Gabarito disponível
Considere S uma superfície no ℜ³ representada parametricamente pela função vetorial r⃗(u,v) = u²v i⃗ + (u + v) j⃗ + u k⃗ , u, v ∈ ℜ e f uma função real definida por f(x,y,z) = x³ + y² + z, x, y, z ∈ ℜ. O valor absoluto da derivada direcional da função f no ponto (1,2,1) e na direção da perpendicular à S em (1,2,1) é
Resolução comentada
Derivada direcional de f na direção do vetor normal a S em (1,2,1) vale 2√3/3.
No ponto (1,2,1), z = u dá u = 1 e y = u + v dá v = 1. As derivadas parciais são r_u = (2uv,1,1) = (2,1,1) e r_v = (u²,1,0) = (1,1,0). O produto vetorial r_u × r_v é (−1,1,1), de módulo √3. Como ∇f = (3x²,2y,1) = (3,4,1) no ponto, a derivada direcional é (3,4,1)·(−1,1,1)/√3 = 2/√3 = 2√3/3.
Análise das alternativas
As demais opções resultam de erros no produto vetorial, na normalização do vetor normal ou no gradiente. Apenas 2√3/3 corresponde ao cálculo correto.
Referência: Cálculo vetorial: vetor normal a superfície parametrizada e derivada direcional.
Resolução comentada do VaiConcursos.