Questão 5 — Campos Vetoriais Conservativos (Cálculo Diferencial e Integral) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil 2023

Cálculo Diferencial e Integral Campos Vetoriais Conservativos

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2023 Superior

Marinha do Brasil · Oficial do Corpo de Engenheiros da Marinha (CP-CEM) — prova comum a todas as profissões de engenharia · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Assinale a opção que apresenta um campo de força F: ℝ² → ℝ² conservativo.

Selecione uma alternativa A) F(x,y) = (y cos(xy), x cos(xy)) B) F(x,y) = (y sin(xy), x cos(xy)) C) F(x,y) = (x cos(xy), y cos(xy)) D) F(x,y) = (sin(xy), sin(xy)) E) F(x,y) = (x sin(xy), y cos(xy))

Resolução comentada

O campo é conservativo se for gradiente de uma função potencial; em A, φ = sen(xy).

Para F = (P,Q) em ℝ², o campo é conservativo se ∂P/∂y = ∂Q/∂x. Em A, ∂/∂y[y cos(xy)] = cos(xy) − xy sen(xy), e ∂/∂x[x cos(xy)] = cos(xy) − xy sen(xy). As derivadas são iguais. De fato, F = ∇sen(xy).

Análise das alternativas

B: Py = sen(xy) + xy cos(xy), mas Qx = cos(xy) − xy sen(xy). C: Py = −x² sen(xy), mas Qx = −y² sen(xy). D: Py = x cos(xy), mas Qx = y cos(xy). E: Py = x² cos(xy), mas Qx = −y² sen(xy). Em B, C, D e E as derivadas cruzadas diferem, então não são conservativos.

Referência: Cálculo Vetorial: campos conservativos e critério das derivadas cruzadas.

Resolução comentada do VaiConcursos.