logo C é adimensional e I = CρAv. A) tem A² e fica em C·m/s. C) tem v² e fica em C/s·(m/s). D) e E) têm A ou v no denominador, o que dá unidades incompatíveis com ampère. Referência: Corrente elétrica e densidade volumétrica de carga. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível O projétil atinge a esfera no solo no instante t = √(2H/g). A esfera chega ao solo em t = √(2H/g). Nesse instante o projétil também está no solo, e a horizontal dá D = v·cosθ·t. Na vertical, 0 = h + v·senθ·t − ½gt², e como ½gt² = H, resulta v·senθ·t = H − h. Então v²t² = D² + (H − h)², o que dá v² = (g/2H)[(H − h)² + D²]. B e E erram o fator numérico (g/H e 2g/H em vez de g/(2H)). C e D usam subtração em vez de soma, mas as componentes são perpendiculares e somam-se os quadrados. Referência: Cinemática: lançamento oblíquo e queda livre. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Subida com arrasto constante e depois compressão da mola com atrito. Na subida, a desaceleração é (10 + 2) m/s², então h = 30²/(2·12) = 37,5 m. Na descida, a = 8 m/s² e v² = 2·8·37,5 = 600, logo Ec = 300 J. Na compressão máxima x: 300 + 10x = 400x² + 410x, ou seja, 4x² + 4x − 3 = 0, que dá x = 0,5 m. A energia dissipada é 2·37,5·2 (150 J) mais 410·0,5 (205 J), totalizando 355 J. A) e B) usam 45 m, que desconsidera o arrasto na subida. C) usa 150 J e esquece a dissipação na compressão. E) 765 J soma valores indevidos. Referência: Teorema trabalho-energia com forças dissipativas e energia elástica. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Gabarito disponível Refrigerador de Carnot: potência elétrica = calor retirado ÷ eficiência. A eficiência máxima é COP = T_f/(T_q − T_f) = 290/20 = 14,5. O calor a retirar é 10 × 100 W = 1000 W, então a potência elétrica é 1000/14,5 ≈ 69 W. O tempo é 8 h × 5 dias × 4 semanas = 160 h, o que dá cerca de 11 kWh. O custo é 11 × 0,91 ≈ R$ 10,00. A) R$ 8,00 e C) R$ 14,00 subestimam ou superestimam o consumo. D) R$ 80,00 e E) R$ 170,00 vêm de ignorar o COP ou de usar o calor como se fosse energia elétrica. Referência: Máquinas térmicas: coeficiente de desempenho do refrigerador de Carnot. Resolução comentada do VaiConcursos. Gabarito disponível Película delgada de óleo com interferência construtiva e refração a 45°. Na reflexão ar→óleo (1 4/3) não há inversão. A condição de máximo é 2·n·d·cosθ = λ/2 para a menor espessura. Pela lei de Snell, sen θ = (√2/2)/(3/2) = √2/3, então cosθ = √7/3 ≈ 0,867. Assim, 2·1,5·d·0,867 = 260 nm, o que dá d ≈ 100 nm. A) 40 nm, B) 90 nm, D) 160 nm e E) 200 nm não satisfazem a condição. Elas vêm de ignorar a refração ou de usar a condição de fase errada (λ em vez de λ/2, por exemplo). Referência: Interferência em películas finas e lei de Snell. Resolução comentada do VaiConcursos.ITA — Vestibular 2026 — 1ª Fase — Matemática, Física, Química e Inglês
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Sejam z, w ∈ ℂ tais que z − w = −2√3 e w ≠ 0. Se z tem módulo 2√3, e w tem argumento π/6, então a parte real de z é igual aResolução comentada
Análise das alternativas
log₄₅ 13,72 = 0,6880,
log₄₅ 6125 = 2,2908,
a alternativa que mais aproxima a representação decimal de log₄₅ 7 éResolução comentada
Análise das alternativas
a_ij = 1 + (1 − i)(1 − j).
Considere as seguintes afirmações:
I. A é uma matriz simétrica.
II. Cada linha da matriz A forma uma progressão aritmética.
III. A é uma matriz singular.
É (São) VERDADEIRA(S):Resolução comentada
Análise das alternativas
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Os vértices de um polígono são todos os números complexos não nulos que satisfazem a equação
iz² = 2z̄.
A área desse polígono éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
I. Um cubo possui uma seção plana dada por um pentágono.
II. Sejam α, β e η três planos distintos, dois a dois concorrentes. Sejam r a reta interseção de α e β, s a reta interseção de β e η, t a reta interseção de α e η. Se r, s e t são duas a duas paralelas distintas, então existe uma única reta paralela a r que dista igualmente de α, β e η.
III. Dois planos secantes são perpendiculares se toda reta de um deles for perpendicular ao outro plano.
É (São) VERDADEIRA(S):
A matriz A³¹ × B é igual a
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Seja p(x) = x³ + bx² + cx + d um polinômio com coeficientes reais. Se todas as raízes de p(x) são reais e, para todo x ∈ ℝ,
p(2 + x) = −p(2 − x),
então o menor valor possível para p(0) éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Sejam x, y ∈ ]0, π/2[, satisfazendo o sistema de equações
{ tan(y) tan(y/2) = cos(2x) sec(y),
{ sen(y)/cos(x) + cos(x)/sen(y) = 2.
O produto de todos os valores de x e y que resolvem esse sistema éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Convenções: Considere o sistema de coordenadas cartesiano, a menos que haja indicação contrária.
ℝ : denota o conjunto dos números reais.
ℂ : denota o conjunto dos números complexos.
i : denota a unidade imaginária, i² = −1.
z̄ : denota o conjugado do número complexo z.
]a, b[ : denota o intervalo aberto de todos os x ∈ ℝ com a < x < b.
Considere m ∈ ℝ positivo. A sequência r_k é uma progressão geométrica crescente de termos positivos de razão q e termo inicial r₁ = q. As circunferências
C_k : (x − r_k)² + (y − mr_k)² = r_k²
são duas a duas tangentes externamente, nessa ordem. A expressão de q em função de m éResolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Resolução comentada
Análise das alternativas
Quando e se necessário, use os seguintes valores para as quantidades a seguir:
Aceleração local da gravidade g = 10 m/s².
√2 ≈ 1,4; √3 ≈ 1,7; √5 ≈ 2,2 √7 ≈ 2,6.
Um objeto de massa m = 1,00 kg é lançado verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial v₀ = 30,0 m/s. A força de resistência do ar tem módulo constante f_d = 2,00 N durante toda a trajetória. Ao retornar ao nível do solo, ele colide com uma plataforma de massa desprezível, presa a uma mola ideal vertical de constante elástica k = 800 N/m. Após o impacto, o sistema plataforma-massa desliza sobre apoios verticais, sofrendo uma força dissipativa total constante igual a 410 N. Assinale a alternativa que corresponde, respectivamente, à altura máxima atingida pelo objeto e ao valor que mais se aproxima da energia total dissipada até a mola atingir sua máxima compressão.Resolução comentada
Análise das alternativas
Quando e se necessário, use os seguintes valores para as quantidades a seguir:
Aceleração local da gravidade g = 10 m/s².
√2 ≈ 1,4; √3 ≈ 1,7; √5 ≈ 2,2 √7 ≈ 2,6.
Um vaso comunicante contém um volume V₀ = 2,00 L de água e possui duas colunas verticais conectadas por um tubo de conexão de comprimento L₀ = 10,0 cm e área de seção transversal A_c = 100 cm², conforme a figura. Sobre cada uma das colunas verticais, colocam-se duas massas distintas: m₁ = 200 g sobre a coluna de área A₁ = 100 cm² e m₂ = 100 g sobre a coluna de área A₂ = 400 cm². Admita que o sistema atinge o equilíbrio estático, que a água é incompressível e despreze o atrito. Dado o exposto, assinale a alternativa que corresponde à altura da coluna de água sob a massa m₁.
Resolução comentada
Análise das alternativas
Quando e se necessário, use os seguintes valores para as quantidades a seguir:
Aceleração local da gravidade g = 10 m/s².
√2 ≈ 1,4; √3 ≈ 1,7; √5 ≈ 2,2 √7 ≈ 2,6.
Um acidente marítimo causou um derramamento de óleo no mar. Na região, formou-se uma fina camada iridescente de óleo que flutua sobre a água calma do mar. Os índices de refração do óleo e da água são 3/2 e 4/3, respectivamente. Suponha que, à tarde, a luz solar incide com ângulo de 45° sobre a mancha de óleo e que um observador observa o reflexo do sol na camada de óleo com uma cor verde, com forte contribuição de comprimentos de onda em torno de 520 nm. Assinale a alternativa que contém o valor mais próximo da menor espessura da camada de óleo que permita a ocorrência do efeito descrito.Resolução comentada
Análise das alternativas
Texto-base:
Usando os valores aproximados
Seja A a matriz de ordem 100 × 100, cujos elementos são descritos pela equação
Texto-base:
Uma circunferência é dividida em seis partes iguais pelos pontos A, B, C, D, E, F, designados nessa ordem. Os pontos A, C, E são vértices de um triângulo equilátero, os pontos B, D, F são vértices de um segundo triângulo equilátero. A sobreposição desses dois triângulos define uma estrela de seis pontas denominada hexagrama. Se a área desse hexagrama é 25√3 cm², então a área do quadrado inscrito na circunferência mede
Considere as seguintes afirmações:
Considere as matrizes
Texto-base:
Considere a reta r : 3x + 4y = −15 e a parábola P : y = x² + x + 6 com vértice V. Seja t a reta tangente a P, que tem coeficiente angular negativo e forma um ângulo de 45° com r. Sendo A o ponto de tangência de t a P e B o ponto de interseção de r e t, a área do triângulo ABV é
Texto-base:
Seja A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A quantidade de bijeções F : A ⟶ A que satisfazem F(1) < F(5) < F(3) e F(7) < F(2) é
Texto-base:
Em um microscópio eletrônico de varredura (MEV), um feixe de elétrons apresenta área transversal A, densidade de carga ρ e velocidade dos elétrons v. Sabendo que a corrente I do feixe é determinada pelo fluxo de carga através da seção reta e que C é uma constante adimensional, assinale a alternativa que representa a relação correta entre I, A, ρ e v.
Uma pequena esfera é abandonada do repouso a partir de uma altura H, em relação ao solo, e cai verticalmente em queda livre. No mesmo instante em que a esfera inicia seu movimento, um canhão, situado a uma distância horizontal D da trajetória da esfera e a uma altura h relativamente ao solo, dispara um projétil com velocidade v, formando um ângulo θ em relação à horizontal. As condições são tais que o projétil atinge a esfera exatamente no instante em que ela toca o solo. Desprezando a resistência do ar e assumindo que a aceleração gravitacional é igual a g, assinale a alternativa que corresponde à magnitude da velocidade de lançamento v.
Texto-base:
Três planetas de massas m idênticas orbitam, em trajetória circular, uma estrela de massa M. A posição relativa entre os planetas, a cada instante, forma um triângulo equilátero de lado a, conforme mostrado na figura. Sabendo que G é a constante da gravitação universal, podemos afirmar que o período dessa órbita é dado por
Considere um pêndulo simples, com um fio ideal de comprimento ℓ sob ação da gravidade de aceleração g, e um sistema massa–mola na horizontal, com uma mola de comprimento natural x₀ e uma massa que desliza sobre uma superfície lisa, conforme a figura. Ambos os corpos, o do pêndulo e o do sistema massa–mola, possuem a mesma massa. No instante inicial, o pêndulo é solto do repouso a partir de um pequeno ângulo θ com a vertical, enquanto a massa do sistema massa-mola é solta também do repouso a partir de uma posição x₁, em que a mola se encontra comprimida. As duas massas colidem quando a mola atinge seu comprimento natural e quando o pêndulo está na vertical. Nesse instante, elas possuem a mesma velocidade. Assinale a alternativa que corresponde a relação entre o ângulo θ, de lançamento do pêndulo, e os outros parâmetros físicos relevantes.
Texto-base:
Em um escritório, trabalham 10 funcionários de segunda a sexta, em um regime de oito horas por dia. Diariamente o ar-condicionado é ligado para manter o local de trabalho a 17 °C, sendo que o ambiente externo está a uma temperatura de 37 °C. Considere que o ar-condicionado funcione com máxima eficiência e que ele age apenas para retirar o calor gerado pelas pessoas, que é de 100 W por funcionário. Sabendo que a tarifa da energia elétrica é de R$ 0,91 por kWh, assinale o custo aproximado para usar o ar-condicionado durante 4 semanas.
Texto-base: