Questão 14 — Matrizes Ortogonais (Álgebra Linear) — Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) · Marinha do Brasil 2023

Álgebra Linear Matrizes Ortogonais

Serviço de Seleção do Pessoal da Marinha (SSPM) 2023 Superior

Marinha do Brasil · Oficial dos Quadros Complementares da Armada e de Fuzileiros Navais (QC-CA e QC-FN) — Sistemas de Armas · Caderno Amarela

Gabarito disponível

Dadas as matrizes M de tamanho n x n e observando as propriedades das matrizes ortogonais, é INCORRETO afirmar que:

Selecione uma alternativa A) M é ortogonal. B) um produto de matrizes ortogonais nem sempre é ortogonal. C) se M for ortogonal, então det(M) = 1 ou det(M) = -1. D) a inversa de uma matriz ortogonal é ortogonal. E) ‖M x‖ = ‖x‖, qualquer que seja x em Rⁿ .

Resolução comentada

O produto de matrizes ortogonais é sempre ortogonal. Por isso é falsa a afirmativa de que nem sempre é.

Se AᵀA = I e BᵀB = I, então (AB)ᵀ(AB) = BᵀAᵀAB = BᵀB = I. Logo, o produto de ortogonais é ortogonal, e a alternativa B é a incorreta.

Análise das alternativas

C: det(M)² = 1, então det(M) = ±1, o que é verdadeiro. D: M⁻¹ = Mᵀ, que também é ortogonal, o que é verdadeiro. E: matrizes ortogonais preservam a norma (‖Mx‖ = ‖x‖), o que é verdadeiro. A: está incompleta no enunciado, mas é a definição da propriedade tratada.

Referência: Álgebra Linear: matrizes ortogonais (MᵀM = I).

Resolução comentada do VaiConcursos.