Gabarito disponível
Em determinado instante, um drone que percorre uma trajetória tridimensional se encontra no ponto (X,Y,Z) = (1m, 2m, 3m). Sabe-se que sua velocidade, nesse instante, pode ser descrita pelo vetor V = (0,2m/s, 0,3m/s, 0,4m/s). Além disso, a temperatura do ar em função da posição espacial, em °C, no ambiente pode ser descrita por uma função R³→R representada por: T(x,y,z) = (1° C/m²). (x − 3m)² + (1° C/m²). (y − 4m)² + (1° C/m²). (z − 5m)² + 15°C. Nesse exato momento descrito, qual é o valor do módulo da taxa de variação de temperatura (em °C/s) à qual o drone se submete?
Resolução comentada
Taxa de variação de T ao longo da trajetória: dT/dt = ∇T · V.
∇T = (2(x−3), 2(y−4), 2(z−5)), que no ponto (1,2,3) vale (−4, −4, −4). Pela regra da cadeia, dT/dt = ∇T · V = −4(0,2 + 0,3 + 0,4) = −3,6 °C/s. O módulo é 3,6 °C/s.
Análise das alternativas
A), B), C) e D) não resultam do produto escalar correto. Valores como 1,2 ou 2,4 vêm de usar só parte das componentes ou de errar o gradiente. 3,0 não corresponde ao cálculo.
Referência: Cálculo de várias variáveis: gradiente, derivada direcional e regra da cadeia.
Resolução comentada do VaiConcursos.